MODULO B
FORMULE GOMIOMETRICHE
MATERIALE DIDATTICO
2007/2008
Formule di Addizione e sottrazione
Siano
e
due angoli. Si vuole ricavare il seno, il coseno, la tangente e la
cotangente dell'angolo somma
e dell'angolo sottrazione
di seno, coseno, tangente e cotangente degli angoli dati.
in funzione
Consideriamo un cerchio trigonometrico.
Consideriamo l'angolo
nel terzo quadrante e l'angolo
che la loro differenza,
nel secondo quadrante tali
sia un angolo del primo quadrante.
Il punto P sia il punto sulla circonferenza che corrisponde ad
corrisponde a
e S il punto che corrisponde ad
, Q il punto che
; inoltre sia A l'origine degli
archi; le coordinate cartesiane di tali punti saranno:
, sen
P=(cos
) ; Q=(cos
, sen
)
; S=( cos(
), sen(
)) ; A=(1,0 )
L'arco PQ sara'uguale all'arco AS perché gli angoli al centro sono entrambe uguali ad
quindi avremo che anche per le corde PQ = AS
Applicando la formula per la distanza fra due punti nel piano per calcolare sia PQ che
AS avremo
PQ =
(cos α − cos β ) 2 + ( senα − senβ ) 2 ,
AS = [(cos a(α − β ) − 1] 2 + ( sen(α − β ) 2
uguagliando le due espressioni si ottiene:
(cos α − cos β ) 2 + ( senα − senβ ) 2 =
[(cos a (α − β ) − 1] 2 + ( sen(α − β ) 2
Eseguiamo i calcoli: eliminiamo le radici elevando ambo i membri al quadrato, si
ottiene:
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(cos α − cos β ) 2 + ( senα − senβ ) 2 = [(cos a (α − β ) − 1]2 + ( sen(α − β ) 2
Eseguiamo i quadrati
cos2 α + cos 2 β -2cos α cos β + sen2 α + sen2 β -2 sen α sen β =
= cos2 ( α - β ) + 1 - 2 cos ( α - β ) + sen2 ( α - β )
Per la prima relazione fondamentale so che cos2(angolo) + sen2(angolo) = 1 ,
quindi
1 + 1 -2cos α cos β -2 sen α sen β = 1 + 1 - 2 cos ( α - β )
-2 cos α cos β -2 sen α sen β = - 2 cos ( α - β )
sposto i termini dalla parte dell'uguale dove sono positivi
2 cos ( α - β ) = 2 cos α cos β + 2 sen α sen β
divido tutto per 2 ed ottengo la prima formula
cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β
Per determinate la formula per cos ( α + β ) cerchiamo di riportarlo alla formula che
gia' conosciamo: cos ( α - β ) sostituendo al posto di β l’angolo - β
cos ( α -(- β )) = cos α cos(- β )+ sen α sen(- β )
ricordando le formule per gli archi opposti, si ottiene la formula cercata:
cos ( α + β ) = cos α cos β - sen α sen β
Per determinate la formula per sen( α + β ) cerchiamo di riportarlo alla formula che
gia' conosciamo: cos ( α - β ) usando le formule degli archi associati, in particolare
degli angoli complementari.
sen( α + β ) = cos [90° - ( α + β )]=
raggruppo diversamente all'interno delle parentesi quadre
cos [(90° - α )+ β )]=
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in questo modo applico la formula gia' trovata ai due angoli (90° - α ) e β
= cos (90°- α )cos β + sen (90°- α )sen β =
ricordando che il coseno ed il seno di angoli complementari si scambiano
= sen α cos β + cos α sen β
quindi la formula cercata e'
sen( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β
Per determinate la formula per sen( α - β ) ci rifacciamo ad una formula che gia'
conosciamo: sen( α + β ) sostituendo al posto di β , (- β )
sen( α - β )=sen[ α +(- β )]=sen α cos(- β )+cos α sen(- β )=sen α cos β - cos α sen β
quindi la formula cercata e'
sen( α - β ) = sen α cos β - cos α sen β
Tabella di riepilogo per le formule di addizione e sottrazione per
seno e coseno
cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β
cos ( α + β ) = cos α cos β - sen α sen β
sen( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β
sen( α - β ) = sen α cos β - cos α sen β
!!! Vista l'importanza delle formule sarebbe bene saperle "a memoria"
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Formule di addizione e sottrazione per la tangente
Estendiamo alla tangente le formule di addizione e sottrazione: tg( α + β ) e tg( α - β )
Applico la seconda relazione fondamentale
tg (α + β ) =
seα cos β + cos αsenβ
sen(α + β )
=
=
cos α cos β − senαsenβ
cos(α + β )
divido il numeratore e il denominatore per cos α cos β (e quindi divido ogni termine
del numeratore ed ogni termine del denominatore)
Nota: il dividere numeratore e denominatore per coseno e' un meccanismo che
useremo spesso e ci permetterà di trovare formule in cui sia coinvolta la tangente
seα cos β
cos αsenβ
+
cos α cos β cos α cos β
=
=
senαsenβ
cos α cos β
−
cos α cos β cos α cos β
semplificando ove possibile e ricordando la seconda relazione fondamentale ottengo la
formula finale
tg (α + β ) =
tgα + tgβ
1 − tgα ⋅ tgβ
Sostituendo al posto di β , (- β ) e ricordando le formule per gli archi opposti,
si ottiene la formula per la tg( α - β )
tg (α − β ) =
tgα − tgβ
1 + tgα ⋅ tgβ
Analogamente si procederà per la cotangente,(fare per esercizio) ottenendo le
formule:
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cot g (α + β ) =
cot gα ⋅ cot gβ − 1
cot gβ + cot gα
cot g (α − β ) =
cot gα ⋅ cot gβ + 1
cot gβ − cot gα
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Applicazioni delle formule di addizione e sottrazione
ESEMPIO 1 - Trovare i valori del seno per l'angolo di 75°.
Poiché posso pensare 75° come somma degli angoli noti (30° + 45°), posso scrivere:
sen 75° = sen (30°+45°) =
applico la formula di addizione per il seno:
sen( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β
con α = 30° e
= sen 30° cos 45° + cos 30° sen 45° =
sostituisco i valori, ottenendo:
=
1 2
3 2
2
6 1
+
=
+
= ( 2 + 6)
2 2
2 2
4
4
4
sen75° =
β = 45°
quindi
1
( 2 + 6)
4
ESEMPIO 2 - Vediamo ora di trovare il coseno di 15°.
Poiche' seno e coseno si scambiano per angoli complementari troveremo lo stesso
risultato dell'esercizio precedente. Posso pensare 15° come 45° - 30° (o anche 60° 45°), quindi:
cos 15° = cos (60 - 45°) =
applico la formula di sottrazione per il coseno:
cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β
con
= cos 30° cos 45° + sen 30° sen 45° =
sostituisco i valori, ottenendo:
=
α = 60° e
β = 45°
3 2 1 2 1
+
= ( 2 + 6)
2 2 2 2
4
cos15° =
1
( 2 + 6)
4
ESERCIZIO
Prova a trovare il cos 75° e la tg 15°.
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Formule di duplicazione
Nelle formule di addizione che abbiamo studiato precedentemente, poniamo β = α,
otterremo le formule di DUPLICAZIONE che esprimono le funzioni goniometriche di
un angolo mediante le funzioni dell’angolo DOPPIO.
Dalla formula
sen( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β
sen (α + α ) = senα cos α + cos α senα
si ha:
cioè:
sen ( 2α ) = 2 senα cos α
Dalla formula
cos ( α + β ) = cos α cos β - sen α sen β
cos(α + α ) = cos α cos α − senα senα
si ha:
cioè:
cos( 2α ) = cos 2 α − sen 2α
dalla relazione fondamentale, possiamo anche scrivere
cos( 2α ) = 1 − 2 sen 2α
cos( 2α ) = 2 cos 2 α − 1
ESERCIZI
1) Calcolare le funzioni dell’angolo di 36°.
sen36° = sen2 ⋅ 18° = 2sen18° cos18° = 2
sen36° =
5 − 1 10 + 2 5
= svolgendo tutti i calcoli:
4
4
10 − 2 5
5 +1
, cos 36° =
, tg 36° = 5 − 2 5 (lascio i calcoli al volenteroso).
4
4
2) Sapendo che sena=1/3, calcolare sen2a, cos2a, tg2a.
Poiché non si dà alcuna indicazione, l’estremo dell’angolo a può cadere sia nel
primo che nel secondo quadrante, per cui:
2 2
2
4 2
7
e tga = ±
, si otterrà allora: sen2a = ±
, cos 2a = ,
3
4
9
9
4 2
tg 2a = ±
7
cos a = ±
3) Calcolare sen3a, cos3a, tg3a.
Usare le formule di addizione e di duplicazione già note (es. sen(3a)=sen(2a+a)=)
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Formule di bisezione
Nelle formule di duplicazione del coseno che abbiamo studiato precedentemente,
poniamo α= α/2, otterremo le formule di BISEZIONE che esprimono le funzioni
goniometriche di un angolo mediante le funzioni dell’angolo metà.
cos( 2α ) = 1 − 2 sen 2α
Dalla formula
α
α
cos( 2 ) = 1 − 2 sen 2
2
2
sen 2
α
=
2
1 − cos α
2
cioè
α
cos( 2 ) = 2 cos 2 − 1
2
2
cos 2
α
2
=
cos α = 1 − 2 sen 2
cioè
sen
α
2
=±
1 + cos α
2
cioè
α
risolvendo
2
1 − cos α
2
cos( 2α ) = 2 cos 2 α − 1
Dalla formula
α
si ha:
si ha:
cos α = 2 cos 2
cioè
cos
α
2
=±
α
2
−1
risolvendo
1 + cos α
2
così per la tangente, ricordando la relazione fondamentale, si ha:
tg 2
α
2
=
1 − cos α
1 + cos α
ovvero
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tg
α
2
=±
1 − cos α
1 + cos α
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