Teoria dei giochi Disciplina matematica utilizzata per analizzare

Teoria dei giochi
Disciplina
matematica
utilizzata
per
analizzare
comportamenti strategici in economia, in politica, e in altri
campi caratterizzati da situazioni di conflitto.
Gioco
Rappresentazione formale di una situazione in cui un
numero di individui interagisce in un contesto di
interazione strategica.
L’aspetto cruciale di un gioco è il fatto che i risultati per
ogni individuo dipendono non solo dalla sua scelta ma
anche dalle scelte degli altri giocatori
• Non cooperativi
• Cooperativi (binding agreements)
TIPO:
Giochi simultanei o monostadio
Giochi multistadio
MODI DI RAPPRESENTARLI
Forma normale o strategica (attraverso la matrice dei
payoff)
Forma estesa (albero di gioco)
Esempio: Gioco monostadio in forma normale
Giocatore 2
Giocatore
1
p
np
P
10, 6
16, 0
NP
7, 8
10, 3
Gioco in forma normale
G = {n; S1 ,.......Sn ; u1 ,.....un }
Si spazio delle strategie del giocatore i-esimo
si
elemento di Si si ∈ Si
Esempio: Pubblicità, Non Pubblicità
Si = {P, NP} per i = 1,2
Profilo di strategie: combinazione di strategie una per ogni
giocatore ( s1 , s2 ,......., sn ) . Esempio:
( s1 , s2 ) = (P,np)
Funzione di payoff (dei guadagni)
ui ( s1 , s2 ,......., sn )
Esempio precedente: u1 ( P, np ) = 16
u2 ( P, np ) = 0
Regola (gioco simultaneo)
Giocatori scelgono simultaneamente una strategia (ciascuno
sceglie la propria azione senza essere a conoscenza di cosa
ha scelto l’altro).
Strategia strettamente dominante
Giocatore 2
Giocatore 1
p
np
P
10, 6
16, 0
NP
7, 8
10, 3
Strategia strettamente dominante
Se un giocatore ha una strategia che è strettamente migliore
di ogni altra a sua disposizione, quali che siano le scelte
degli altri giocatori, si dice che dispone di una strategia
strettamente dominante.
Definendo profilo residuo di strategie
s− i = ( s1 , s2 ,....si −1 , si +1 ,..., sn )
si' ∈ S i è strettamente dominante per il giocatore i-esimo
nel gioco G = {n; S1 ,.......S n ; u1 ,.....un }
se ∀ si'' ≠ si' abbiamo che
ui ( si' , s− i ) > ui ( si'' , s− i )
∀ s−i ∈ S −i
si' massimizza unicamente il payoff del giocatore i-esimo
per ogni combinazione di strategie che i rivali possono
scegliere
Come troviamo la soluzione?
Individui razionali che perseguono il proprio interesse
individuale.
Se il giocatore ha una strategia dominante ci aspettiamo che
la utilizzi.
Se ambedue i giocatori dispongono di strategie dominanti
abbiamo casi di facile soluzione
Giocatore 2
Giocatore
1
P
NP
P
10, 6
16, 0
NP
7, 8
10, 3
Pochi giochi hanno strategie dominanti. Dobbiamo trovare
altri modi di risolvere il gioco.
Equilibrio di Nash
Una combinazione di strategie forma un equilibrio di Nash
se la scelta di ciascun giocatore è ottima date le scelte degli
altri giocatori. In questo caso nessun giocatore vorrà
deviare unilateralmente dalla strategia prevista. La
soluzione prevista sarà strategicamente stabile. John Nash
(Nobel 1994).
( s1* , s2* ,......., sn* ) è un equilibrio di Nash se
∀ i
ui ( si* , s−* i ) ≥ ui ( si' , s−* i )
∀ si' ∈ S i
( dato s−* i )
I giocatori nel momento in cui scelgono non sanno cosa
faranno gli altri. Ma hanno delle aspettative relativamente
alle scelte degli avversari. In un equilibrio di Nash la
strategia scelta da ciascun giocatore è la risposta ottima alle
strategie effettivamente perseguite dai rivali.
“Dilemma del prigioniero”
L’equilibrio di Nash non comporta necessariamente
soluzioni Pareto efficienti.
Due prigionieri complici di un reato interrogati in stanze
separate
Giocatore 2
nc
Giocatore1
NC
C
(C , c)
c
0, 0
-5, 1
1, -5
-3, -3
Equilibrio di Nash in strategie pure
Soluzione è Confessa, confessa
Situazioni nelle quali il perseguimento dell’interesse
individuale porta a situazioni Pareto inefficienti.
Vi sono benefici che scaturirebbero dalla cooperazione, ma
vi è l’impossibilità di raggiungere la soluzione cooperativa.
In perfetta concorrenza (non vi è interdipendenza
strategica) individui egoisti che perseguono l’interesse
individuale portano alla massimizzazione del benessere
sociale.
Se vi è interdipendenza strategica, il perseguimento
dell’interesse individuale può non portare alla Pareto
efficienza.
Casi in cui vi può essere un conflitto tra incentivi
individuali e incentivi collettivi.