Serie numeriche - Domandine e Problemi
Domandine 1. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false
a) Una serie numerica è una successione di numeri reali.
X
an < +∞ ⇒ lim an = 0.
b)
n
n
c)
X
|an | < +∞ ⇒ lim an = 0.
n
n
d) La successione dei termini di una serie convergente è sempre limitata.
e) Ogni serie telescopica è regolare.
f) Se an = bn definitivamente, allora le serie
X
an e
n
X
bn hanno lo stesso carattere.
n
g) an ≥
X
1
per ogni n ≥ 1 ⇒
an è divergente
n
n
h) an ≤
X
1
per
ogni
n
≥
1
⇒
an è convergente
n2
n
i) Il criterio di Leibniz si applica a serie di segno variabile.
j) Esistono serie di potenze che non convergono in nessun punto.
k) Esistono serie di funzioni che non convergono in nessun punto.
X
log(1 + an )
.
Problema 2. Sia
an una serie numerica convergente. Calcolare, se esiste, lim
n
an
n
X
Problema 3. Sia f : [−3, 3] → R una funzione derivabile. Dimostrare che la serie
f (n−3)e−n
n
è convergente.
an
Problema 4. Sia (an )n≥0 è una successione di numeri reali positivi tale che an+1 =
, per
4
X
ogni n ≥ 0. Dimostrare che la serie
an converge.
n≥0
Problema 5. Utilizzando il teorema sull’algebra delle serie ed il teorema del confronto, dimostrare che ogni serie assolutamente comvergente è convergente.
(Sugg. an = (an − |an |) + |an | e an ≤ |an |...)
X xn
Problema 6. Sapendo che
= ex , per ogni x ∈ R, calcolare le soluzioni dell’equazione
n!
n≥0
X xn
=x+1
5n n!
n≥0
Problema 7. Dimostrare che, per ogni x ∈] − 1, 1[,
X
(−1)n x2n =
n≥0
1
1 + x2
