Argomenti 15 maggio

Analisi Matematica 2 per Matematica – Seconda parte
Argomenti 15 maggio 2013
1. Esercizio. Da [DM] studiare gli enunciati 9.23.1, 9.24.1, 9.24.2. Svolgere poi i
seguenti argomenti/esercizi:
misura della palla unitaria a pag. 327, 7.18.4, 7.20.1, 9.22.6, 9.22.8, 9.24.3
(tassativo), 9.24.4, 9.24.5, 9.24.6, 9.24.7, 9.24.8, 9.26.2, 9.26.3.
L’integrale di Dirichlet
La funzione x 7→ sin x/x è una tipica funzione che non è integrabile alla Lebesgue
su R, pur avendo integrale generalizzato finito. Vogliamo calcolare l’integrale (non
assolutamente convergente)
(
)
∫ +∞
∫ +∞
∫ r
sin x
sin x
sin x
dx = 2
dx := 2 lim
dx ,
r→+∞ 0
x
x
x
−∞
0
molto importante in varie applicazioni, chiamato integrale di Dirichlet. Il calcolo è
svolto nel seguente esercizio.
2. Esercizio. Per k = 1, 2, 3, . . . sia Ek = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2kπ, y ≥ 0}, e sia
f (x, y) = e−xy sin x,
∫
(i) Mostrare che f appartiene ad L1 (Ek ), ed esprimere Ek f (x, y) dxdy con integrali
unidimensionali, sia in x che in y.
∫
(ii) Calcolare limk→∞ Ek f (x, y) dxdy e dedurne il valore dell’integrale di Dirichlet.
(iii) È vero che f è sommabile su [0, +∞[×[0, +∞[?
Soluzione. Usiamo il teorema di Tonelli; integriamo |f (x, y)| prima in y e poi in x:
(∫ y=+∞
)
∫ x=2kπ
∫ x=2kπ
∫ 2kπ
| sin x|
| sin x|
−xy
| sin x|
e
dy dx =
dx =
dx,
x
x
x=0
y=0
x=0
0
(si è supposto che sia x > 0; per x = 0 l’integrale in y viene +∞, cosa che non disturba,
trattandosi di un solo punto, e cioè di un insieme di misura nulla); l’ultimo è l’integrale
di una funzione continua su un intervallo compatto, che quindi esiste finito. Per il
teorema di Fubini si ha allora
(∫ y=+∞
)
∫
∫ x=2kπ
∫ 2kπ
sin x
−xy
−xy
e
sin x dxdy =
sin x
e
dy dx =
dx,
x
x=0
y=0
0
Ek
ed anche, integrando prima in x e poi in y:
∫
∫ y=+∞ (∫
−xy
e
sin x dxdy =
Ek
y=0
x=2kπ
)
−xy
e
sin x dx
dy.
x=0
Una primitiva in x di e−xy sin x è −e−xy (cos x + y sin x)/(1 + y 2 ) (vedi Formulario); ne
segue
∫ x=2kπ
e−2kπy
1
−
,
e−xy sin x dx =
1 + y2 1 + y2
x=0
2
∫
da cui
∫
∞
f (x, y) dxdy =
Ek
Si è trovato che
∫
2kπ
0
0
sin x
π
dx = −
x
2
∫
∞
0
dy
−
1 + y2
e−2kπy
dy
1 + y2
∫
0
∞
e−2kπy
dy.
1 + y2
(k = 1, 2, 3, . . . );
passando
in tale formula al limite per k che tende all’infinito il primo membro tende a
∫∞
(sin x/x) dx; a secondo membro l’integrale tende a 0, avendosi
0
∫ ∞ −2kπy
∫ ∞
e
1
0<
dy <
e−2kπy dy =
.
2
1+y
2kπ
0
0
Si è quindi visto che
∫
0
∞
π
sin x
dx = .
x
2
(iii) La funzione f non è sommabile sul primo quadrante; infatti integrando |f (x, y)|
prima in y e poi in x, come fatto all’inizio, si ha
(∫ y=+∞
)
∫ x=∞
∫ x=∞
| sin x|
−xy
| sin x|
e
dy dx =
dx = +∞,
x
x=0
y=0
x=0
come visto in Analisi Uno, 18.5.3. Si osservi che ciò nonostante il limite degli integrali
su Ek esiste finito, come sopra visto.
3. Esercizio. Da
[S]
studiare l’appendice alle pagg. 748–750.
4. Esercizio. Una lamina di massa M ha densità di massa superficiale costante ρ e
ha la forma di un disco di raggio R perpendicolare all’asse z e con centro nell’origine.
Usare la legge di gravitazione di Newton per dimostrare che la forza che tale lamina
esercita su un punto materiale di massa m posizionato lungo l’asse del disco, e quindi
di coordinate (0, 0, ζ), con ζ > 0, è:
(
)
1
1
F⃗ (ζ) = −2πGmρζ
−√
⃗e3
ζ
R2 + ζ 2
Dimostrare che se ζ → ∞ l’intensità della forza diventa asintotica a:
G
Mm
ζ2
Quanto vale lim+ F⃗ (ζ)?
ζ→0
Determinare la forza esercitata sul punto materiale da una lamina che si estende su
tutto il piano x y; cosa si osserva?
5. Esercizio. Sia s una costante positiva fissata. Integrando e−sxy sin x come integrale
iterato, dimostrare che:
∫ +∞
sin x
1
e−sx
dx = arctan
x
s
0
3
6. Esercizio. Sia s una costante positiva fissata. Integrando e−sx sin 2xy mostrare che:
)
(
∫ +∞
2
1
4
−sx sin x
e
dx = log 1 + 2
x
4
s
0
7. Esercizio. Da
[DMM]
scegliere e svolgere alcuni degli esercizi del capitolo 8.
BIBLIOGRAFIA
[DM] G. De Marco, Analisi Due, Decibel Zanichelli.
[DMM] G. De Marco, C. Mariconda, Esercizi di calcolo in più variabili, Decibel Zanichelli.
[S] G F. Simmons, Calculus with Analytic Geometry, McGraw-Hill, New York (1996).