concetti fondamentali della matematica finanziaria

CONCETTI FONDAMENTALI DELLA MATEMATICA FINANZIARIA
D. 1 ) Cosa si deve intendere per operazione finanziaria?
R. 1 ) Un’operazione finanziaria è un contratto che prevede uno scambio di capitali esigibili ( o disponibili ) a epoche
diverse, secondo regimi finanziari prefissati. Sono esempi di operazioni finanziarie: i mutui, gli investimenti, i
finanziamenti, gli sconti di debiti o di crediti, il leasing, le rendite, le pensioni sociali, le assicurazioni, ecc.
D. 2 ) Quando un’operazione finanziaria si dice certa? Quando incerta?
R. 2 ) Sono dette certe quelle operazioni finanziarie che si effettuano indipendentemente dal verificarsi o meno di
eventi aleatori ( = eventi imprevedibili ). Per esempio: se una persona che ha contratto un debito ( o che ha diritto a
riscuotere un credito) muore prima della scadenza ( evento imprevedibile ), il debito ( il credito ) passa agli eredi ed il
pagamento ( riscossione ) avviene ugualmente all’epoca prefissata.
Sono dette incerte, invece, quelle operazioni finanziarie nelle quali i capitali o l’epoca della loro riscossione dipendono
da fenomeni aleatori. Per esempio. Nella assicurazioni RCA ( responsabilità civile automobilistica ) il pagamento dei
premi assicurativi avviene in maniera obbligatoria e regolare da parte di chi possiede una vettura, mentre il pagamento
dei danni causati da un incidente verrà effettuato dalla compagnia assicurativa solo se si verificano le clausole del
contratto (l’incidente deve essere effettivamente accaduto e la dinamica deve dar ragione all’assicurato, condizioni
aleatorie e non prevedibili).
D. 3 ) Quali sono le operazioni finanziarie (certe) fondamentali? Parlane e porta un esempio.
R. 3 ) Le operazioni fondamentali della matematica finanziaria sono le operazioni di prestito e di sconto.
a) Nelle operazioni di prestito, una persona, detta mutuante o creditore, dà in uso per un prefissato periodo di tempo (
durata del prestito ) un capitale C ad un’altra persona, detta mutuatario o debitore; il creditore, alla scadenza, riceve
dal debitore la somma M, detta montante, costituita da capitale C più un compenso I , detto interesse.
Esempio:
Una persona concede in prestito € 5000 e dopo 8 mesi riceve dal debitore € 5500. In questo esempio il capitale
iniziale è C = 5000, il montante M = 5500 e gli interessi maturati sono dati da I = M – C = 5500 – 5000 = 500
0
8/12
5000
5500
b) Le operazioni di sconto riguardano la riscossione anticipata di un credito scadente in futuro o il pagamento
anticipato di un debito. Una persona, che ha diritto a riscuotere un capitale M ( valore nominale del credito )
scadente in un’epoca futura, cede tale diritto in cambio di un capitale minore C ( somma scontata o valore attuale )
esigibile subito. Analogamente per il pagamento anticipato di un debito.
Esempio:
Una cambiale di € 3350 scadente fra 9 mesi viene estinta 3 mesi prima della scadenza dietro pagamento di una
somma di importo pari a € 3000. In questo caso: M = 3350 è il valore nominale del debito, C = 3000 è la somma
scontata, S = M – C = 350 è lo sconto ricevuto per aver pagato la cambiale in anticipo
0
6/12
9/12
3000
3350
D. 4 ) Che differenza passa tra I e i ?
R. 4 ) In matematica finanziaria “ I “ rappresenta l’interesse totale che spetta su tutto il capitale C, cioè il compenso da
corrispondere al creditore per aver impiegato il capitale C; “ i “, detto tasso unitario annuo di interesse, rappresenta,
invece, il compenso che spetta per ogni unità monetaria impiegata ( per 1 € di investimento )
D. 5 ) Che cosa si deve intendere per capitalizzazione? E per attualizzazione?
R. 5 ) L’operazione di capitalizzazione consiste nel calcolare il valore di un capitale ad una data futura ( nel portare
avanti un capitale ). Quella di attualizzazione, al rovescio, consiste nel valutare un capitale ad una data anteriore alla sua
scadenza ( cioè nel portare indietro nel tempo un capitale ).
T1
T2
Capitalizzare
C
M
Attualizzare
D. 6 ) Che cos’è un regime finanziario? Quali sono i regimi più utilizzati nella pratica
commerciale?
R. 6 ) I regimi finanziari sono leggi stabilite per la capitalizzazione e per l’attualizzazione, cioè dei modi diversi di
risolvere operazioni finanziarie ( di calcolare M, C, I, S, ecc. ).
I regimi più utilizzati nella pratica commerciale sono: a) il regime finanziario dell’interesse semplice ( dove l’interesse
si calcola solo sul capitale iniziale e non va a sommarsi al capitale per fruttare ulteriore interesse: I  Cit ); b) il
regime dell’interesse composto (dove l’interesse si aggiunge al capitale e nelle epoche successive frutta anche interesse
sugli interessi: M  C 1  i  ); c) il regime dello sconto commerciale ( dove si vuole che lo sconto commerciale sia
t
direttamente proporzionale al valore nominale:
S c  Mdt ).
D. 7 ) Che differenza passa tra sconto e somma scontata?
R. 7 ) Quando si riscuote anticipatamente un credito M o si estingue un debito M prima della scadenza prefissata, si
riceve o si paga una somma C inferiore a M. La somma C, riscossa o pagata anticipatamente, si dice somma scontata o
valore attuale di M, mentre la differenza S = M – C, che rappresenta quanto in meno è stato riscosso o pagato, è detto
sconto. In conclusione:
“scontare”  è l’operazione che consiste nel valutare anticipatamente un valore nominale M scadente in futuro
“somma scontata”  è la somma C che viene riscossa o pagata anticipatamente al posto di M
“sconto”  rappresenta quanto in meno è stato riscosso o pagato anticipatamente ( S = M – C )
D. 8) Nella formula del montante M  C   1  it  , chi è il fattore di capitalizzazione? Che cosa
rappresenta dal punto di vista finanziario?


R. 8 ) Il termine 1+it della formula del montante M  C  1  it è detto fattore di capitalizzazione semplice. Dal
punto di vista finanziario rappresenta il montante prodotto da una unità monetaria ( 1 € ) investita al tasso “ i “ per un
tempo “ t “ . Serve a valutare in un’epoca futura un capitale C: basta moltiplicarlo per il capitale C per ottenere il
montante M dopo un tempo t d’impiego al tasso i di valutazione.
D. 9) Metti a confronto le formule dei vari regimi finanziari.
R. 9 ) Riportiamo le formule dei vari regimi nell’ordine con cui le abbiamo ricavate:
REGIME
DELL’INTERESSE SEMPLICE
REGIME
DELLO SCONTO COMMERCIALE
REGIME
DELL’INTERESSE COMPOSTO
M  C 1  i 
t
conv. esp.
I  Cit
S c  Mdt
M  C   1  it 
C  M  1  dt 
I  M  C  C  1  i   1
M
1  it
Mit
Sr 
 Cit
1  it
M 
C
1  dt
Cdt
I
 Mdt
1  dt
C  M 1  i 
C
M  C 1  i  1  if  con. lineare
n

t

t

S e  M  1  1  i 
t

Legame tra il tasso posticipato “ i ” e il tasso anticipato “ d “ ( i=interesse prodotto da 1€; d=sconto su 1€ )
d
i
1 i t
;
i
d
1 d t
D. 10) Metti a confronto i grafici dei montanti M  C   1  it  e M  C 1  i  al variare del
tempo t. Quale capitalizzazione è più conveniente per il creditore?
t
R. 10 ) Il grafico del montante nel regime dell’interesse semplice è rappresentato da una retta di pendenza Ci e
intercetta C: M  Ci  t  C ; quello del regime dell’interesse composto M  C 1  i  è rappresentato da una
funzione esponenziale crescente in quanto la base 1+i > 1.
IN CONCLUSIONE:
1) per tempi inferiori al periodo di capitalizzazione, t < 1, al creditore
conviene il regime della capitalizzazione semplice ( il grafico della
retta sta sopra a quello della funzione esponenziale);
2) per t=1 un regime vale l’altro;
3) per tempi superiori al periodo di capitalizzazione, t > 1, al creditore
conviene il regime della capitalizzazione composta ( il grafico della
funzione esponenziale sta sopra a quello della retta).
t
D. 11) Dimostra la relazione che intercorre tra il tasso posticipato “i” del regime dell’interesse semplice e quello anticipato “d” del regime dello sconto commerciale.
d
i
R. 11 ) In teoria si dimostrano le validità delle seguenti formule: i 
, d 
.
1  dt
1  it
Per scoprire chi deve essere il tasso “d” equivalente a quello “i” basta imporre che in uno stesso tempo “t” un medesimo
capitale “C” produce un uguale interesse I:
I reg . semp.  I reg . sc. com  Cit 
Cdt
da cui semplificando ambo i membri per Ct si ha:
1  dt
i 
d
.
1  dt
Viceversa: dalla formula appena dimostrata, effettuando il mcm ambo i membri ed isolando d si ottiene la 2 a formula:
i 
d
1  dt

i  idt
d

1  dt
1  dt
i  idt  d 

d  idt  i  d 1  it   i  d 
i
.
1  it
D. 12) Sono dati: C = 1.250 € , tasso trimestrale = 4,5% e t = 6 mesi, calcolare, in regime
d’interesse semplice, I ed M.
R. 12 ) Siccome il tasso è stato assegnato trimestrale, bisogna convertire il tempo in trimestri: t = 6 m = 2 trim .
I  Cit  1.250  0,045  2  112,50
M  C  I  1.250  112,50  1.362,50
;
D. 13) Dati: M = 1.450 € , tasso anticipato annuo = 2,25% e t = 9m 10g , calcolare, in
regime dello sconto commerciale, SC , C e il tasso posticipato “i” a esso equivalente.
9
10
280
7
m
g

anni 
anni  anni e applichiamo le
R. 13 ) Convertiamo il tempo in anni: t  9 10 
12 360
360
9
formule note:
7
 28,194  28,19 ; C  M  S c  1.450  28,19  1.421,81
9
d
0,025
0,025
i 


 0,02549575  2,55% .
7
1  dt
0
,
980
5
1  0,025 
9
D. 14) Dati: M = 1.349,84 , C = 1200 e t = 3a , calcolare in regime dell’interesse composto
il tasso i.
t
R. 14 ) Dalla formula del montante M  C  1  i  , sostituendo i valori numerici, si ottiene l’equazione:
1.349,84
3
3
1.349,84  1.200  1  i  che risolta rispetto a “i” si ha: 1  i  
Ora non resta che estrarre la
1.200
S c  Mdt  1.450  0,025 
radice cubica e isolare l’incognita “i”:
1 i  3
1.349,84
1.200
i 

3
1.349,84
1 
1.200
3
1,12486  1  0,04
D. 15) Assegna a ciascuna formula il corrispondente grafico al variare del tempo t:
I  Cit
M  C 1  i 
M  C (1  it )
M
t
I
M
C
0
a)
C
t
0
b)
t
0
t
c)
R. 15 La formula I  Cit al variare di t ha il grafico di una funzione del tipo y=mx cioè di una retta passante per
l’origine e pendenza m=Ci > 0, quindi è rappresentata correttamente nella figura b).
La formula
M  C (1  it ) se scritta nel seguente modo M  Cit  C , al variare di t, ha il grafico di una funzione di primo
grado del tipo y=mx+n, cioè di una retta non passante per l’origine con pendenza m=Ci > 0 e intercetta n=C, quindi è
rappresentata correttamente dalla figura a).
funzione esponenziale
La formula M  C 1  i  ha il grafico di una
t
y  k  a x con base a=1+i > 1, quindi è rappresentata correttamente dalla figura c).