(ii) Viceversa, sia x un numero reale con sviluppo decimale periodico, il cui antiperiodo sia un intero a = a1 . . . ap di p cifre e il cui periodo sia un intero b = b1 . . . bq con q cifre. Si provi che ∞ a b X 1 x − [x] = p + p ; 10 10 n=1 10qn dedurre che x è un numero razionale, e che x si può scrivere sotto forma di una frazione (la frazione generatrice di x) il cui denominatore è fatto da q cifre 9 seguite da p cifre 0, e il cui numeratore è la differenza fra l’intero a1 . . . ap b1 . . . bq e l’intero b1 . . . bq . 2.3 Successioni monotone Un’importante classe di successioni reali è quella delle successioni monotòne (e non monòtone!). Definizione 2.3.1 Sia {an } ⊆ R. Diciamo che {an } è monotona crescente se si ha an+1 ≥ an ∀n ∈ N. Diciamo che {an } è monotona decrescente se si ha an+1 ≤ an ∀n ∈ N. Diciamo che {an } è strettamente crescente o strettamente decrescente se la corrispondente disuguaglianza è stretta per ogni n ∈ N. In entrambi i casi precedenti, la successione si dirà strettamente monotòna. Infine diciamo che {an } è definitivamente monotona (crescente o decrescente) se la corrispondente disuguaglianza è vera soltanto da una certa soglia ν in poi. Esempi 2.3.2 (1) { n1 }, {−n} sono successioni strettamente decrescenti. } sono successioni strettamente crescenti. (2) {(n + 1)!}, { n−1 n n (3) { 1 + nx } è una successione crescente per ogni x ≥ −1 (strettamente, se x 6= 0), ed è definitivamente crescente per x < −1 (esempio 1.8.3 (2)). (4) Le somme parziali di una serie a termini di segno costante formano una successione monotona: crescente se il segno è positivo, decrescente se è 129 negativo. Il comportamento all’infinito delle successioni monotone è particolarmente semplice. Si ha infatti: Proposizione 2.3.3 Sia {an } ⊆ R una successione monotona. Allora essa ha limite e si ha sup an ∈ ] − ∞, +∞] se {an } è crescente, n∈N lim an = n→∞ inf an ∈ [−∞, +∞[ se {an } è decrescente. n∈N In particolare, una successione monotona è convergente se e solo se è limitata. Dimostrazione Proveremo la tesi solamente nel caso in cui {an } è decrescente, lasciando l’altro caso al lettore. Sia L l’estremo inferiore della successione {an }, e supponiamo dapprima che L ∈ R: allora, come sappiamo (proposizione 1.5.10), si ha L ≤ an ∀n ∈ N, ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : L ≤ aν < L + ε. Poiché {an } è decrescente, deduciamo L ≤ an ≤ aν < L + ε ∀n ≥ ν, da cui segue che an → L per n → +∞. Se invece L = −∞, allora {an } non ha minoranti e quindi ∀M > 0 ∃ν ∈ N : aν < −M ; per la decrescenza di {an } segue che an ≤ aν < −M ∀n ≥ ν, cioè an → −∞ per n → +∞. L’ultima proprietà è banale: se {an } è monotona e limitata, allora ha estremo superiore ed estremo inferiore finiti, e quindi ha limite finito coincidente con uno dei due, cioè è convergente; viceversa, ogni successione convergente è limitata per la proposizione 2.1.9 (si noti che questo è vero anche se la 130 successione non è monotona). Tornando alle serie, la proposizione precedente ci dice che per provare la convergenza delle serie a termini positivi è sufficiente far vedere che le somme parziali sono limitate superiormente: e questo è spesso abbastanza facile. Esempi 2.3.4 (1) (Serie armonica generalizzata) Per α > 0 consideriamo la serie ∞ X 1 . nα n=1 Se α = 1, essa si riduce alla serie armonica e, come si è visto nell’esempio 2.2.6 (3), è divergente (positivamente). Dunque per ogni α ∈]0, 1[ si ha a maggior ragione n n X X 1 1 > → +∞ sn = α k k k=1 k=1 per n → +∞, cioè la serie diverge positivamente. Se α = 2, tenuto conto dell’esempio 2.2.6 (2), si ha n n−1 n X X X 1 1 1 <1+ =1+ →2 sn = 2 k k(k − 1) h(h + 1) k=2 h=1 k=1 per n → +∞, e per il teorema di confronto (teorema 2.1.12) la serie converge ed ha somma inferiore a 2. Se α > 2, a maggior ragione, n n X X 1 1 sn = < α k k2 k=1 k=1 e, per confronto con il caso α = 2, la serie converge (con somma minore di 2). Resta il caso α ∈ ]1, 2[: analogamente a quanto fatto per la serie armonica, andiamo a stimare la differenza s2n − sn : si ha 2n X n 1 ≤ s2n − sn = α k (n + 1)α k=n+1 131 ∀n ∈ N+ ; quindi, fissato m ∈ N+ e scelto n = 2m , la disuguaglianza precedente implica sn = s2m = 1 + < 1+ m X (s2k − s2k−1 ) ≤ 1 + k=1 m X k=1 m X k=1 1 2(k−1)(α−1) <1+ 2k−1 < (2k−1 + 1)α 1 . 1 − 2−(α−1) Dato che m ≤ 2m per ogni m ∈ N, si conclude che sm ≤ s2m < 1 + 1 1 − 2−(α−1) ∀m ∈ N+ , e pertanto la serie è convergente. In definitiva, la serie armonica generalizzata ha il seguente comportamento: ∞ X 1 nα n=1 converge se α > 1 diverge a + ∞ se α ≤ 1. (2) (Serie esponenziale) Consideriamo la serie ∞ X 1 , n! n=0 che è convergente in quanto n n X X 1 1 sn = ≤2+ →3 k! k(k − 1) k=0 k=2 per n → +∞. Questa serie è un caso particolare della serie esponenziale verrà analizzata in seguito. P zn n! , z ∈ C, che Stabiliamo adesso un’importante relazione che ci darà modo di definire il fondamentale numero reale e. Proposizione 2.3.5 Risulta n ∞ X 1 1 = lim 1 + . k! n→∞ n k=0 132 Dimostrazione Notiamo che il limite a destra esiste perché la successione (1 + n1 )n è crescente (esempio 1.8.3 (2)). Inoltre si ha, utilizzando la formula di Newton (teorema 1.7.1), n X n 1 n 1 1+ = ∀n ∈ N+ ; k n k n k=0 quindi n n X n(n − 1) · . . . · (n − k + 1) 1 = 1+ = n k! · nk k=0 = n n X n−k+1 X 1 1 n n−1 · · · ... · ≤ k! n n n k! k=0 k=0 ∀n ∈ N+ , da cui, per il teorema di confronto (teorema 2.1.12), n X ∞ 1 1 lim 1 + ≤ . n→∞ n k! k=0 D’altra parte, per ogni fissato m ∈ N+ si ha m m X X 1 n−k+1 1 nn−1 = 1+ · lim · ... · = n→∞ n k! k! n n k=1 k=0 m m X X n 1 1 nn−1 n−k+1 · ... · = lim ; = 1 + lim n→∞ n→∞ k nk k! n n n k=0 k=0 aumentando nell’ultimo termine il numero degli addendi da m (che è fisso) a n (che è più grande, dato che sta tendendo a +∞) si ottiene n m n X X 1 n 1 1 ≤ lim = lim 1 + ∀m ∈ N+ , k n→∞ n→∞ k! k n n k=0 k=0 da cui finalmente, facendo tendere anche m a +∞, n ∞ X 1 1 ≤ lim 1 + , k! n→∞ n k=0 il che prova l’uguaglianza richiesta. 133 Definizione 2.3.6 Indichiamo con e il numero reale definito dalla proposizione 2.3.5, ossia poniamo n ∞ X 1 1 = lim 1 + . e= n→∞ k! n k=0 Il numero e si chiama numero di Nepero e riveste un’importanza fondamentale in tutta la matematica. Esso è un irrazionale (esercizio 2.3.1) ed è compreso fra 2 e 3: infatti 1 ∞ ∞ X X X 1 1 1 2= < <2+ = 3. k! k! k(k − 1) k=0 k=0 k=2 Il logaritmo in base e si dice logaritmo naturale e si scrive indifferentemente loge x = log x = ln x; noi useremo di preferenza la scrittura ln x. Esercizi 2.3 1. Provare che ∞ X 1 1 < n! m · m! n=m+1 ∀m ∈ N+ , e dedurne che e è irrazionale. + [Traccia: se fosse e = p/q con p, q ∈ NP primi tra loro, avremmo per p 1 1 ogni m ∈ N la disuguaglianza 0 < q − m n=0 n! < m·m! ; moltiplicando per q · m! e scegliendo m > q, si deduca un assurdo.] 2. Dimostrare che se b > 1 si ha ∞ X n=2 1 = +∞, n logb n ∞ X n=2 1 < +∞ ∀α > 1. n(logb n)α [Traccia: stimare s2n − sn per n = 2k , analogamente a quanto fatto per la serie armonica e per la serie armonica generalizzata negli esempi 2.2.6 (3) e 2.3.4 (1).] 3. SiaP {an } una successione decrescente di numeri positivi. Provare che se an è convergente, allora limn→∞ n · an = 0, ma che il viceversa è falso. 134 4. Si provi che le successioni 1 + se ne calcolino i limiti. 1 n+1 n e 1− n 1 n+1 sono decrescenti e 5. Calcolare, se esistono, lim n→∞ 1 1+ 2 n n2 1 lim 1 + . n→∞ n n , 6. Provare che lim n→∞ n2 − 1 n(1 + n2 ) √1n = 1. 7. Dimostrare le disuguaglianze 1 1 1 1 1 1 < ln 1 + < , − < ln 1 − <− n+1 n n n−1 n n ∀n ∈ N+ . 8. (Identità di P Abel) Siano a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn , bn+1 numeri complessi. Posto sk = kh=1 ah , si provi che n X ak bk = sn bn+1 − n X sk (bk+1 − bk ). k=1 k=1 9. Determinare il comportamento delle seguenti serie: ∞ X 1 (i) 1 − cos , n n=1 (iv) ∞ X 1 (ii) sin , n n=1 n(n − 1) , (v) (n + 1)(n + 2)2 n=0 ∞ X n n [7 + 3(−1) ] , 3n 2 n=1 √ ∞ X n + 1 n (x) , n(1 + n2 ) n=1 (vii) ∞ X ∞ X 1 , (ln n)ln n n=2 ∞ X (iii) ∞ X ln n n=1 n3 , ∞ X nn (vi) , 2 (n!) n=1 ∞ X 1 n + 2n , (ix) , 3 3 1 + n 1 + n n=0 n=0 √ ∞ ∞ n X X (−1)n n−1 √ (xi) , (xii) . 1 n n n=1 40 n=1 (viii) 135 √ 4 10. Si verifichi l’identità n! 1 n! (n + 1)! = − (n + k)! k − 1 (n + k − 1)! (n + k)! ∀n ∈ N, ∀k ≥ 2, e se ne deduca che ∞ X n=0 ossia n! 1 = (n + k)! (k − 1)(k − 1)! ∞ X 1 n=0 n+k n =1+ 1 k−1 ∀k ≥ 2, ∀k ≥ 2. P 1/n2 11. Si provi che se a > 1 la serie (a − 1) è convergente mentre la serie P 1/n (a − 1) è divergente. Che succede se P 0 < a ≤ 1? k−1 h/k 1/k a = a − 1.] [Traccia: si utilizzi l’identità (a − 1) · h=0 12. Sia {an } definita per ricorrenza dalle relazioni a0 = 1 an an+1 = ∀n ∈ N, λ + an ove λ è un fissato numero positivo. Si provi Pche {an } è decrescente e se ne calcoli il limite; si deduca che la serie an è convergente se λ > 1 e divergente se 0 < λ ≤ 1. [Traccia: si trovi un’espressione esplicita per an .] 13. Sia {Fn } la successione dei numeri di Fibonacci, definiti da ( F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn si determini il comportamento della serie n ∈ N; P 1 . Fn 14. Si provi che risulta ∞ X 1 1 1 < < 2 n + 1 k=n+1 k n 136 ∀n ∈ N+ .