Metodo dei potenziali di nodo (Teorema di Millman)

Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 3
metodo dei potenziali di nodo
Calcolare le correnti che circolano nel circuito sotto riportato utilizzando il metodo
dei potenziali di nodo, la potenza erogata (o eventualmente assorbita) dai generatori
di tensione E1 ed E2 e quella assorbita da ciascuna resistenza:
E1 = 20 V
R5
R4
E2 = 40 V
+
+
R1 = 8 Ω
R2 = 10 Ω
E1
R2
R1
R3
R3 = 20 Ω
E2
R 4 = 20 Ω
R5 = 30 Ω
Verrà utilizzato il metodo dei potenziali di nodo che sfrutta il 1° principio di Kirchhoff.
1° Principio (ai nodi):
Per ogni nodo o superficie chiusa (nodo generalizzato) la somma algebrica delle
correnti deve essere nulla.
Il primo principio va applicato ai nodi indipendenti che risultano essere (n – 1).
Essi vanno scelti in modo arbitrario.
Eventuale semplificazione del circuito
Per verificare se sia possibile semplificare il circuito occorre stabilirne i nodi e quindi
controllare se vi siano resistenze in serie o in parallelo.
Si stabiliscano i nodi del circuito.
I nodi presenti nel circuito risultano essere 3.
R4
R5
A
+
B
+
E1
E2
B
R2
R1
R3
C
figura n. 1
Ricerca di resistenze in serie:
Non sono presenti resistenze in serie.
Ricerca di resistenze in parallelo:
Le resistenze R4, R5 risultano essere in parallelo perché ciascuna di esse è compresa fra
gli stessi nodi B e A.
1
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 3
metodo dei potenziali di nodo
Calcolo della resistenza equivalente;
R ⋅R
20 ⋅ 30
RBA = 4 5 =
= 12 Ω
R 4 + R5 20 + 30
Disegno del circuito:
Si disegna un nuovo circuito in cui vengono sostituite le due resistenze R4 R5 con la sola
resistenza RBA.
RBA
A
B
+
+
E1
E2
R2
R1
R3
C
figura n. 2
Ricerca di resistenze in serie:
Le resistenze RBA ed R1 risultano essere in serie perché entrambe sullo stesso ramo BC.
Calcolo della resistenza equivalente;
RS = R1 + RBA = 9 + 12 = 20 Ω
Disegno del circuito:
Si disegna un nuovo circuito in cui vengono sostituite le due resistenze R1 ed RBA con la
sola resistenza RS.
RS
B
+
+
E1
E2
R2
R3
C
figura n. 3
Tale circuito non può essere ulteriormente semplificato
2
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 3
metodo dei potenziali di nodo
Si stabiliscano i nodi, i nodi indipendenti ed i rami del circuito.
In tale circuito si individuano n = 2 nodi, (n – 1) = (2 – 1) = 1 nodo indipendente ed r = 3
rami.
Si disegnino, come in figura 4, in modo arbitrario, le correnti di ramo che risulteranno
essere 3, perchè tanti sono i rami.
RS
B
R3
I3
+
+
E1
E2
I2
IS
R2
C
figura n. 4
Si fissi il potenziale di riferimento per un nodo scegliendolo in modo arbitrario: VC = 0
Si proceda nella scrittura di tutte le d.d.p. presenti ai capi di ciascun ramo tra i nodi del
circuito tenendo conto che VC = 0 e si ricavino le rispettive correnti:
⎧
E2 − VB
= G2 ⋅ (E2 − VB )
⎪I2 =
R
2
⎪
BC ⎧ VB = E2 − R2 ⋅ I2
VB − E1
⎪
⎪⎪
BC ⎨ VB = E1 + RS ⋅ IS
= GS ⋅ ( VB − E1 )
⎨IS =
R
S
⎪
BC ⎪⎩ VB = R3 ⋅ I3
⎪
V
⎪I3 = B = G3 ⋅ VB
R3
⎪⎩
Si applichi il primo principio di Kirchhoff all’unico nodo indipendente B:
•B
I2 = I3 + IS
Sostituendo i valori delle correnti ricavate in precedenza si ottiene:
G2 ⋅ (E2 − VB ) = G3 ⋅ VB + GS ⋅ ( VB − E1 )
Semplificando:
G ⋅ E + GS ⋅ E1
VB = 2 2
G2 + G3 + GS
Tale formula, particolarmente semplice da ricordare e da scrivere, è valida solo nel caso di
circuiti a due nodi; essa prende il nome di Teorema di Millman. Tale teorema costituisce
un caso particolare (2 nodi) del metodo dei potenziali di nodo.
Sostituendo i valori noti:
3
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 3
metodo dei potenziali di nodo
1
1
⋅ 40 +
⋅ 20
20
VB = 10
= 25,0 V
1
1
1
+
+
10 20 20
E quindi le tre correnti richieste:
E − VB 40 − 25,0
I2 = 2
=
= 1,50 A
R2
10
IS =
VB − E1 25,0 + 20
=
= 0,25 A
RS
20
I3 =
VB 25,0
=
= 1,25 A
R3
20
ovviamente, essendo in serie RBA ed R1, esse saranno attraversate dalla stessa corrente IS.
Calcolo delle correnti I4 ed I5:
Per determinare tali correnti, circolanti rispettivamente nelle resistenze R4 ed R5, in
parallelo tra loro perché fra i nodi B e A, occorre determinare la d.d.p. VBA.
VBA = RBA ⋅ IS = 12 ⋅ 0,25 = 3,00 V
I4 =
VBA 3,00
=
= 0,15 A
R4
20
VBA 3,00
=
= 0,10 A
R5
30
I5 =
In conclusione le correnti nel circuito risultano essere quelle riportate in figura n. 5:
R4
R5
A
+
I4
I5
I2
E1
R3
I1
I2 = 1,50 A
I3 = 1,25 A
E2
R2
R1
I3
I1 = 0,25 A
B
+
B
I4 = 0,15 A
I5 = 0,10 A
C
figura n. 5
Calcolo della potenza erogata dai generatori:
Poiché, per il generatore E1, il verso della f.e.m. ed il verso della corrente che l’attraversa
sono discordi, allora tale generatore assorbe potenza invece che erogarla e pertanto la
sua potenza deve essere considera negativa.
PE1 = −E1 ⋅ I1 = 20 ⋅ 0,25 = −5,00 W
PE2 = E2 ⋅ I2 = 40 ⋅ 1,50 = 60,00 W
PET = PE1 + PE2 = −5,00 + 60,00 = 55,00 W
4
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 3
metodo dei potenziali di nodo
Calcolo delle potenze assorbite dalle resistenze;
PR1 = R1 ⋅ I12 = 8 ⋅ 0,252 = 0,50 W
PR2 = R2 ⋅ I2 2 = 10 ⋅ 1,502 = 22,50 W
PR3 = R3 ⋅ I3 2 = 20 ⋅ 1,252 = 31,25 W
PR4 = R 4 ⋅ I4 2 = 20 ⋅ 0,152 = 0,45 W
PR5 = R5 ⋅ I5 2 = 3 ⋅ 0,102 = 0,30 W
PRT = PR1 + PR2 + PR3 + PR4 + PR5 = 0,50 + 22,50 + 31,25 + 0,45 + 0,30 = 55,00 W
NB: Si noti come la somma algebrica delle potenze erogate o assorbite dai generatori è
pari alla somma delle potenze dissipate su ciascuna resistenza presente nel circuito.
5