2.3 Successioni monotone

(ii) Viceversa, sia x un numero reale con sviluppo decimale periodico, il
cui antiperiodo sia un intero a = a1 . . . ap di p cifre e il cui periodo
sia un intero b = b1 . . . bq con q cifre. Si provi che
∞
a
b X 1
x − [x] = p + p
;
10
10 n=1 10qn
dedurre che x è un numero razionale, e che x si può scrivere sotto
forma di una frazione (la frazione generatrice di x) il cui denominatore è fatto da q cifre 9 seguite da p cifre 0, e il cui numeratore
è la differenza fra l’intero a1 . . . ap b1 . . . bq e l’intero b1 . . . bq .
2.3
Successioni monotone
Un’importante classe di successioni reali è quella delle successioni monotòne
(e non monòtone!).
Definizione 2.3.1 Sia {an } ⊆ R. Diciamo che {an } è monotona crescente
se si ha
an+1 ≥ an
∀n ∈ N.
Diciamo che {an } è monotona decrescente se si ha
an+1 ≤ an
∀n ∈ N.
Diciamo che {an } è strettamente crescente o strettamente decrescente se
la corrispondente disuguaglianza è stretta per ogni n ∈ N. In entrambi i
casi precedenti, la successione si dirà strettamente monotòna. Infine diciamo che {an } è definitivamente monotona (crescente o decrescente) se la
corrispondente disuguaglianza è vera soltanto da una certa soglia ν in poi.
Esempi 2.3.2 (1) { n1 }, {−n} sono successioni strettamente decrescenti.
} sono successioni strettamente crescenti.
(2) {(n + 1)!}, { n−1
n
n
(3) { 1 + nx } è una successione crescente per ogni x ≥ −1 (strettamente,
se x 6= 0), ed è definitivamente crescente per x < −1 (esempio 1.8.3 (2)).
(4) Le somme parziali di una serie a termini di segno costante formano
una successione monotona: crescente se il segno è positivo, decrescente se è
129
negativo.
Il comportamento all’infinito delle successioni monotone è particolarmente
semplice. Si ha infatti:
Proposizione 2.3.3 Sia {an } ⊆ R una successione monotona. Allora essa
ha limite e si ha

 sup an ∈ ] − ∞, +∞] se {an } è crescente,
n∈N
lim an =
n→∞
 inf an ∈ [−∞, +∞[ se {an } è decrescente.
n∈N
In particolare, una successione monotona è convergente se e solo se è limitata.
Dimostrazione Proveremo la tesi solamente nel caso in cui {an } è decrescente, lasciando l’altro caso al lettore. Sia L l’estremo inferiore della
successione {an }, e supponiamo dapprima che L ∈ R: allora, come sappiamo
(proposizione 1.5.10), si ha
L ≤ an
∀n ∈ N,
∀ε > 0 ∃ν ∈ N :
L ≤ aν < L + ε.
Poiché {an } è decrescente, deduciamo
L ≤ an ≤ aν < L + ε
∀n ≥ ν,
da cui segue che an → L per n → +∞. Se invece L = −∞, allora {an } non
ha minoranti e quindi
∀M > 0 ∃ν ∈ N :
aν < −M ;
per la decrescenza di {an } segue che
an ≤ aν < −M
∀n ≥ ν,
cioè an → −∞ per n → +∞.
L’ultima proprietà è banale: se {an } è monotona e limitata, allora ha estremo
superiore ed estremo inferiore finiti, e quindi ha limite finito coincidente
con uno dei due, cioè è convergente; viceversa, ogni successione convergente
è limitata per la proposizione 2.1.9 (si noti che questo è vero anche se la
130
successione non è monotona).
Tornando alle serie, la proposizione precedente ci dice che per provare la
convergenza delle serie a termini positivi è sufficiente far vedere che le somme
parziali sono limitate superiormente: e questo è spesso abbastanza facile.
Esempi 2.3.4 (1) (Serie armonica generalizzata) Per α > 0 consideriamo
la serie
∞
X
1
.
nα
n=1
Se α = 1, essa si riduce alla serie armonica e, come si è visto nell’esempio
2.2.6 (3), è divergente (positivamente). Dunque per ogni α ∈]0, 1[ si ha a
maggior ragione
n
n
X
X
1
1
>
→ +∞
sn =
α
k
k
k=1
k=1
per n → +∞,
cioè la serie diverge positivamente. Se α = 2, tenuto conto dell’esempio 2.2.6
(2), si ha
n
n−1
n
X
X
X
1
1
1
<1+
=1+
→2
sn =
2
k
k(k
−
1)
h(h
+
1)
k=2
h=1
k=1
per n → +∞,
e per il teorema di confronto (teorema 2.1.12) la serie converge ed ha somma
inferiore a 2. Se α > 2, a maggior ragione,
n
n
X
X
1
1
sn =
<
α
k
k2
k=1
k=1
e, per confronto con il caso α = 2, la serie converge (con somma minore di
2).
Resta il caso α ∈ ]1, 2[: analogamente a quanto fatto per la serie armonica,
andiamo a stimare la differenza s2n − sn : si ha
2n
X
n
1
≤
s2n − sn =
α
k
(n + 1)α
k=n+1
131
∀n ∈ N+ ;
quindi, fissato m ∈ N+ e scelto n = 2m , la disuguaglianza precedente implica
sn = s2m = 1 +
< 1+
m
X
(s2k − s2k−1 ) ≤ 1 +
k=1
m
X
k=1
m
X
k=1
1
2(k−1)(α−1)
<1+
2k−1
<
(2k−1 + 1)α
1
.
1 − 2−(α−1)
Dato che m ≤ 2m per ogni m ∈ N, si conclude che
sm ≤ s2m < 1 +
1
1 − 2−(α−1)
∀m ∈ N+ ,
e pertanto la serie è convergente. In definitiva, la serie armonica generalizzata
ha il seguente comportamento:
∞
X
1
nα
n=1
converge
se α > 1
diverge a + ∞ se α ≤ 1.
(2) (Serie esponenziale) Consideriamo la serie
∞
X
1
,
n!
n=0
che è convergente in quanto
n
n
X
X
1
1
sn =
≤2+
→3
k!
k(k
−
1)
k=0
k=2
per n → +∞.
Questa serie è un caso particolare della serie esponenziale
verrà analizzata in seguito.
P zn
n!
, z ∈ C, che
Stabiliamo adesso un’importante relazione che ci darà modo di definire il
fondamentale numero reale e.
Proposizione 2.3.5 Risulta
n
∞
X
1
1
= lim 1 +
.
k! n→∞
n
k=0
132
Dimostrazione Notiamo che il limite a destra esiste perché la successione
(1 + n1 )n è crescente (esempio 1.8.3 (2)). Inoltre si ha, utilizzando la formula
di Newton (teorema 1.7.1),
n X
n 1
n 1
1+
=
∀n ∈ N+ ;
k
n
k n
k=0
quindi
n
n
X
n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)
1
=
1+
=
n
k! · nk
k=0
=
n
n
X
n−k+1 X 1
1 n n−1
· ·
· ... ·
≤
k! n
n
n
k!
k=0
k=0
∀n ∈ N+ ,
da cui, per il teorema di confronto (teorema 2.1.12),
n X
∞
1
1
lim 1 +
≤
.
n→∞
n
k!
k=0
D’altra parte, per ogni fissato m ∈ N+ si ha
m
m
X
X
1
n−k+1
1
nn−1
= 1+
· lim
· ... ·
=
n→∞ n
k!
k!
n
n
k=1
k=0
m m
X
X
n 1
1 nn−1
n−k+1
· ... ·
= lim
;
= 1 + lim
n→∞
n→∞
k nk
k! n n
n
k=0
k=0
aumentando nell’ultimo termine il numero degli addendi da m (che è fisso)
a n (che è più grande, dato che sta tendendo a +∞) si ottiene
n
m
n X
X
1
n 1
1
≤ lim
= lim 1 +
∀m ∈ N+ ,
k
n→∞
n→∞
k!
k
n
n
k=0
k=0
da cui finalmente, facendo tendere anche m a +∞,
n
∞
X
1
1
≤ lim 1 +
,
k! n→∞
n
k=0
il che prova l’uguaglianza richiesta.
133
Definizione 2.3.6 Indichiamo con e il numero reale definito dalla proposizione 2.3.5, ossia poniamo
n
∞
X
1
1
= lim 1 +
.
e=
n→∞
k!
n
k=0
Il numero e si chiama numero di Nepero e riveste un’importanza fondamentale
in tutta la matematica. Esso è un irrazionale (esercizio 2.3.1) ed è compreso
fra 2 e 3: infatti
1
∞
∞
X
X
X
1
1
1
2=
<
<2+
= 3.
k!
k!
k(k
−
1)
k=0
k=0
k=2
Il logaritmo in base e si dice logaritmo naturale e si scrive indifferentemente
loge x = log x = ln x; noi useremo di preferenza la scrittura ln x.
Esercizi 2.3
1. Provare che
∞
X
1
1
<
n!
m · m!
n=m+1
∀m ∈ N+ ,
e dedurne che e è irrazionale.
+
[Traccia: se fosse e = p/q con p, q ∈ NP
primi tra loro, avremmo per
p
1
1
ogni m ∈ N la disuguaglianza 0 < q − m
n=0 n! < m·m! ; moltiplicando
per q · m! e scegliendo m > q, si deduca un assurdo.]
2. Dimostrare che se b > 1 si ha
∞
X
n=2
1
= +∞,
n logb n
∞
X
n=2
1
< +∞ ∀α > 1.
n(logb n)α
[Traccia: stimare s2n − sn per n = 2k , analogamente a quanto fatto
per la serie armonica e per la serie armonica generalizzata negli esempi
2.2.6 (3) e 2.3.4 (1).]
3. SiaP
{an } una successione decrescente di numeri positivi. Provare che
se
an è convergente, allora limn→∞ n · an = 0, ma che il viceversa è
falso.
134
4. Si provi che le successioni 1 +
se ne calcolino i limiti.
1 n+1
n
e 1−
n
1
n+1
sono decrescenti e
5. Calcolare, se esistono,
lim
n→∞
1
1+ 2
n
n2
1
lim 1 +
.
n→∞
n
n
,
6. Provare che
lim
n→∞
n2 − 1
n(1 + n2 )
√1n
= 1.
7. Dimostrare le disuguaglianze
1
1
1
1
1
1
< ln 1 +
< , −
< ln 1 −
<−
n+1
n
n
n−1
n
n
∀n ∈ N+ .
8. (Identità di P
Abel) Siano a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn , bn+1 numeri complessi.
Posto sk = kh=1 ah , si provi che
n
X
ak bk = sn bn+1 −
n
X
sk (bk+1 − bk ).
k=1
k=1
9. Determinare il comportamento delle seguenti serie:
∞ X
1
(i)
1 − cos
,
n
n=1
(iv)
∞
X
1
(ii)
sin ,
n
n=1
n(n − 1)
, (v)
(n + 1)(n + 2)2
n=0
∞
X
n n
[7 + 3(−1) ]
,
3n
2
n=1
√
∞
X n + 1 n
(x)
,
n(1 + n2 )
n=1
(vii)
∞
X
∞
X
1
,
(ln n)ln n
n=2
∞
X
(iii)
∞
X
ln n
n=1
n3
,
∞
X
nn
(vi)
,
2
(n!)
n=1
∞
X
1
n + 2n
,
(ix)
,
3
3
1
+
n
1
+
n
n=0
n=0
√
∞
∞
n
X
X
(−1)n
n−1
√
(xi)
, (xii)
.
1
n
n
n=1 40
n=1
(viii)
135
√
4
10. Si verifichi l’identità
n!
1
n!
(n + 1)!
=
−
(n + k)!
k − 1 (n + k − 1)! (n + k)!
∀n ∈ N,
∀k ≥ 2,
e se ne deduca che
∞
X
n=0
ossia
n!
1
=
(n + k)!
(k − 1)(k − 1)!
∞
X
1
n=0
n+k
n
=1+
1
k−1
∀k ≥ 2,
∀k ≥ 2.
P 1/n2
11. Si
provi
che
se
a
>
1
la
serie
(a
− 1) è convergente mentre la serie
P 1/n
(a − 1) è divergente. Che succede se P
0 < a ≤ 1?
k−1 h/k
1/k
a = a − 1.]
[Traccia: si utilizzi l’identità (a − 1) · h=0
12. Sia {an } definita per ricorrenza dalle relazioni

 a0 = 1
an
 an+1 =
∀n ∈ N,
λ + an
ove λ è un fissato numero positivo. Si provi
Pche {an } è decrescente e se
ne calcoli il limite; si deduca che la serie
an è convergente se λ > 1
e divergente se 0 < λ ≤ 1.
[Traccia: si trovi un’espressione esplicita per an .]
13. Sia {Fn } la successione dei numeri di Fibonacci, definiti da
(
F0 = 0, F1 = 1,
Fn+2 = Fn+1 + Fn
si determini il comportamento della serie
n ∈ N;
P
1
.
Fn
14. Si provi che risulta
∞
X
1
1
1
<
<
2
n + 1 k=n+1 k
n
136
∀n ∈ N+ .