Corso di Economia
degli Intermediari Finanziari
Elementi di matematica finanziaria
utili alla comprensione di alcune parti del Corso
Definizione di operazione finanziaria
Successione di importi di segno - e + da considerare
congiuntamente ad una successione di tempi ai quali
detti importi maturano, ovvero sono incassati se
entrate o versati se uscite.
1
Il regime finanziario dell’interesse semplice
E’ noto che la disponibilità di un capitale altrui è un
servizio vantaggioso avente un costo commisurato
all’ammontare del capitale prestato nonché alla durata
del prestito;
L’uso di denaro altrui comporta la corresponsione di un
compenso: l’interesse;
Il debitore al termine del periodo di prestito dovrà
quindi restituire un importo, detto Montante (M), pari
a:
Capitale prestato (C) + Interesse pattuito (I)
Il regime finanziario dell’interesse semplice
L’interesse (I) da aggiungere al capitale deve tenere
conto:
della somma data a prestito;
della durata del prestito.
Per tenere conto del primo aspetto, l’interesse viene
definito in termini % sul capitale prestato;
Per tenere conto del secondo elemento gli interessi
così calcolati sono moltiplicati per la durata del
prestito.
2
Il regime finanziario dell’interesse semplice
L’Interesse (I) da aggiungere al Capitale (C) è quindi dato
da:
I=Cxixt
Il Montante (M) diviene quindi:
M = C + I = C + (C x i x t)
da cui, raggruppando, :
M = C x (1 + i x t)
Questo è il regime finanziario di capitalizzazione
semplice.
Il regime finanziario dell’interesse semplice
Il problema può naturalmente essere inverso a quello
considerato: noto il Montante (M) che una certa
operazione assume ad una data futura, si cerca quale
valore è corretto pretendere oggi (C - valore attuale) per
la cessione del diritto di avere M a scadenza.
In termini generali:
C=M-I
da cui:
C=M-Cxixt
ossia:
C = M / (1 + i x t)
3
Il regime finanziario dell’interesse semplice
Esempio
Capitale Investito (C) = 1.000.000;
Periodo (t) = 3 mesi;
Tasso annuo (i) = 12%.
La Vostra Idea ?
Il regime finanziario dell’interesse semplice
Esempio
Capitale Investito (C) = 1.000.000;
Periodo (t) = 3 mesi;
Tasso annuo (i) = 12%.
Montante
M = 1.000.000 x (1 + 0,12 x 3/12) = 1.030.000
Valore Attuale
VA = 1.030.000 / (1 + 0,12 x 3/12) = 1.000.000
4
Il regime finanziario dello sconto commerciale
Si richiede una precisazione con riguardo all’operazione
che ricerca il valore attuale (noto il montante a scadenza,
si cerca il valore odierno equivalente);
Nella pratica commerciale, per le operazioni di sconto
cambiario o di anticipazione su crediti, non si usa la
formula appena vista (C = M / (1 + i x t)), ma:
C=M-Mxixt=
=
M x (1 - i x t)
Il regime finanziario dello sconto commerciale
Esempio
Capitale Investito (C) = 1.030.000;
Periodo (t) = 3 mesi;
Tasso annuo (i) = 12%.
La Vostra Idea ?
5
Il regime finanziario dello sconto commerciale
Esempio
Capitale Investito (C) = 1.030.000;
Periodo (t) = 3 mesi;
Tasso annuo (i) = 12%.
1a soluzione (interesse semplice)
VA = 1.030.000 / (1 + 0,12 x 3/12) = 1.000.000
2a soluzione (interesse commerciale)
VA = 1.030.000 x (1 - 0,12 x 3/12) = 999.100
Il regime finanziario della capitalizzazione composta
In questo regime (capitalizzazione composta) gli interessi
maturati alla fine del periodo di riferimento considerato
vengono sommati al capitale di partenza divenendo
anch’essi fruttiferi di interessi;
La formula del Montante è:
M = C x (1 + i)n
La formula del Valore Attuale è:
VA = M / (1 + i)n
6
Il regime finanziario della capitalizzazione composta
Esempio
Capitale Investito (C) = 1.000.000;
Periodo (t) = 3 anni;
Tasso annuo (i) = 12%.
La Vostra Idea ?
Il regime finanziario della capitalizzazione composta
Esempio
Capitale Investito (C) = 1.000.000;
Periodo (t) = 3 anni;
Tasso annuo (i) = 12%.
Montante
M = 1.000.000 x (1 + 0,12)3 = 1.404.928
Valore attuale
VA = 1.404.928 / (1 + 0,12)3 = 1.000.000
7
Confronto fra i tre regimi
Interesse semplice
Capitale
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Tasso annuo
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
Mesi
3
6
9
12
24
36
48
60
Montante
Valore attuale
102,00
98,04
104,00
96,15
106,00
94,34
108,00
92,59
116,00
86,21
124,00
80,65
132,00
75,76
140,00
71,43
Confronto fra i tre regimi
Interesse composto
Capitale
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Tasso annuo
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
Mesi
3
6
9
12
24
36
48
60
Montante
Valore attuale
101,94
98,09
103,92
96,23
105,94
94,39
108,00
92,59
116,64
85,73
125,97
79,38
136,05
73,50
146,93
68,06
8
Confronto fra i tre regimi
Interesse commerciale
Capitale
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Tasso annuo
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
Mesi
3
6
9
12
24
36
48
60
Montante
\
\
\
\
\
\
\
\
Valore attuale
98,00
96,00
94,00
92,00
84,00
76,00
68,00
60,00
Confronto fra i tre regimi in chiave grafica (montante)
9
Confronto fra i tre regimi in chiave grafica (valore attuale)
Confronto fra i tre regimi: conclusioni di sintesi
Montante
per durate inferiori all’anno:
montante più elevato: regime interesse semplice;
montante minore: regime interesse composto;
per durate superiori all’anno si invertono.
Valore attuale
per durate inferiori all’anno:
sconto più elevato: regime sconto commerciale;
sconto minore: regime interesse composto.
per durate superiori all’anno:
sconto più elevato: regime sconto commerciale;
sconto minore: regime interesse semplice.
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ALCUNE
DEFINIZIONI
Tassi . . . di vario tipo
Tasso annuo nominale convertibile
Il tasso al quale vengono calcolati effettivamente gli
interessi è riferito ad 1/k di anno e si ottiene da quello
nominale convertibile assegnato, dividendo per k.
Es. tasso annuo 12%; semestrale 6%; trimestrale 3%.
Tassi equivalenti (1)
Tasso annuo e frazionario che producono, nella medesima
unità di tempo, lo stesso risultato.
11
Tassi . . . di vario tipo
Tassi equivalenti (2)
Formula per la definizione del tasso annuo;
i = (1 + ik ) k − 1
Formula per la definizione del tasso frazionario
ik = k (1 + k ) − 1
Tassi . . . di vario tipo
Esempio: tassi equivalenti
Tasso trimestrale del 2,00%
Quale il tasso annuo equivalente ?
i = (1 + 0,02)4 - 1 = 8,24%
Tasso annuo del 9,38%
Quale il tasso mensile equivalente ?
ik = 12 (1 + 9,38%) − 1 = 0,75%
12
