Criterio di Leibniz - Matematica Generale.it

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www.matematicagenerale.it Criterio di Leibniz
Se la serie a segno alterno, ∑∞
sia decrescente e lim
1
è tale che la successione dei valori assoluti dei suoi termini
0 , allora la serie è convergente.
∞
Ovvero:
∑∞
1
lim
∞
0 e
allora la serie ∑∞
1
è convergente
an  an 1
Esempio 1
Stabilire il carattere della seguente serie

 (1)
n 1
n
1
sen  
n
utilizzando il criterio di Leibniz.
1
1
La serie è a segni alterni; consideriamo il termine generale an  sen   , e calcoliamo lim sen  
n

n
n
1
lim sen    0 ,
n 
n

 1 
Verifichiamo se la successione  sen    è decrescente.
 n  n 1

La funzione
y  senx è crescente per
0
e poiché n  n  1 e quindi
0 x
1

1
n
2

2
e tenuto presente che:
n  1
1
1
si ha che la successione è decrescente.

n 1 n
Quindi, per i criterio di Leibniz la serie data è convergente.
[email protected]
2
www.matematicagenerale.it Esempio 2
Stabilire il carattere della seguente serie

 (1)
n
n2
1
log n
utilizzando il criterio di Leibniz.
La serie è a segni alterni; consideriamo il termine generale an 
lim
n 
1
1
, e calcoliamo lim
n

log n
log n
1
 0,
log n
 1 
Verifichiamo se la successione 
 è decrescente.
 log n n  2
Essendo la funzione
y  log x monotona crescente; n  1 , log n  log(n  1) e quindi n  2
1
1

si ha che la successione
log(n  1) log(n)
 1 

 è decrescente.
 log n n  2
Quindi per i criterio di Leibniz la serie data è convergente.
Esempio 3
Stabilire il carattere della seguente serie

 (1)
n 1
n 1
1
nn
La serie è a segni alterni; consideriamo il termine generale an 
1
1
, e calcoliamo lim 2
2
n  n
n
1
0
n  n 2
lim
1
Verifichiamo se la successione  2  è decrescente. Essendo la funzione y  n 2
n 
crescente n  0 ; n  1
monotona
1
1
 2
2
(n  1)
n
si ha che la successione considerata è decrescente; segue per il criterio di Leibeniz che la serie data
è convergente.
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3
www.matematicagenerale.it Esempio 4
Stabilire il carattere della seguente serie

 (1)
n 1
n 1

n

5 1
La serie è a segni alterni; consideriamo il termine generale an 
lim
n 
Verifichiamo se la successione
La funzione

n

n
n

5  1 , e calcoliamo lim
n

n

5 1
 1 
5  1  lim  5 n  1  0
n 



5 1


n1
è decrescente.
 1  1 
 1
f ( x )   5 x  è decrescente infatti f ' ( x)   5 x    2  ln 5  0 x   ; pertanto la
  x 
 
successione considerata e decrescente; quindi per i criterio di Leibniz la serie data è convergente.
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