Esercizi su calcolo di soluzioni in equilibrio in giochi strategici

Strumenti della Teoria dei Giochi per l’Informatica
A.A. 2009/10
Lecture :
Esercizi per il corso di Strumenti di Teoria dei Giochi per l’Informatica
Docente Prof. Vincenzo Auletta
1
Note redatte da: Vincenzo De Maio
Concetti di soluzione
Esercizio 1.1 (Asta di primo prezzo) Formulare un’asta di primo prezzo come un gioco
strategico e trovare i suoi stati stabili.
• Abbiamo n acquirenti e un oggetto in vendita.
• Le valutazioni dei giocatori sono v1 ≥ v2 . . . vn ≥ 0
• Il bene viene assegnato al giocatore che fa l’offerta più alta (o di minimo indice nel caso
di offerte di pari valore) che paga esattamente quanto offerto.
• ui (b) = vi − pi
Soluzione: Sia N = {1 . . . n} l’insieme dei giocatori.
Sia Ai = [0, inf) l’insieme di tutte le possibili offerte.
(
0
∀ b ∈ A1 × . . . × An ui (b) =
vi − bi
se i non vince
se i vince
dove b è il vettore contenente le offerte dei giocatori. Una soluzione b = (b1 . . . bn ) è un equilibrio
Nash se
• b1 ∈ [v1 , v2 ]
• bj ≤ bi j > 1
• ∃i > 1 tale che bi = b1 .
In questa soluzione il giocatore 1 vince e la sua utilità è v1 − b1 ≥ 0. Se dichiarasse b01 > b1
vincerebbe ancora ma con utilità v1 − b01 < v1 − b1 . Se, invece, dichiarasse b1 > b01 perderebbe e
avrebbe utilità 0.
Per ogni altro acquirente l’utilità è 0. Se il giocatore i dichiarasse b0i > b1 vincerebbe con utilità
vi − b0i < 0.
Dimostriamo ora che non esistono equilibri di Nash in cui il giocatore non vince l’asta. Questo
significa che b1 < bi . Se b1 ≤ v1 allora 1 può offrire bi < b0 1 ≤ 1 e ottenere una utilità positiva.
Se bi > v1 allora il giocatore i ha un’utilità negativa e può offrire b0i ≤ b1 ottentendo utilità pari
a 0. Nota che se stabilissimo che in caso di parità l’oggetto è assegnato a un giocatore scelto a
caso tra quelli che hanno fatto la migliore offerta allora il gioco non avrebbe equilibri di Nash.
1
2
Lecture : Esercizi per il corso di Strumenti di Teoria dei Giochi per l’Informatica
Esercizio 1.2 (Chicken game) Due individui sono impegnati in uno scontro. Ognuno di loro
preferisce avere la meglio senza doversi impegnare. Le possibili azioni sono ”aggredire” e ”difendersi”. I giocatori guadagnano 4 se scelgono entrambi una strategia difensiva e 0 se decidono di
attaccare entrambi; se invece uno sceglie di attaccare e l’altro di difendersi, quello che si difende
guadagna 1 mentre l’altro guadagna 5. Modellare il gioco e trovare gli equilibri di Nash.
Soluzione:
C
H
C
4,4
5, 1
H
1, 5
0,0
Abbiamo due equilibri di Nash, ovvero (C,H) e (H,C).
Esercizio 1.3 A n cittadini viene chiesto di contribuire alla costruzione di un bene comune.
Il bene verr‡ costruito solo se ci saranno almeno 2 ≤ k ≤ n contributi; in caso di mancata
costruzione i contributi vanno persi. Ogni giocatore preferisce avere il bene piuttosto che non
averlo e preferisce non contribuire a contribuire. Formulare il problema come un gioco strategico
e trovare gli stati stabili.
Esercizio 1.4 (War of attrition) Due giocatori si contendono un oggetto ed ognuno ha una
sua valutazione vi > 0 dell’oggetto. Fin quando entrambi i giocatori richiedono l’oggetto questi
non viene assegnato. Se all’istante i un giocatore rinuncia l’oggetto viene immediatamente assegnato all’avversario. Se rinunciano allo stesso istante ognuno ottiene met‡ oggetto. Per ogni
istante in cui il giocatore resta in gioco paga 1 quindi se l’agente i ottiene l’oggetto al tempo t la
sua valutazione Ë di vi −t e se rinuncia in quell’istante paga −t. Formulare il problema come un
gioco strategico e provare che in ogni equilibrio Nash uno dei giocatori rinuncia immediatamente
all’oggetto.
Soluzione: L’insieme dei giocatori è N = {1, 2} e per ogni giocatore i, l’insieme delle azioni è
Ai = [0, ∞). Inoltre,


v1 − t1 se t1 > t2
u1 (t1 , t2 ) = v21 − t1 se t1 = t2


0 − t1
se t1 < t2
Consideriamo la soluzione (t1 , t2 ).
• se t1 = t2 allora il giocatore 1 può giocare (t1 + ) e aggiudicarsi l’oggetto per intero con
utilità v1 − t1 − > v21 − t1 .
• Se 0 < t1 < t2 allora il giocatore 1 ha utilità −b1 e può migliorare giocando t1 = 0.
• Se 0 = t1 < t2 allora il giocatore 1 ha utilità 0 e può migliorare v1 > t2 giocando t01 = t2 +.
Quindi tutti gli equilibri Nash sono del tipo (0, t2 ) con t2 > t1 oppure (t10 ) con t1 > v2 .
2
Equilibri di Nash misti
Esercizio 2.1 (Morra cinese) Modellare la ”morra cinese” come un gioco strategico e calcolarne gli equilibri di Nash.
Lecture : Esercizi per il corso di Strumenti di Teoria dei Giochi per l’Informatica
3
Esercizio 2.2 (Air strike) L’esercito A deve organizzare un raid aereo per colpire uno di 3
possibili bersagli che hanno valore v1 > v2 > v3 > 0. L’esercito B ha una batteria anti-aerea
che puÚ essere posta a difesa di un solo obiettivo e che Ë in grado di neutralizzare l’attacco
all’obiettivo difeso. Formulare la situazione come un gioco strategico a somma-zero e trovare gli
equilibri di Nash.
3
Equilibri correlati
Esercizio 3.1 (Chicken game) Trovare gli equilibri Nash del chicken game, verificare che
(0, 21 , 21 , 0) Ë un equilibrio correlato e trovare l’equilibrio correlato che massimizza il social welfare. Soluzione:
C
H
C
4,4
5, 1
H
1, 5
0,0
Per trovare un equilibrio dobbiamo trovare la distribuzione di probabilità che massimizza la
funzioen 8p11 + 6p12 + 6p21 soggetta ai vincoli
 p11
12
11
≥ 5 p11p+p
4 p11 +p12 + p11p+p


12
12


p21
p21
p22

≥
4
+
5

 p21 +p22
p21 +p22
p21 +p22
p21
p11
11
4 p11p+p
+
≥
5
p11 +p21
p11 +p21
21


12
12
22


5 p p+p
≥ 4 p12p+p
+ p12p+p

22
22

P12 22
p
=
1
ij ij
Facendo semplici conti viene che
p=
1
3
1
3
1
3
0
Esercizio 3.2 Consideriamo un gioco a tre giocatori, denotati con 1, 2 e 3, con matrici dei
payoff:
gioc. 1
T
B
L
0,0,3
1,0,0
R
0,0,0
0,0,0
gioc. 2
T
B
L
2,2,2
0,0,0
R
0,0,0
2,2,2
gioc. 3
T
B
L
0,0,0
0,1,0
R
0,0,0
0,0,3
Il giocatore 1 può giocare {B, T }, il giocatore 2 può giocare {L, R} e il giocatore 3 può giocare
{A, B, C}
1. Mostrare che i payoff ottenuti negli equilibri di Nash puri sono (1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 0).
2. Mostrare che esiste un equilibrio correlato in cui il giocatore 3 sceglie B e gli altri usano
una strategia equiprobabile.
3. Cosa succederebbe se il giocatore 3 ricevesse i segnali A,B,C con la stessa probabilità?
Soluzione:
1. Gli equilibri di Nash puri sono (B, L, A)(B, L, C)(T, R, C)(T, R, A)
4
Lecture : Esercizi per il corso di Strumenti di Teoria dei Giochi per l’Informatica
2. L’equilibrio è descritto dalla distribuzione di probabilità
(
1
se z = b
p(x, y, z) = 4
0 altrimenti.
Supponiamo che (x, y, z) siano i segnali ricevuti dai tre giocatori. Il giocatore 3 riceve
sicuramente z = B e sa che gli altri giocatori giocheranno strategie uniformi. Quindi il
suo payoff atteso è uguale a 1. Se decidesse di giocare A o C otterrebbe 43 . Il giocatore 1
riceve un segnale x e sa che z = B e y è scelto a caso. Se x = B allora ottiene un payoff
atteso pari a 1, se cambia ottiene sempre 1. Se x = t ha un payoff atteso pari a 1 e se
cambia ottiene sempre 1. Analogamente per il giocatore 2.
3. In tal caso gli equilibri correlati sarebbero quelli degli equilibri di Nash e lui otterrebbe
sempre un payoff atteso pari a 0.