Esame di Teoria dei Giochi I Esercizio 1 Esercizio 2

Esame di Teoria dei Giochi I
Prof. J. Morgan
Prova 2
Fornire le definizioni di ogni concetto sottolineato e dettagliare le risposte
Esercizio 1
Siano:
S1 = [0, 3],
S2 = [−3, 1],
k∈R
f1 e f2 due funzioni definite su S1 × S2 ed a valori in R definite da:
f1 (x, y) = −x2 + kxy
f2 (x, y) = −2x2 + y 2 + 3xy − x − 2y.
Si consideri il gioco a due giocatori Γ = {2; S1 , S2 ; f1 , f2 }.
1. Per k = 1 determinare la multifunzione di migliore risposta per il primo
giocatore.
2. Per k = 1, determinare le strategie cautelative del primo giocatore.
3. Determinare la multifunzione di migliore risposta per il secondo giocatore.
4. Verificare quali delle ipotesi del teorema di esistenza degli equilibri di Nash
sono soddisfatte.
5. Determinare i punti sella della funzione f2 su [0, 1] × [0, 1].
6. Al variare di k ∈ R rispondere ai quesiti 1 e 2 e trovare gli eventuali
equilibri di Nash del gioco associato ad f1 e f2 .
7. Determinare le strategie cautelative del secondo giocatore.
Esercizio 2
Dato il gioco in forma estesa in Figura 1:
1. Scrivere la forma normale del gioco.
2. Determinare al variare di k ∈ R le eventuali strategie dominanti e/o
debolmente dominanti per entrambi i giocatori. Esistono strategie dominate?
3. Determinare, al variare di k ∈ R, gli eventuali equilibri di Nash in strategie
pure.
4. Determinare gli equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi al variare di k ∈
R.
1
I
a
A
B
II
c
b
C
D
C
d


0
0
I
E
I
F
E


0
2


k
1
D
e


1
1
F


0
2


2
0
Figura 1: Gioco Γ
L
R
0
L
0
R
1
T
0
T
0
-2
1
1
0
0
B
1
-2
B
-1
1
0
0
Esercizio 3
Si consideri il seguente gioco a due giocatori dove il primo giocatore può
essere di tipo 1 con probabilità 2/3 oppure di tipo 2 con probabilità 1/3:
Il secondo giocatore non sa di che tipo è il primo giocatore.
1. Determinare l’albero del gioco Bayesiano associato.
2. Si trovino gli equilibri Bayesiani in strategie pure.
3. Si trovino, se esistono, gli equilibri di Nash Bayesiani in strategie totalmente miste.
2