Analisi Matematica, tema A - Server users.dimi.uniud.it

Università degli Studi di Udine
Anno Accademico 2004/2005
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Informatica
Analisi Matematica, tema A
Compitino del 24 giugno 2005
Cognome e Nome:
Documento d’identità (se chiesto):
Matricola:
Si prega di consegnare anche il presente testo. Non si possono consultare libri o appunti o
calcolatori.
1. Si calcolino i polinomi di Taylor delle seguenti funzioni centrati in x0 = 0:
(a)
sen(x2 − 2x)
di ordine 3,
(b)
cos(1 − e2x ) −
1
1−x
di ordine 3,
x
di ordine 7 (ricordare la formula per 1/(1 − y)).
1 − x6
Si calcolino gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni
√
3 ln(2 + x)
2
1
(a)
− 2 sen ,
(b) ( 3x − 1 − 2)2 .
2+x
x
x
Calcolare, col metodo per parti ripetuto, l’integrale indefinito della funzione (x − ex ) sen x.
Si calcoli il seguente integrale indefinito mediante la sostituzione t = 2x − 1/2:
Z
4
√
dx ,
3 + 8x − 16x2
Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:
∞
∞
X
X
2n
ln n
2 1
(a)
sen
,
(b)
,
n
2
+
3
n
n
+
2
n=1
n=1
∞
∞ 2n+1
X
X
3n2 + 1 3n
5
(c)
,
(d)
.
n!
3n2 + n
n=1
n=1
Data la serie a segni alterni
∞
X
n+2
(−1)n 2
,
n − 2n + 8
n=1
(c)
2.
3.
4.
5.
6.
a. studiare la convergenza semplice utilizzando il criterio di Leibniz;
b. provare che la serie diverge assolutamente.
7. Determinare e rappresentare sul
piano cartesiano il dominio della funzione di due variabili
f (x, y) = ln(y − 1)/(x + x2 ). Descrivere geometricamente e rappresentare le linee di
livello.
8. Determinare i punti critici della funzione f (x, y) = (2x−5y)/(x2 −2xy −2y 2 +4). Indagare
se sono max/min relativi o punti di sella.
Punti: 3+3+3, 2+2, 4, 4, 3+3+3+3, 3+3, 3, 6.
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Anno Accademico 2004/2005
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Informatica
Analisi Matematica, tema B
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calcolatori.
1. Si calcolino i polinomi di Taylor delle seguenti funzioni centrati in x0 = 0:
(a)
sen(2x2 − x)
di ordine 3,
(b)
cos(e2x − 1) +
2
1−x
di ordine 3,
x
di ordine 7 (ricordare la formula per 1/(1 − y).
1 − x3
Si calcolino gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni
√
ln(1 − x)
1
2
(a)
− 2 sen ,
(b) ( 2x − 3 + 1)2 .
1−x
x
x
Calcolare, col metodo per parti ripetuto, l’integrale indefinito della funzione (x − ex ) cos x.
Si calcoli il seguente integrale indefinito mediante la sostituzione t = −3 + x/2:
Z
1
√
dx ,
12x − x2 − 32
Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:
∞
∞
X
X
3n
ln n
2 2
(a)
sen
,
(b)
,
n
3
+
1
n
3
+
n
n=1
n=1
∞
∞ 2n−1
X
X
2n2 + 5 3n
6
(c)
,
(d)
.
n!
2n2 + 2n
n=1
n=1
Data la serie a segni alterni
∞
X
n−1
(−1)n 2
,
n − 2n + 5
n=1
(c)
2.
3.
4.
5.
6.
a. studiare la convergenza semplice utilizzando il criterio di Leibniz;
b. provare che la serie diverge assolutamente.
7. Determinare e rappresentare sul
piano cartesiano il dominio della funzione di due variabili
f (x, y) = ln(y + 1)/(x − x2 ). Descrivere geometricamente e rappresentare le linee di
livello.
8. Determinare i punti critici della funzione f (x, y) = (2y −5x)/(y 2 −2x2 −2xy +4). Indagare
se sono max/min relativi o punti di sella.
Punti: 3+3+3, 2+2, 4, 4, 3+3+3+3, 3+3, 3, 6.
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Corso di Laurea in Informatica
Analisi Matematica, tema C
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1. Si calcolino i polinomi di Taylor delle seguenti funzioni centrati in x0 = 0:
(a)
sen(x − 2x2 )
di ordine 3,
(b)
cos(ex − 1) −
1
1 − 2x
di ordine 3,
x5
di ordine 7 (ricordare la formula per 1/(1 − y).
1 − x2
Si calcolino gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni
√
2
1
ln(1 + 2x)
+ 3 sen 2 ,
(b) (1 − 2x − 3)2 .
(a)
1 + 2x
x
x
Calcolare, col metodo per parti ripetuto, l’integrale indefinito della funzione (ex − x) sen x.
Si calcoli il seguente integrale indefinito mediante la sostituzione t = 3x − 2:
Z
3
√
dx ,
12x − 9x2 − 3
Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:
∞
∞
X
X
ln n
2n
2 1
sen
,
(b)
,
(a)
n
2
+
n
n
2n
+
1
n=1
n=1
∞
∞ 3n+1
X
X
3n2 + 1 2n
4
(c)
,
(d)
.
n!
3n2 + 2n
n=1
n=1
Data la serie a segni alterni
∞
X
2n − 2
,
(−1)n 2
n −n+4
n=1
(c)
2.
3.
4.
5.
6.
a. studiare la convergenza semplice utilizzando il criterio di Leibniz;
b. provare che la serie diverge assolutamente.
7. Determinare e rappresentare sul
piano cartesiano il dominio della funzione di due variabili
f (x, y) = ln(1 − y)/(x2 − x). Descrivere geometricamente e rappresentare le linee di
livello.
8. Determinare i punti critici della funzione f (x, y) = (2x+5y)/(4+x2 +2xy −2y 2 ). Indagare
se sono max/min relativi o punti di sella.
Punti: 3+3+3, 2+2, 4, 4, 3+3+3+3, 3+3, 3, 6.
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Corso di Laurea in Informatica
Analisi Matematica, tema D
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Si prega di consegnare anche il presente testo. Non si possono consultare libri o appunti o
calcolatori.
1. Si calcolino i polinomi di Taylor delle seguenti funzioni centrati in x0 = 0:
(a)
sen(2x − x2 )
di ordine 3,
(b)
cos(1 − ex ) +
2
1 − 2x
di ordine 3,
x4
di ordine 7 (ricordare la formula per 1/(1 − y).
1 − x2
Si calcolino gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni
√
ln(1 − x)
3
2
(a)
+ 2 sen ,
(b) (1 + 1 − 2x)2 .
1−x
x
x
Calcolare, col metodo per parti ripetuto, l’integrale indefinito della funzione (ex − x) cos x.
Si calcoli il seguente integrale indefinito mediante la sostituzione t = 2x − 4:
Z
2
√
dx ,
16x − 4x2 − 15
Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:
∞
∞
X
X
3n
ln n
2 1
(a)
sen
,
(b)
,
n
3 +n
2n
2n + 1
n=1
n=1
∞ ∞
X
X
4n2 − 1 3n
6n+3
(c)
,
(d)
.
2+n
n!
4n
n=1
n=1
Data la serie a segni alterni
∞
X
n−3
(−1)n 2
,
n
−
3n
+
4
n=1
(c)
2.
3.
4.
5.
6.
a. studiare la convergenza semplice utilizzando il criterio di Leibniz;
b. provare che la serie diverge assolutamente.
7. Determinare e rappresentare sul
piano cartesiano il dominio della funzione di due variabili
f (x, y) = ln(1 + y)/(x2 − x). Descrivere geometricamente e rappresentare le linee di
livello.
8. Determinare i punti critici della funzione f (x, y) = (5x+2y)/(4−2x2 +2xy +y 2 ). Indagare
se sono max/min relativi o punti di sella.
Punti: 3+3+3, 2+2, 4, 4, 3+3+3+3, 3+3, 3, 6.