Probabilità e Statistica
Esercitazione guidata - 29 maggio 2006
ESERCIZIO 1
Un biologo vuole stimare il tempo di vita medio di un batterio. A tal fine, isola 10
batteri e, osservandoli al microscopio, trova una media campionaria pari a 12 ore ed una
deviazione standard campionaria pari a 1.1 ore. Si suppone che il tempo di vita dei batteri
abbia distribuzione normale .
1. Scrivere qual é la distribuzione della media campionaria
2. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e calcolarne la
realizzazione;
3. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 99% e calcolarne la
realizzazione.
ESERCIZIO 2
Il direttore di una fabbrica di carta vuole stimare lo spessore medio dei fogli prodotti.
Da un campione di 250 fogli scelti a caso tra la produzione, si ottiene un valore della
media campionaria pari a 0.136 millimetri. La deviazione standard é nota e pari a 0.010
millimetri.
1. Calcolare la deviazione standard dello stimatore media campionaria .
2. scrivere qual é la distribuzione (approssimata) dello stimatore media campionaria;
3. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e la sua
realizzazione;
4. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 99% e la sua
realizzazione.
ESERCIZIO 3
L'altezza di una popolazione puo’ essere considerata una variabile casuale X con
distribuzione normale avente deviazione standard nota e uguale a 6. Dalla popolazione
viene scelto in modo casuale un campione di numerositá 10 la cui media empirica risulta
170.
1. Scrivere un intervallo di confidenza per la media di X al livello del 99% e
calcolarne la realizzazione;
2. supponendo ora la varianza non nota e stimata con s2=6, scrivere un intervallo di
confidenza per la media di X al livello del 99% e calcolarne la realizzazione.
ESERCIZIO 4
Un ricercatore vuole stimare qual e’ la percentuale di persone che prendono
l'influenza: sulla base di un campione di numerosita’ 500, riscontra che 67 hanno preso
l'influenza.
1. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di ammalati al livello del
90% e la sua realizzazione.
2. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di ammalati al livello del
95% e la sua realizzazione.
ESERCIZIO 5
Un produttore di fili di rame per l'energia elettrica sa che i fili non devono
avere restringimenti, altrimenti si possono provocare surriscaldamenti.
Supponendo che il diametro dei fili abbia distribuzione normale, si effettua un test
sulla varianza al livello del 5% di
H0 : σ2 = 0.1 contro H1 : σ2 < 0.1.
Quindi il produttore sceglie un campione casuale di 16 fili e trova una varianza
campionaria pari a 0.00865.
1. Determinare la regione di rifiuto.
2. Esplicitare la decisione.
ESERCIZIO 6
Una ditta che vende prodotti cosmetici ha lanciato una nuova linea. Intervistando
120 clienti, sa che 34 di questi non ha gradito i nuovi prodotti. Per stimare la proporzione
p di clienti soddisfatti, vuole effettuare un test al livello
del 5% di
H0 : p = 0.60 contro H1 : p > 0.60
1. Determinare la regione di rifiuto.
2. Esplicitare la decisione.
ESERCIZIO 7
Il numero di lettere smistate giornalmente in un centro postale è modellabile con
una variabile casuale con media µ non nota. Fino al 1994 la media giornaliera era di
14500 lettere. In 60 giorni del 2000 si sono osservati i valori campionari x = 15430 e s2 =
3545000 (rispettivamente media campionaria e
varianza campionaria).
Si vuole verificare mediante un test al livello dell'1% se la media µ è aumentata.
a) Esplicitare le ipotesi del test;
b) scrivere l'opportuna statistica test e la sua distribuzione sotto l'ipotesi principale;
c) determinare la regione di rifiuto;
d) esplicitare la decisione.
