Analisi Matematica 2 per Matematica – Seconda parte Argomenti 15 maggio 2013 1. Esercizio. Da [DM] studiare gli enunciati 9.23.1, 9.24.1, 9.24.2. Svolgere poi i seguenti argomenti/esercizi: misura della palla unitaria a pag. 327, 7.18.4, 7.20.1, 9.22.6, 9.22.8, 9.24.3 (tassativo), 9.24.4, 9.24.5, 9.24.6, 9.24.7, 9.24.8, 9.26.2, 9.26.3. L’integrale di Dirichlet La funzione x 7→ sin x/x è una tipica funzione che non è integrabile alla Lebesgue su R, pur avendo integrale generalizzato finito. Vogliamo calcolare l’integrale (non assolutamente convergente) ( ) ∫ +∞ ∫ +∞ ∫ r sin x sin x sin x dx = 2 dx := 2 lim dx , r→+∞ 0 x x x −∞ 0 molto importante in varie applicazioni, chiamato integrale di Dirichlet. Il calcolo è svolto nel seguente esercizio. 2. Esercizio. Per k = 1, 2, 3, . . . sia Ek = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2kπ, y ≥ 0}, e sia f (x, y) = e−xy sin x, ∫ (i) Mostrare che f appartiene ad L1 (Ek ), ed esprimere Ek f (x, y) dxdy con integrali unidimensionali, sia in x che in y. ∫ (ii) Calcolare limk→∞ Ek f (x, y) dxdy e dedurne il valore dell’integrale di Dirichlet. (iii) È vero che f è sommabile su [0, +∞[×[0, +∞[? Soluzione. Usiamo il teorema di Tonelli; integriamo |f (x, y)| prima in y e poi in x: (∫ y=+∞ ) ∫ x=2kπ ∫ x=2kπ ∫ 2kπ | sin x| | sin x| −xy | sin x| e dy dx = dx = dx, x x x=0 y=0 x=0 0 (si è supposto che sia x > 0; per x = 0 l’integrale in y viene +∞, cosa che non disturba, trattandosi di un solo punto, e cioè di un insieme di misura nulla); l’ultimo è l’integrale di una funzione continua su un intervallo compatto, che quindi esiste finito. Per il teorema di Fubini si ha allora (∫ y=+∞ ) ∫ ∫ x=2kπ ∫ 2kπ sin x −xy −xy e sin x dxdy = sin x e dy dx = dx, x x=0 y=0 0 Ek ed anche, integrando prima in x e poi in y: ∫ ∫ y=+∞ (∫ −xy e sin x dxdy = Ek y=0 x=2kπ ) −xy e sin x dx dy. x=0 Una primitiva in x di e−xy sin x è −e−xy (cos x + y sin x)/(1 + y 2 ) (vedi Formulario); ne segue ∫ x=2kπ e−2kπy 1 − , e−xy sin x dx = 1 + y2 1 + y2 x=0 2 ∫ da cui ∫ ∞ f (x, y) dxdy = Ek Si è trovato che ∫ 2kπ 0 0 sin x π dx = − x 2 ∫ ∞ 0 dy − 1 + y2 e−2kπy dy 1 + y2 ∫ 0 ∞ e−2kπy dy. 1 + y2 (k = 1, 2, 3, . . . ); passando in tale formula al limite per k che tende all’infinito il primo membro tende a ∫∞ (sin x/x) dx; a secondo membro l’integrale tende a 0, avendosi 0 ∫ ∞ −2kπy ∫ ∞ e 1 0< dy < e−2kπy dy = . 2 1+y 2kπ 0 0 Si è quindi visto che ∫ 0 ∞ π sin x dx = . x 2 (iii) La funzione f non è sommabile sul primo quadrante; infatti integrando |f (x, y)| prima in y e poi in x, come fatto all’inizio, si ha (∫ y=+∞ ) ∫ x=∞ ∫ x=∞ | sin x| −xy | sin x| e dy dx = dx = +∞, x x=0 y=0 x=0 come visto in Analisi Uno, 18.5.3. Si osservi che ciò nonostante il limite degli integrali su Ek esiste finito, come sopra visto. 3. Esercizio. Da [S] studiare l’appendice alle pagg. 748–750. 4. Esercizio. Una lamina di massa M ha densità di massa superficiale costante ρ e ha la forma di un disco di raggio R perpendicolare all’asse z e con centro nell’origine. Usare la legge di gravitazione di Newton per dimostrare che la forza che tale lamina esercita su un punto materiale di massa m posizionato lungo l’asse del disco, e quindi di coordinate (0, 0, ζ), con ζ > 0, è: ( ) 1 1 F⃗ (ζ) = −2πGmρζ −√ ⃗e3 ζ R2 + ζ 2 Dimostrare che se ζ → ∞ l’intensità della forza diventa asintotica a: G Mm ζ2 Quanto vale lim+ F⃗ (ζ)? ζ→0 Determinare la forza esercitata sul punto materiale da una lamina che si estende su tutto il piano x y; cosa si osserva? 5. Esercizio. Sia s una costante positiva fissata. Integrando e−sxy sin x come integrale iterato, dimostrare che: ∫ +∞ sin x 1 e−sx dx = arctan x s 0 3 6. Esercizio. Sia s una costante positiva fissata. Integrando e−sx sin 2xy mostrare che: ) ( ∫ +∞ 2 1 4 −sx sin x e dx = log 1 + 2 x 4 s 0 7. Esercizio. Da [DMM] scegliere e svolgere alcuni degli esercizi del capitolo 8. BIBLIOGRAFIA [DM] G. De Marco, Analisi Due, Decibel Zanichelli. [DMM] G. De Marco, C. Mariconda, Esercizi di calcolo in più variabili, Decibel Zanichelli. [S] G F. Simmons, Calculus with Analytic Geometry, McGraw-Hill, New York (1996).