Strumenti della Teoria dei Giochi per l’Informatica
A.A. 2009/10
Lecture :
Esercizi per il corso di Strumenti di Teoria dei Giochi per l’Informatica
Docente Prof. Vincenzo Auletta
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Note redatte da: Vincenzo De Maio
Concetti di soluzione
Esercizio 1.1 (Asta di primo prezzo) Formulare un’asta di primo prezzo come un gioco
strategico e trovare i suoi stati stabili.
• Abbiamo n acquirenti e un oggetto in vendita.
• Le valutazioni dei giocatori sono v1 ≥ v2 . . . vn ≥ 0
• Il bene viene assegnato al giocatore che fa l’offerta più alta (o di minimo indice nel caso
di offerte di pari valore) che paga esattamente quanto offerto.
• ui (b) = vi − pi
Soluzione: Sia N = {1 . . . n} l’insieme dei giocatori.
Sia Ai = [0, inf) l’insieme di tutte le possibili offerte.
(
0
∀ b ∈ A1 × . . . × An ui (b) =
vi − bi
se i non vince
se i vince
dove b è il vettore contenente le offerte dei giocatori. Una soluzione b = (b1 . . . bn ) è un equilibrio
Nash se
• b1 ∈ [v1 , v2 ]
• bj ≤ bi j > 1
• ∃i > 1 tale che bi = b1 .
In questa soluzione il giocatore 1 vince e la sua utilità è v1 − b1 ≥ 0. Se dichiarasse b01 > b1
vincerebbe ancora ma con utilità v1 − b01 < v1 − b1 . Se, invece, dichiarasse b1 > b01 perderebbe e
avrebbe utilità 0.
Per ogni altro acquirente l’utilità è 0. Se il giocatore i dichiarasse b0i > b1 vincerebbe con utilità
vi − b0i < 0.
Dimostriamo ora che non esistono equilibri di Nash in cui il giocatore non vince l’asta. Questo
significa che b1 < bi . Se b1 ≤ v1 allora 1 può offrire bi < b0 1 ≤ 1 e ottenere una utilità positiva.
Se bi > v1 allora il giocatore i ha un’utilità negativa e può offrire b0i ≤ b1 ottentendo utilità pari
a 0. Nota che se stabilissimo che in caso di parità l’oggetto è assegnato a un giocatore scelto a
caso tra quelli che hanno fatto la migliore offerta allora il gioco non avrebbe equilibri di Nash.
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Esercizio 1.2 (Chicken game) Due individui sono impegnati in uno scontro. Ognuno di loro
preferisce avere la meglio senza doversi impegnare. Le possibili azioni sono ”aggredire” e ”difendersi”. I giocatori guadagnano 4 se scelgono entrambi una strategia difensiva e 0 se decidono di
attaccare entrambi; se invece uno sceglie di attaccare e l’altro di difendersi, quello che si difende
guadagna 1 mentre l’altro guadagna 5. Modellare il gioco e trovare gli equilibri di Nash.
Soluzione:
C
H
C
4,4
5, 1
H
1, 5
0,0
Abbiamo due equilibri di Nash, ovvero (C,H) e (H,C).
Esercizio 1.3 A n cittadini viene chiesto di contribuire alla costruzione di un bene comune.
Il bene verr‡ costruito solo se ci saranno almeno 2 ≤ k ≤ n contributi; in caso di mancata
costruzione i contributi vanno persi. Ogni giocatore preferisce avere il bene piuttosto che non
averlo e preferisce non contribuire a contribuire. Formulare il problema come un gioco strategico
e trovare gli stati stabili.
Esercizio 1.4 (War of attrition) Due giocatori si contendono un oggetto ed ognuno ha una
sua valutazione vi > 0 dell’oggetto. Fin quando entrambi i giocatori richiedono l’oggetto questi
non viene assegnato. Se all’istante i un giocatore rinuncia l’oggetto viene immediatamente assegnato all’avversario. Se rinunciano allo stesso istante ognuno ottiene met‡ oggetto. Per ogni
istante in cui il giocatore resta in gioco paga 1 quindi se l’agente i ottiene l’oggetto al tempo t la
sua valutazione Ë di vi −t e se rinuncia in quell’istante paga −t. Formulare il problema come un
gioco strategico e provare che in ogni equilibrio Nash uno dei giocatori rinuncia immediatamente
all’oggetto.
Soluzione: L’insieme dei giocatori è N = {1, 2} e per ogni giocatore i, l’insieme delle azioni è
Ai = [0, ∞). Inoltre,
v1 − t1 se t1 > t2
u1 (t1 , t2 ) = v21 − t1 se t1 = t2
0 − t1
se t1 < t2
Consideriamo la soluzione (t1 , t2 ).
• se t1 = t2 allora il giocatore 1 può giocare (t1 + ) e aggiudicarsi l’oggetto per intero con
utilità v1 − t1 − > v21 − t1 .
• Se 0 < t1 < t2 allora il giocatore 1 ha utilità −b1 e può migliorare giocando t1 = 0.
• Se 0 = t1 < t2 allora il giocatore 1 ha utilità 0 e può migliorare v1 > t2 giocando t01 = t2 +.
Quindi tutti gli equilibri Nash sono del tipo (0, t2 ) con t2 > t1 oppure (t10 ) con t1 > v2 .
2
Equilibri di Nash misti
Esercizio 2.1 (Morra cinese) Modellare la ”morra cinese” come un gioco strategico e calcolarne gli equilibri di Nash.
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Esercizio 2.2 (Air strike) L’esercito A deve organizzare un raid aereo per colpire uno di 3
possibili bersagli che hanno valore v1 > v2 > v3 > 0. L’esercito B ha una batteria anti-aerea
che puÚ essere posta a difesa di un solo obiettivo e che Ë in grado di neutralizzare l’attacco
all’obiettivo difeso. Formulare la situazione come un gioco strategico a somma-zero e trovare gli
equilibri di Nash.
3
Equilibri correlati
Esercizio 3.1 (Chicken game) Trovare gli equilibri Nash del chicken game, verificare che
(0, 21 , 21 , 0) Ë un equilibrio correlato e trovare l’equilibrio correlato che massimizza il social welfare. Soluzione:
C
H
C
4,4
5, 1
H
1, 5
0,0
Per trovare un equilibrio dobbiamo trovare la distribuzione di probabilità che massimizza la
funzioen 8p11 + 6p12 + 6p21 soggetta ai vincoli
p11
12
11
≥ 5 p11p+p
4 p11 +p12 + p11p+p
12
12
p21
p21
p22
≥
4
+
5
p21 +p22
p21 +p22
p21 +p22
p21
p11
11
4 p11p+p
+
≥
5
p11 +p21
p11 +p21
21
12
12
22
5 p p+p
≥ 4 p12p+p
+ p12p+p
22
22
P12 22
p
=
1
ij ij
Facendo semplici conti viene che
p=
1
3
1
3
1
3
0
Esercizio 3.2 Consideriamo un gioco a tre giocatori, denotati con 1, 2 e 3, con matrici dei
payoff:
gioc. 1
T
B
L
0,0,3
1,0,0
R
0,0,0
0,0,0
gioc. 2
T
B
L
2,2,2
0,0,0
R
0,0,0
2,2,2
gioc. 3
T
B
L
0,0,0
0,1,0
R
0,0,0
0,0,3
Il giocatore 1 può giocare {B, T }, il giocatore 2 può giocare {L, R} e il giocatore 3 può giocare
{A, B, C}
1. Mostrare che i payoff ottenuti negli equilibri di Nash puri sono (1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 0).
2. Mostrare che esiste un equilibrio correlato in cui il giocatore 3 sceglie B e gli altri usano
una strategia equiprobabile.
3. Cosa succederebbe se il giocatore 3 ricevesse i segnali A,B,C con la stessa probabilità?
Soluzione:
1. Gli equilibri di Nash puri sono (B, L, A)(B, L, C)(T, R, C)(T, R, A)
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2. L’equilibrio è descritto dalla distribuzione di probabilità
(
1
se z = b
p(x, y, z) = 4
0 altrimenti.
Supponiamo che (x, y, z) siano i segnali ricevuti dai tre giocatori. Il giocatore 3 riceve
sicuramente z = B e sa che gli altri giocatori giocheranno strategie uniformi. Quindi il
suo payoff atteso è uguale a 1. Se decidesse di giocare A o C otterrebbe 43 . Il giocatore 1
riceve un segnale x e sa che z = B e y è scelto a caso. Se x = B allora ottiene un payoff
atteso pari a 1, se cambia ottiene sempre 1. Se x = t ha un payoff atteso pari a 1 e se
cambia ottiene sempre 1. Analogamente per il giocatore 2.
3. In tal caso gli equilibri correlati sarebbero quelli degli equilibri di Nash e lui otterrebbe
sempre un payoff atteso pari a 0.
