Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 2 Calcolare le

Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 2
principi di Kirchhoff
Calcolare le correnti che circolano nel circuito sotto riportato utilizzando i principi di
Kirchhoff, la potenza erogata (o eventualmente assorbita) dai generatori di tensione
E1 ed E2 e quella assorbita da ciascuna resistenza:
+
E2
E1  80 V
R1
R2
R4
+
E2  10 V
R1  8 
R2  14 
R3
R3  12 
E1
R4  6 
R5
R5  2 
Verranno utilizzati i principi di Kirchhoff.
1° Principio (ai nodi):
Per ogni nodo o superficie chiusa (nodo generalizzato) la somma algebrica delle
correnti deve essere nulla.
Il primo principio va applicato ai nodi indipendenti che risultano essere (n – 1).
Essi vanno scelti in modo arbitrario.
2° Principio (alle maglie)
In ogni maglia la somma algebrica delle d.d.p. è nulla.
Il secondo principio va applicato alle maglie indipendenti che risultano essere
[r – (n – 1)]. Esse vanno individuate scegliendo le maglie adiacenti.
Eventuale semplificazione del circuito
Per verificare se sia possibile semplificare il circuito occorre stabilirne i nodi e quindi
controllare se vi siano resistenze in serie o in parallelo.
Si stabiliscano i nodi del circuito.
I nodi presenti nel circuito risultano essere 3.
A
A
+
E2
R1
R4
+
R3
B
E1
R5
C
figura n. 1
Ricerca di resistenze in serie:
Non sono presenti resistenze in serie.
1
R2
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principi di Kirchhoff
Ricerca di resistenze in parallelo:
Non sono presenti resistenze in parallelo.
Tale circuito non può essere ulteriormente semplificato
Si stabiliscano i nodi, i nodi indipendenti, i rami e le maglie indipendenti del circuito.
In tale circuito si individuano n = 3 nodi, di cui (n – 1) = (3 – 1) = 2 indipendenti, r = 5 rami
e [r – (n – 1)] = [5 – (3 – 1)] = 3 maglie indipendenti (come maglie indipendenti verranno
scelte quelle adiacenti).
Si disegnino, come in figura 2, in modo arbitrario, le correnti di ramo che risulteranno
essere 5, perchè tanti sono i rami.
A
A
I1
E2
+
R1
I4
R4
R3
+
+
E1
+
R2
+
I2
B
I3
I5
R5
C
figura n. 2
Si ricorda che per applicare il secondo principio di Kirchhoff occorre fissare un verso
arbitrario positivo di percorrenza della maglia
I principi di Kirchhoff danno origine alle seguenti equazioni:
A
 I1  I2  I3  I4

B
 I4  I2  I5
ACA  R1  I1  R3  I3  E1

ABCA  R 4  I4  R5  I5  R3  I3  0
ABA  R2  I2  R 4  I4  E2
Sostituendo i valori:
 I1  I2  I3  I4

 I4  I2  I5
 8  I1  12  I3  80

 6  I4  2  I5  12  I3  0
 14  I  6  I  10
2
4

Risolvendo il sistema si determinano le cinque correnti:
I1  6,45 A
I2  0,73 A
I3  2,36 A
I4  3,36 A
I5  4,09 A
2
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 2
principi di Kirchhoff
Poiché il valore della corrente I2 risulta essere negativo, allora il verso arbitrariamente
assegnato ad I2 nella figura n. 2, deve essere invertito.
In conclusione le correnti nel circuito risultano essere quelle riportate in figura n. 3:
A
A
I1
+
E2
R1
I4
R3
+
I2
B
E1
R2
R4
I2  0,73 A
I3  2,36 A
I4  3,36 A
I3
I5
I1  6,45 A
R5
I5  4,09 A
C
figura n. 3
Calcolo della potenza erogata dai generatori:
Poiché, per il generatore E2, il verso della f.e.m. ed il verso della corrente che l’attraversa
sono discordi, allora tale generatore assorbe potenza invece che erogarla e pertanto la
sua potenza deve essere considera negativa.
PE1  E1  I1  80  6,45  516,00 W
PE2  E2  I2  10   0,73   7,30 W
PET  PE1  PE2  516,00  7,30  508,70 W
Calcolo delle potenze assorbite dalle resistenze;
PR1  R1  I12  8  6,452  332,82 W
PR2  R2  I2 2  14  0,732  7,46 W
PR3  R3  I3 2  12  2,362  66,84 W
PR4  R 4  I4 2  6  3,362  67,73 W
PR5  R5  I5 2  2  4,092  33,46 W
PRT  PR1  PR2  PR3  PR4  PR5  332,82  7,46  66,84  67,73  33,46  508,31 W
NB: Si noti come la somma algebrica delle potenze erogate o assorbite dai generatori è
pari alla somma delle potenze dissipate su ciascuna resistenza presente nel circuito.
3
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 2
principi di Kirchhoff
Risoluzione del sistema col metodo di sostituzione:
 I1  I2  I3  I4

 I4  I2  I5
 8  I1  12  I3  80

 6  I4  2  I5  12  I3  0
 14  I  6  I  10
2
4

Si semplifichi il sistema:
 I1  I2  I3  I4

 I4  I2  I5
 4  I1  6  I3  40

 3  I4  I5  6  I3  0
 7 I  3 I  5
4
 2
Si sostituisca la seconda equazione in tutte le altre:
I4  I2  I5
I1  I2  I3  I2  I5 

4  I1  6  I3  40

3  I2  I5   I5  6  I3  0
7  I2  3  I2  I5   5

Si semplifichi il sistema:
I1  I3  I5
4  I  6  I  40
 1
3




3
I
4
I
5  6  I3  0
 2
10  I2  3  I5  5
Si sostituisca la prima equazione in tutte le altre:
I1  I3  I5
4  I3  I5   6  I3  40

3  I2  4  I5  6  I3  0
10  I  3  I  5
2
5

Si semplifichi il sistema:
5  I3  2  I5  20

3  I2  4  I5  6  I3  0
10  I  3  I  5
2
5

Si ricavi la corrente I5 dalla prima equazione e si sostituisca in tutte le altre:
20  5  I3
 10  2,5  I3
2
3  I2  4  10  2,5  I3   6  I3  0

10  I2  3  10  2,5  I3   5
Si semplifichi il sistema:
3  I2  40  16  I3  0

10  I2  25  7,5  I3  0
I5 
Si ricavi la corrente I2 dalla seconda equazione e si sostituisca nell’unica rimasta:
4
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 2
principi di Kirchhoff
7,5  I3  25
 0,75  I3  2,5
10
3   0,75  I3  2,5   40  16  I3  0
I2 
Si semplifichi e si ricavi la corrente I3 :
3   0,75  I3  2,5   40  16  I3  0
2,25  I3  7,5  40  16  I3  0
 13,75  I3  32,5  0
32,5
 2,36
13,5
Sostituendo nelle equazioni utilizzate per la sostituzione che si riportano dall’ultima alla
prima si ottiene:
7,5  I3  25
I2 
 0,75  I3  2,5  0,75  2,36  2,5  1,77  2,5  0,73
10
20  5  I3
I5 
 10  2,5  I3  10  2,5  2,36  4,1
2
I1  I3  I5  2,36  4,1  6,46
I4  I2  I5  0,73  4,1  3,37
Le correnti richieste risultano essere:
I1  6,46 A
I3 
I2  0,73 A
I3  2,36 A
I4  3,37 A
I5  4,1 A
5