Principi di Kirchhoff - esercizio n. 3

Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 3
principi di Kirchhoff
Calcolare le correnti che circolano nel circuito sotto riportato utilizzando il metodo
delle correnti di maglia (Maxwell), la potenza erogata (o eventualmente assorbita)
dai generatori di tensione E1 ed E2 e quella assorbita da ciascuna resistenza:
E1 = 20 V
R5
R4
E2 = 40 V
+
+
R1 = 8 Ω
R2 = 10 Ω
E1
R2
R1
R3
R3 = 20 Ω
E2
R 4 = 20 Ω
R5 = 30 Ω
Verranno utilizzati i principi di Kirchhoff.
1° Principio (ai nodi):
Per ogni nodo o superficie chiusa (nodo generalizzato) la somma algebrica delle
correnti deve essere nulla.
Il primo principio va applicato ai nodi indipendenti che risultano essere (n – 1).
Essi vanno scelti in modo arbitrario.
2° Principio (alle maglie)
In ogni maglia la somma algebrica delle d.d.p. è nulla.
Il secondo principio va applicato alle maglie indipendenti che risultano essere
[r – (n – 1)]. Esse vanno individuate scegliendo le maglie adiacenti.
Eventuale semplificazione del circuito
Per verificare se sia possibile semplificare il circuito occorre stabilirne i nodi e quindi
controllare se vi siano resistenze in serie o in parallelo.
Si stabiliscano i nodi del circuito.
I nodi presenti nel circuito risultano essere 3.
R4
R5
A
+
B
+
E1
E2
B
R2
R1
R3
C
figura n. 1
Ricerca di resistenze in serie:
Non sono presenti resistenze in serie.
1
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 3
principi di Kirchhoff
Ricerca di resistenze in parallelo:
Le resistenze R4, R5 risultano essere in parallelo perché ciascuna di esse è compresa fra
gli stessi nodi B e A.
Calcolo della resistenza equivalente;
R ⋅R
20 ⋅ 30
RBA = 4 5 =
= 12 Ω
R 4 + R5 20 + 30
Disegno del circuito:
Si disegna un nuovo circuito in cui vengono sostituite le due resistenze R4 R5 con la sola
resistenza RBA.
RBA
A
B
+
+
E1
E2
R2
R1
R3
C
figura n. 2
Ricerca di resistenze in serie:
Le resistenze RBA ed R1 risultano essere in serie perché entrambe sullo stesso ramo BC.
Calcolo della resistenza equivalente;
RS = R1 + RBA = 9 + 12 = 20 Ω
Disegno del circuito:
Si disegna un nuovo circuito in cui vengono sostituite le due resistenze R1 ed RBA con la
sola resistenza RS.
RS
B
+
+
E1
E2
R2
R3
C
figura n. 3
2
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 3
principi di Kirchhoff
Tale circuito non può essere ulteriormente semplificato
Si stabiliscano i nodi, i nodi indipendenti, i rami e le maglie indipendenti del circuito.
In tale circuito si individuano n = 2 nodi, di cui (n – 1) = (2 – 1) = 1 indipendente, r = 3 rami
e [r – (n – 1)] = [3 – (2 – 1)] = 2 maglie indipendenti (come maglie indipendenti verranno
scelte quelle adiacenti).
Si disegnino, come in figura 4, in modo arbitrario, le correnti di ramo che risulteranno
essere 3, perchè tanti sono i rami.
RS
+
B
+
R3
I3
+
+
E1
E2
I2
IS
R2
C
figura n. 4
Si ricorda che per applicare il secondo principio di Kirchhoff occorre fissare un verso
arbitrario positivo di percorrenza della maglia
I principi di Kirchhoff danno origine alle seguenti equazioni:
•B
⎧I2 = I3 + IS
⎪
-BCB ⎨ −RS ⋅ IS + R3 ⋅ I3 = E1
-BCB ⎪⎩RS ⋅ IS + R2 ⋅ I2 = E2 − E1
Sostituendo i valori:
⎧I2 = I3 + IS
⎪
⎨−20 ⋅ IS + 20 ⋅ I3 = 20
⎪
⎩20 ⋅ IS + 10 ⋅ I2 = 40 − 20
Risolvendo il sistema si determinano le tre correnti::
IS = 0,25 A
I2 = J2 = 1,50 A
I3 = J1 = 1,25 A
ovviamente, essendo in serie RBA ed R1, esse saranno attraversate dalla stessa corrente IS.
Calcolo delle correnti I4 ed I5:
Per determinare tali correnti, circolanti rispettivamente nelle resistenze R4 ed R5, in
parallelo tra loro perché fra i nodi B e A, occorre determinare la d.d.p. VBA.
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Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 3
principi di Kirchhoff
VBA = RBA ⋅ IS = 12 ⋅ 0,25 = 3,00 V
I4 =
VBA 3,00
=
= 0,15 A
R4
20
VBA 3,00
=
= 0,10 A
R5
30
I5 =
In conclusione le correnti nel circuito risultano essere quelle riportate in figura n. 5:
R4
R5
A
+
I4
I5
I2
E1
R3
I1
I2 = 1,50 A
I3 = 1,25 A
E2
R2
R1
I3
I1 = 0,25 A
B
+
B
I4 = 0,15 A
I5 = 0,10 A
C
figura n. 5
Calcolo della potenza erogata dai generatori:
Poiché, per il generatore E1, il verso della f.e.m. ed il verso della corrente che l’attraversa
sono discordi, allora tale generatore assorbe potenza invece che erogarla e pertanto la
sua potenza deve essere considera negativa.
PE1 = −E1 ⋅ I1 = 20 ⋅ 0,25 = −5,00 W
PE2 = E2 ⋅ I2 = 40 ⋅ 1,50 = 60,00 W
PET = PE1 + PE2 = −5,00 + 60,00 = 55,00 W
Calcolo delle potenze assorbite dalle resistenze;
PR1 = R1 ⋅ I12 = 8 ⋅ 0,252 = 0,50 W
PR2 = R2 ⋅ I2 2 = 10 ⋅ 1,502 = 22,50 W
PR3 = R3 ⋅ I3 2 = 20 ⋅ 1,252 = 31,25 W
PR4 = R 4 ⋅ I4 2 = 20 ⋅ 0,152 = 0,45 W
PR5 = R5 ⋅ I5 2 = 3 ⋅ 0,102 = 0,30 W
PRT = PR1 + PR2 + PR3 + PR4 + PR5 = 0,50 + 22,50 + 31,25 + 0,45 + 0,30 = 55,00 W
NB: Si noti come la somma algebrica delle potenze erogate o assorbite dai generatori è
pari alla somma delle potenze dissipate su ciascuna resistenza presente nel circuito.
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