1 - Unife

Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2012/13 appello scritto del 8/7/13
Traccia di soluzione degli esercizi
1)
Indichiamo con L1, L2 e L3 l’evento che la scheda estratta venga da ciascuna delle tre linee, e sia F l’evento “scheda
funzionante”.
a)
P(F) = P(FL1) + P(FL2) + P(FL3) = P(F|L1) P(L1) + P(F|L2) P(L2) + P(F|L2) P(L2) = 1/3 0.7 + 1/6 0.2
+ ½ 0.5 = 62/120
b) P(4| !F) = P(!F |4) P(4) /P(!F) = ½ 1/6 / (58/120) = 5/29
2)
Si tratta della distribuzione binomiale di parametri n=200 e p=1/6
a) E(X)= np = 200/6, Var(X) = n p (1-p) = 200 1/6 5/6
b) Si utilizza il th del limite centrale con correzione di continuita’ per cui approssimo X con una normale di parametri
=E(X) e  = (Var(X))1/2 per cui P(X20) = 1 – P(Z ((20.5-)/)~ 0.9925.
c) cerco n tale che P(X40)>1/2 vale a dire, 1 – P(Z ((40.5-n 1/6)/n1/6 5/6)1/2 )> ½ ricordando che (1/2)=0 ricavo
la condizione (243-n)/(5n)1/2  0 da cui n=243.
d) Y segue la distribuzione binomiale di parametri n=300 e p=1/36, approssimabile con la normale W con =~8.3 e  =
(8.1)1/2. Per il teorema del limite contrale P(Y20) = 1-P(Z (20.5-)/)
3)
Vedi 4.4 e 4.5 del libro di testo.
4)
Lo stimatore di max verosimiglianza per p e’ il massimo della funzione di likelyhood che per il campione {1,0,1,0}
corrisponde a p2(1-p)2. Passando la logaritmo e derivando rispetto a p, si ottiene un’espressione che si azzera per p=½ e
lo studio del segno della derivata seconda conferma che sia tratta di un massimo.
Per il campione {1,1,1,1} la funzione p4 e’ sempre crescente e poiche’ p [0..1] lo stimatore e’ il limite superiore 1.
5)
a) Dato il campione di dimensione n=65, e’ nota la media campionaria x- e la deviazione standard campionaria s, ma non
la varianza δ2 della popolazione di provenienze. Per definire un intervallo di confidenza per la media della popolazione
μ, per cui si utilizza la distribuzione T con 64 gradi di liberta’ e per il calcolo dell’intervallo di confidenza al 95%,
risulta un intervallo ( x-  ( t /2,n-1 s/n) ) ~ 25.4 ½ cioe’ ~ [24.9, 25.9]
b) l’errore e’ | x- - μ | quindi nell’intervallo e’ limitato da ~½.
c) sempre usando la formula dell’intervallo di confidenza, imponendo che sia ampio  0.2 e avendo n come parametro,
si risolve ( t /2,n-1 s/n)  0.1 in funzione di n