Metodo dei potenziali di nodo - esercizio n. 4 - Digilander

Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 4
metodo dei potenziali di nodo
Calcolare le correnti che circolano nel circuito sotto riportato utilizzando il metodo
dei potenziali di nodo, la potenza erogata (o eventualmente assorbita) dai generatori
di tensione E1 ed E2 e quella assorbita da ciascuna resistenza:
R4
R3
E1 = 10 V
R5
E2 = 50 V
R1 = 4 Ω
+
+
R2 = 4 Ω
E1
R3 = 12 Ω
E2
R2
R1
R4 = 6 Ω
R5 = 2 Ω
Verrà utilizzato il metodo dei potenziali di nodo che sfrutta il 1° principio di Kirchhoff.
1° Principio (ai nodi):
Per ogni nodo o superficie chiusa (nodo generalizzato) la somma algebrica delle
correnti deve essere nulla.
Il primo principio va applicato ai nodi indipendenti che risultano essere (n – 1).
Essi vanno scelti in modo arbitrario.
Eventuale semplificazione del circuito
Per verificare se sia possibile semplificare il circuito occorre stabilirne i nodi e quindi
controllare se vi siano resistenze in serie o in parallelo.
Si stabiliscano i nodi del circuito.
I nodi presenti nel circuito risultano essere 3.
R4
C
R3
R5
A
B
+
+
E1
E2
R2
R1
C
figura n. 1
Ricerca di resistenze in serie:
Non sono presenti resistenze in serie.
Ricerca di resistenze in parallelo:
Non sono presenti resistenze in parallelo.
1
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 4
metodo dei potenziali di nodo
Tale circuito non può essere semplificato
Si stabiliscano i nodi, i nodi indipendenti ed i rami del circuito.
In tale circuito si individuano n = 3 nodi, (n – 1) = (3 – 1) = 2 nodi indipendenti ed r = 5 rami.
Si disegnino, come in figura 2, in modo arbitrario, le correnti di ramo che risulteranno
essere 5, perchè tanti sono i rami.
R3
I3
R4
R5
A
C
I4
B
+
I5
+
I2
E1
E2
R2
R1
I1
C
figura n. 2
Si fissi il potenziale di riferimento per un nodo scegliendolo in modo arbitrario: VC = 0
Si proceda nella scrittura di tutte le d.d.p. presenti ai capi di ciascun ramo tra i nodi del
circuito tenendo conto che VC = 0 e si ricavino le rispettive correnti:
⎧
VA
= G4 ⋅ VA
⎪I4 =
R
4
⎪
⎪
V − E1
⎪I1 = A
= G1 ⋅ ( VA − E1 )
AC ⎧ VA = R 4 ⋅ I4
R1
⎪
⎪
AC ⎪ VA = E1 + R1 ⋅ I1
⎪
( VB − VA ) = G ⋅ V − V
⎪
⎪
BA ⎨ VB − VA = R5 ⋅ I5
⎨I5 =
5 ( B
A)
R5
⎪
⎪
BC VB = E2 − R2 ⋅ I2
⎪
⎪
(E − VB ) = G ⋅ E − V
BC ⎪⎩ VB = R3 ⋅ I3
⎪I2 = 2
2 ( 2
B)
R2
⎪
⎪
⎪I = VB = G ⋅ V
3
B
⎪⎩ 3 R3
Si applichi il primo principio di Kirchhoff ai nodi indipendenti A e B:
•A ⎧I5 = I4 + I1
⎨
•B ⎩I2 = I3 + I5
Sostituendo i valori delle correnti ricavate in precedenza si ottiene:
⎪⎧G5 ⋅ ( VB − VA ) = G4 ⋅ VA + G1 ⋅ ( VA − E1 )
⎨
⎪⎩G2 ⋅ (E2 − VB ) = G3 ⋅ VB + G5 ⋅ ( VB − VA )
2
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 4
metodo dei potenziali di nodo
Semplificando:
⎧⎪( G1 + G4 + G5 ) ⋅VA
⎨
⋅VA
⎪⎩−G5
−G5
⋅VB
+ ( G2 + G3 + G5 ) ⋅VB
Sostituendo i valori noti:
⎧⎛ 1 1 1 ⎞
1
⋅VB
⎪⎜ 4 + 6 + 2 ⎟ ⋅VA − 2
⎪⎝
⎠
⎨
⎛ 1 1 1⎞
⎪− 1
⋅VA + ⎜ +
+ ⎟ ⋅VB
⎪⎩ 2
⎝ 4 12 2 ⎠
⎧0,917 ⋅VA
⎨
⎩−0,5 ⋅VA
= G1 ⋅ E1
−0,5
⋅VB
+0,833 ⋅VB
= G2 ⋅ E 2
=
10
4
=
50
4
= 2,5
= 12,5
Risolvendo il sistema si determinano i potenziali VA e VB:
⎧ VA = 10,91 V
⎨
⎩ VB = 15,01 V
E quindi le cinque correnti richieste:
V − E1 16,22 − 10
=
= 1,56 A
I1 = A
R1
4
I2 =
(E2 − VB ) = ( 50 − 24,74 ) = 6,32 A
R2
4
I3 =
VB 24,74
=
= 2,06 A
R3
12
I4 =
VA 16,22
=
= 2,70 A
R4
6
I5 =
( VB − VA ) = ( 24,74 − 16,22 ) = 4,26 A
R5
2
In conclusione le correnti nel circuito risultano essere quelle riportate in figura n. 3:
R3
I3
R4
R5
A
C
I4
I5
+
B
I1 = 1,56 A
+
I2 = 6,32 A
I3 = 2,06 A
I2
E1
E2
R2
R1
I1
C
figura n. 3
3
I4 = 2,70 A
I5 = 4,26 A
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 4
metodo dei potenziali di nodo
Calcolo della potenza erogata dai generatori:
Poiché, per il generatore E1, il verso della f.e.m. ed il verso della corrente che l’attraversa
sono discordi, allora tale generatore assorbe potenza invece che erogarla e pertanto la
sua potenza deve essere considera negativa.
PE1 = E1 ⋅ I1 = 10 ⋅ ( −1,56 ) = −15,60 W
PE2 = E2 ⋅ I2 = 50 ⋅ 6,32 = 316,00 W
PET = PE1 + PE2 = −15,60 + 316,00 = 300,40 W
Calcolo delle potenze assorbite dalle resistenze;
PR1 = R1 ⋅ I12 = 4 ⋅ 1,562 = 9,73 W
PR2 = R2 ⋅ I2 2 = 4 ⋅ 6,322 = 159,77 W
PR3 = R3 ⋅ I3 2 = 12 ⋅ 2,062 = 50,92 W
PR4 = R 4 ⋅ I4 2 = 6 ⋅ 2,702 = 43,74 W
PR5 = R5 ⋅ I5 2 = 2 ⋅ 4,262 = 36,30 W
PRT = PR1 + PR2 + PR3 + PR4 + PR5 = 9,73 + 159,77 + 50,92 + 43,74 + 36,30 = 300,46 W
NB: Si noti come la somma algebrica delle potenze erogate o assorbite dai generatori è
pari alla somma delle potenze dissipate su ciascuna resistenza presente nel circuito.
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