Come si distribuisce lo stimatore media
campionaria?
La media campionaria definita come
1 n
X Xi
n i 1
È una somma di v.c. indipendenti e ugualmente
distribuite come la popolazione X di origine
per cui
se la popolazione X ≈ N(μ; σ) anche la media
campionaria si distribuisce normalmente
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1
Se la popolazione X ≠ N(μ; σ) si ricorre al
Teorema del limite centrale
Sia X 1, X 2 , X 3 ,... una successione di variabili
casuali indipendenti e identicamente distribuite,
con media e varianza 2 finite, posto
1
Xn
n
si ha che la v.c.
Zn
X
n
X
i
i 1
n
n
converge in distribuzione, per n , alla v.c.
Normale standardizzata.
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2
Questo significa che lo stimatore media campionaria si
distribuisce come una normale per n
Per convenzione si assume valida tale convergenza per n ≥ 30
Fissata una probabilità pari a
1-α individuo le ascisse
simmetriche che
contengono tale probabilità.
Ad esempio per una
probabilità pari a 0,95 le
ascisse corrispondono a -1,96
e +1,96
0,30
0,15
0,95
0,00
-1,96
0,00
1,96
Z=
Se 1- α = 0,90 le ascisse simmetriche della curva normale standardizzata che
contengono il 90% di probabilità sono = -1,645;+1,645
Se 1- α = 0,99 le ascisse simmetriche della curva normale standardizzata
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che contengono il 99% di probabilità sonoEconomiche
= -2,576;+2,576
Uniroma1
x
n
3
Intervallo di confidenza per la media
(varianza nota)
Sia X una v.c. che rappresenta un carattere osservato su una
popolazione. Supponiamo che la v.c. sia distribuita come una
Normale con varianza nota. Allora sappiamo che:
X ~ N ,
2
n
X
Z
~ N 0 , 1
n
P z 2 Z z 2 1
X
P z 2
z 2 1
n
P z 2
X z 2
1
n
n
4
P X z 2
X z 2
1
n ed
n
Paola Giacomello
Dip. Scienze Sociali
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Dato un campione casuale estratto da una popolazione Normale
con media ignota e varianza nota, l’intervallo di confidenza per la
media della popolazione al livello di confidenza 1-α è:
X
z
,
X
z
2
2
n
n
Cosa significa livello di confidenza, perché non si legge
l’intervallo in termini probabilistici?
La corretta interpretazione si riferisce alla probabilità di avere
un campione che ci fornisce una stima puntuale in grado di
formare un intervallo che contenga al suo interno la media della
popolazione.
Se fisso il livello di confidenza al 95% significa che ho 95
campioni su 100 le cui medie campionarie ci permetteranno di
creare intervalli che conterranno al loro interno il parametro
incognito. Mi auguro che il campione da me scelto non appartenga
ai 5 su 100 che non mi garantiscono quanto appena detto
5
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Esempio
Nella seguente figura si mostrano, in corrispondenza di 6 campioni
osservati, gli intervalli di confidenza stimati per la media della
popolazione a un livello di confidenza 0,95.
σ⁄√n
x5
- 1,96 σ⁄√n
x1 x6 x3x2 x4
μ
Medie campionarie
+ 1,96 σ⁄√n
La media campionaria fornita dal campione 5 produce un’intervallo
Giacomello Dip.
di confidenza che nonPaola
contiene
μ Scienze Sociali ed
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6
La lunghezza o ampiezza dell’intervallo di confidenza si
ricava dalla differenza tra estremo superiore e
estremo inferiore:
Lunghezza/ampiezza = 2 z 2
n
Dipende da:
1. la dimensione del campione
2. il livello di confidenza
3. la varianza della popolazione
Intervenendo sulla dimensione del campione o sul livello di
confidenza si può aumentare o diminuire la lunghezza
dell’intervallo. Una volta fissati questi due elementi, al variare dei
campioni estratti, la lunghezza degli intervalli corrispondenti
rimane costante.
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Esempio:
Fissato
n 100
n 70
n 50
n 10
1
n
1 0 ,85
1 0 ,90
1 0 ,95
Fissato
1 0 ,99
A parità di livello di confidenza aumentando n la lunghezza
dell’intervallo diminuisce
A parità di numerosità diminuendo il livello di confidenza la
lunghezza dell’intervallo diminuisce
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Intervallo di confidenza per la media
(varianza ignota)
Sia X una v.c. che rappresenta un carattere osservato su una
popolazione. Supponiamo che la v.c. X sia distribuita come una
Normale con media e varianza ignota.
Per stimare la varianza della popolazione si utilizza lo stimatore
varianza campionaria corretta:
1 n
2
Sc
x
x
i
n 1 i 1
2
Quando standardizzo la v.c.media campionaria ottengo
T X Sc
n
Che si distribuisce come una t- Student con n-1 gradi di libertà
(n rappresenta la numerosità del campione)
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Intervallo di confidenza per la media
(popolazioni non Normali e varianza ignota)
1. Quando non è nota la distribuzione della popolazione ma il
campione ha una dimensione sufficientemente grande (n > 30),
la media campionaria, grazie al teorema del limite centrale, si
distribuisce in modo approssimativamente normale.
2. Se oltre a non conoscere la distribuzione della popolazione non
conosciamo la varianza σ2 possiamo costruire l’intervallo di
confidenza utilizzando ugualmente la N (0,1)
Sc
Sc
X
z
,
X
z
2
2
n
n
Solo se n ≥ 120 perché la t di Student tende verso la normale
all’aumentare dei gradi di libertà, ossia della numerosità del
campione.
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Confronto tra i valori delle ascisse della normale
standardizzata e della t di Student per il livello di
confidenza pari a 0,95
• Valori della normale
± 1,96
• Valori della t di Student
n=10
± 2,23
n=20
± 2,09
n=50
± 2,01
n=80
± 1,99
n=120
± 1,98
n=∞
± 1,96
Funzione di densità della t-Student
per 2, 5 e 15 gradi di libertà e
confronto con la Normale
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Standardizzata
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Un esempio
Una casa farmaceutica dichiara che un nuovo antidolorifico che sta
per immettere sul mercato fa effetto mediamente in un tempo pari
a 12,75 minuti.
Un campione casuale fornisce i seguenti risultati
12,9 13,2 12,7 13,1 13,0 13,1 13,0 12,6 13,1 13,0
13,1 12,8
Sapendo che il tempo si distribuisce normalmente e la deviazione
standard della popolazione è pari a 0,5 trovare
1. La media campionaria
2. Gli estremi dell’intervallo di confidenza
3. Stabilire se sulla base dei dati campionari l’azienda fa una
dichiarazione corretta con un livello di confidenza del 95%
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12
xi
12,90
13,20
12,70
13,10
13,00
13,10
13,00
12,60
13,10
13,00
13,10
12,80
155,60
1. Media campione=155,6/12=12,97
livello di confidenza 95%;
Deviazione standard della popolazione = 0,5
2. estremo inferiore 12,97- 1,96
estremo superiore 12,97+1,96
0,5
= 12,69;
12
0,5
12
= 13,25
3. La media della popolazione rientra nell’intervallo per cui
l’azienda afferma il vero
Ampiezza dell’intervallo=13,25-12,69=0,56
Se volessi un’ampiezza inferiore o uguale a 0,4 dovrei avere un campione di
0,5
numerosità
2 1,96
0,4
n
pari a n=24,01 ossia 25
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13
xi
12,90
13,20
12,70
13,10
13,00
13,10
13,00
12,60
13,10
13,00
13,10
12,80
155,60
(xi-media)^2
0,004
0,054
0,071
0,018
0,001
0,018
0,001
0,134
0,018
0,001
0,018
0,028
0,367
Non conosco la varianza della popolazione la
stimo tramite la realizzazione campionaria alla
quale applico lo stimatore varianza corretta
Varianza corretta campione=0,367/11=0,03
livello di confidenza 95%;
Non posso ipotizzare che lo stimatore media
campionaria si distribuisca normalmente perché
n=12 devo usare la T di Student
Le ascisse simmetriche che contengono il 95% di
probabilità con r (gradi di libertà)=11 della T di
Student sono – 2.201 e +2,201
Estremo inferiore= 12,97-2,201*0,03/√12= 12,951
Estremo superiore= 12,97+2,201*0,03/√12=
12,989
la media della popolazione non rientra
nell’intervallo, l’azienda dice il falso
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