MatFinA 07-10-2016

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ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE
A.A. 2016/2017
1. Esercizi: lezione 07/10/2016
Regimi semplice e composto
Esercizio 1. Dopo quanti mesi un capitale C, impiegato nel regime composto, aumenta del 8, 243216% se il tasso bimestrale ib è del 2%?
Soluzione. Impostando l’equazione
C(1 + ib )t = 1, 08243216 C
si ottiene, essendo C ̸= 0,
t=
ln(1, 08243216)
= 4,
ln(1, 02)
quindi t = 4 bimestri, ossia 8 mesi.
Esercizio 2. Determinare il tasso di interesse annuo affinché, in regime di interesse
semplice, un capitale di e 1000 produca un interesse di e 80 euro in 6 mesi. Ripetere
l’esercizio sostituendo al regime semplice quello composto.
Soluzione. Dalla formula del regime semplice
M = C(1 + it)
si ricava immediatamente che
(M − C ) 1
·
C
t
Ricordando che M − C = I e inserendo i dati, si trova che
( 80 ) 1
·
= 16%.
i=
1000
0.5
Se invece siamo a regime composto, si parte dalla formula
i=
M = C(1 + i)t ,
da cui si ha che
i = (M/C)1/t − 1.
1
2
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
Ricordando sempre che M = C + I, si ricava che M/C = 1 + I/C, pertanto, sostituendo i dati alla formula precedente, si conclude che
i = (1, 08)2 − 1 = 16, 64%
Capitalizzazione degli interessi a tassi costanti e non
Esercizio 3. Un imprenditore ha una convenzione con due banche tramite la quale
puó andare in ”rosso” sui rispettivi conti per somme non eccessive e saldare poi il
debito con interessi nove mesi dopo. La banca X offre un tasso a debito pari al 12%
a regime semplice e capitalizzazione trimestrale degli interessi a partire dal primo
gennaio di ogni anno, mentre la banca Y offre un tasso a debito del 12, 4% a regime
semplice. Se l’imprenditore vuole andare in ”rosso” il primo giugno del 2014, a quale
banca conviene rivolgersi?
Soluzione. Nel caso della banca X, essendo il periodo tra il primo giugno 2014 e
il primo marzo 2015, rispetto ai periodi di capitalizzazione trimestrale, composto da
due spezzoni, uno di ingresso di un mese e uno di uscita di due mesi, e due periodi
interi di capitalizzazione trimestrale, il montante (che é quanto l’imprenditore deve
restituire alla banca X) é dato da
MX = C(1 + i/12) · (1 + i/4)2 · (1 + i/6),
ove C é il debito contratto dall’imprenditore e i = 0, 12. Nella banca Y, invece, si ha
MY = C(1 + 3i1 /4),
ove i1 = 0, 124. Se suppongo, ad esempio, che sia piú conveniente la banca X, basta
controllare se la disequazione MY > MX sia vera, ossia
(1 + 3i1 /4) > (1 + i/12) · (1 + i/4)2 · (1 + i/6),
da cui si ricava immediatamente che
(
) 4
i1 > (1 + i/12) · (1 + i/4)2 · (1 + i/6) − 1 · ∼
= 12, 39%,
3
quindi la nostra ipotesi è vera, perché i1 = 12, 4%.
Esercizio 4. Sia M il montante generato dopo 6 anni dall’impiego di un capitale
C nel regime composto ai tassi di interesse annui del 5% nel primo, nel secondo
e nel terzo anno, del 10% nel quarto e nel quinto anno e del 15% nel sesto anno.
Determinare il tasso di interesse costante x nei sei anni con cui si può ottenere lo
stesso montante a partire dallo stesso capitale.
Soluzione. Il montante che si ottiene dall’investimento a tassi crescenti nel tempo
è pari a:
M = C(1 + 0, 05)3 · (1 + 0, 1)2 · (1 + 0, 15) = 1, 610835188 C.
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Il montante che si ottiene dall’investimento a tasso costante è pari a:
M ′ = C(1 + x)6 .
Il tasso x che permette l’uguaglianza dei due montanti si ottiene da:
C(1 + x)6 = 1, 610835188 C
allora
x=
⇒ (1 + x)6 = 1, 610835188
√
6
1, 610835188 − 1 ≈ 0, 0827.
Dunque x = 8, 27%.
Esercizio 5. Sia M1 il montante generato dopo 4 anni dall’impiego di un capitale C
nel regime semplice al tasso di interesse i1 . Sia M2 il montante generato dopo 4 anni
dall’impiego dello stesso capitale C nel regime composto ai tassi di interesse i2 nel
primo e nel secondo anno e i∗ nel terzo e nel quarto. Determinare i∗ , in funzione di
i1 e i2 , in modo tale che M2 sia uguale a M1 .
Soluzione. Abbiamo che
M1 = C(1 + 4 · i1 ),
mentre
M2 = C(1 + i2 )2 · (1 + i∗ )2 .
Poiché deve essere M2 = M1 , si ha che
C(1 + i2 )2 · (1 + i∗ )2 = C(1 + 4 · i1 )
√
⇒
i∗ =
1 + 4 · i1
− 1.
(1 + i2 )2
Regime Misto
Esercizio 6. Un capitale C = 10000e viene impiegato a regime misto per 3 anni
e 5 mesi, fruttando un montante pari a M = 11248, 86677e. A quale tasso è stato
impiegato il capitale?
a) 3%
b) 3, 5%
c) 4%
d) 4, 5%
)
5
Soluzione. La formula da sfruttare è M = C(1 + i)3 · 1 +
i . Se ora inserite
12
uno ad uno i tassi di interesse proposti, risulterá che con il tasso del 3, 5% il secondo
membro risulta uguale (fino alle prime 5 cifre decimali) al primo membro (ossia, il
montante M ).
(
4
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Confronto tra regimi
Esercizio 7. Avete un capitale da investire per una durata non superiore ai due anni.
La banca A vi offre un tasso del 4% a regime composto, mentre la banca B un tasso
pari a i > 0 nel regime semplice. Per quali valori di i, risulta piú conveniente la
banca B?
Soluzione. Ci basta impostare la disequazione
C(1 + 2i) ≥ C(1 + i1 )2 ,
ove C é il capitale iniziale, mentre i1 = 0, 04. Facilmente, segue che
(1 + i1 )2 − 1
= 4, 08%.
2
Esercizio 8. Potete investire per 2 anni il capitale C nel conto AA, che prevede
interessi a regime semplice al 4% solo sulla somma in eccedenza rispetto a 10000
euro, oppure nel conto AB con interesse semplice del 2%. Quale é il capitale C tale
da rendere equivalente i due conti?
i≥
Soluzione. Si noti che se nel conto AA si versa una sommma minore od uguale a
10000 euro, non si avrá mai uguaglianza. Dunque, supposto C > 10000, l’equazione
da impostare (ossia l’uguaglianza tra i due montanti) è data da
10000 + (C − 10000)(1 + 2i) = C(1 + 2i1 ),
ove i = 0, 04 e i1 = 0, 02. Con un pó di semplice algebra, si trova che
10000i
= 20000.
C=
i − i1
Esercizio 9. Potete investire un capitale C per una durata t non superiore ad un mese
a regime semplice a tasso is = 2, 1% oppure a regime composto a tasso ic = 2, 12%.
A tali condizioni, é possibile stabilire con certezza la convenienza di uno dei due
regimi?
Soluzione. Si noti innanzitutto che si ha equivalenza tra i due regimi ai due tassi
annui indicati per una (unica) certa durata t∗ in quanto ic = 0, 02120 < exp(is )−1 ∼
=
0, 02142. Tuttavia, siccome é facile vedere che (1 + is /12) > (1 + ic )1/12 , é evidente
che t∗ > 1/12, quindi é possibile affermare con certezza che il regime semplice é
sempre piú conveniente del composto, per durata t non superiore ad un mese.
Esercizio riassuntivo
Esercizio 10. I dipendenti di una ditta percepiscono uno stipendio mensile, normalmente pagato alla fine di ogni mese, pari a S. La ditta sospende il pagamento
degli stipendi dal 30/06/2013 al 31/12/2013, riservandosi di pagare i dipendenti in
un’unica soluzione, con interessi calcolati nel regime semplice al tasso annuo pari a
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i, il 31/12/2013. Determinare l’espressione letterale del montante che la ditta versa
ad ognuno dei suoi dipendenti in data 31/12/2013, dimostrando che è dato da
(
1 )
M = 7S 1 + i .
4
Soluzione. Soluzione letterale: il montante nel regime semplice che la ditta versa
ad ognuno dei suoi dipendenti in data 31/12/2013 è la somma delle capitalizzazioni
di ogni singolo stipendio al 31/12/2013, ossia:
(
(
(
(
6 )
5 )
4 )
3 )
i +S 1+
i +S 1+
i +S 1+
i +
M =S 1+
12
12
12
12
(
)
(
)
2
1
+S 1+
i +S 1+
i +S =
12
12
(
)
6
5
4
3
2
1
=S 1+
i+1+
i+1+
i+1+
i+1+
i+1+
i+1 =
12
12
12
12
12
12
(
(
6+5+4+3+2+1 )
21 )
=S 7+
i =S 7+
i .
12
12
Se ora raccogliamo il fattore 7, si ha
[ (
(
(
3 )]
3 )
1 )
M =S 7 1+
· i = 7S 1 +
i = 7S 1 + i ,
12
12
4
come volevasi dimostrare.
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