PROVA SCRITTA ANALISI 1-B
Esercizio 1. Data la funzione
f (x) =
x2
1
+ log(x2 − 4)
−4
se ne studi
(1) il campo di definizione, i limiti al bordo del campo di definizione,
eventuali asintoti (4 punti);
(2) la monotonia, massimi, minimi e punti critici (4 punti);
(3) convessità e concavità e si tracci un grafico approssimativo di f (4
punti);
Soluzione. La funzione è pari. Sarà sufficiete studiarla per x ≥ 0.
Il campo di definizione si ottiene imponendo le condizioni x2 − 4 6= 0,
2
x − 4 > 0, ed è quindi l’insieme (−∞, −2) ∪ (2, +∞). Quindi potremo
limitare lo studio all’insieme (2, +∞).
Il segno di f non si può determinare esplicitamente. Studiamo i limiti.
lim f (x) = +∞,
x→+∞
Il limite a 2+ si presenta della forma +∞ − ∞. Possiamo procedere come
segue:
1 + y log y
1 + (x2 − 4) log(x2 − 3)
= lim
= +∞
2
y→0+
x→2+
x −4
y
lim f (x) = lim
x→2+
poiché
lim y log y = lim
y→0+
log y
1
y
y→0+
= lim
y→0+
1
y
− y12
= 0.
Controlliamo l’eventuale presenza di asintoti obliqui:
f (x)
1
log(x2 − 4)
= lim
+
lim
= 0.
x→+∞ x
x→+∞ x(x2 − 4)
x→+∞
x
lim
Non vi sono quindi asintoti obliqui.
Passiamo allo studio della derivata prima.
f 0 (x) = −
(x2
2x
2x
2x(−1 + x2 − 4)
2x(x2 − 5)
+ 2
=
=
2
2
2
− 4)
x −4
(x − 4)
(x2 − 4)2
Ne segue subito
(e la funzione
√ che, in (2, +∞) la derivata prima è positiva
√
crescente)√in ( 5, +∞), la derivata √
è negativa in (2, 5) e si annulla solo
per x = 5. Quindi il punto
√ x = 5 è un minimo per la funzione f . Il
valore corrispondente è f ( 5) = 1 + log 1 = 1. Ne segue che f (x) è poistiva
in tutto il suo dominio.
Data: 12 giugno 2013.
1
2
PROVA SCRITTA ANALISI 1-B
Studiamo ora la derivata seconda.
f 00 (x) = 2
(3x2 − 5)(x2 − 4)2 − 2x2 (x2 − 5)(x2 − 4)
(x2 − 4)4
2
(3x − 5)(x2 − 4) − 4x2 (x2 − 5)
x4 − 3x2 − 20
=2
=
−2
(x2 − 4)3
(x2 − 4)3
√
√
Il numeratore è positivo quando 3−2 89 < x2 < 3+2 89 , e quindi quando
q √
q √
3+ 89
− 3+2 89 < x <
≈ 2, 4934. Ne deduciamo che la concavità è
q2 √
q √
rivolta verso l’alto (2, 3+2 89 ), verso il basso in ( 3+2 89 , +∞).
Si veda il grafico in figura 1
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
Figura 1. il grafico di arctan x−1
x−4
Esercizio 2. Calcolare modulo, argomento, parte reale, parte immaginaria
del numero complesso
i5 (1 + i)8
√
(−1 − 3i)5
(8 punti)
Soluzione. Ricordando che
i = eiπ/2 ,
√
√
√
2
2 √ iπ/4
1+1= 2
+
i = 2e
2
2 √
√
1
3 i = 2 ei4π/3
− 1 − 3i = 2 − −
2
2
Abbiamo subito che
√
i5 (1 + i)8
√
= ei5π/2 ( 2)8 ei2π 2−5 e−i20π/3
5
(−1 − 3i)
√
√
1 iπ/2 −i2π/3
i 1
3
3
i
= e
e
= (− −
i) =
−
2
2 2
2
4
4
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Ne segue subito che il numero cercato ha modulo 1/2, argomento
− π6 ,
√
parte reale =
3
4 ,
parte immaginaria =
3
π
2
−
2π
3
=
− 14 .
Esercizio 3. Calcolare l’integrale
Z
3x3 + 1
dx
x2 − 4
(8 punti)
Soluzione. Preliminarmente dividiamo il numeratore per il denominatore.
Otteniamo 3x3 + 1 = (x2 − 4)3x + 12x + 1, da cui
3x3 + 1
12x + 1
25
23
= 3x + 2
= 3x +
+
2
x −4
x −4
4(x − 2) 4(x + 2)
Quindi abbiamo subito
Z
3x3 + 1
dx =
x2 − 4
Z
Z
Z
25
23
3x dx +
dx +
dx
4(x − 2)
4(x + 2)
3
25
23
= x2 +
log(x − 2) +
log(x + 2) + c
2
4
4
Esercizio 4. Determinare il comportamento della serie
∞
X
nn/2
n=1
n!en
.
Motivare la risposta. (7 punti)
Soluzione. Usiamo il principio del rapporto:
(n+1)(n+1)/2
(n+1)! en+1
nn/2
n!en
=
(n + 1)1/2 (n + 1)n/2 n! en
1
1 n/2
= √
1+
n/2
n+1
n
(n + 1)n! e
n
e n+1
Poiché (1 + 1/n)n → e, il limite del rapporto è 0, e la serie converge.
Esercizio 5. Calcolare il polinomio di Taylor nel punto x = 0 al terzo ordine
della funzione
f (x) = ex sin x − cos x
(8 punti)
Soluzione. Da
ex = 1 + x +
x2 x3
+
+ o(x3 )
2
6
x2
+ o(x3 )
2
x3
sin x = x −
+ o(x3 )
6
cos x = 1 −
4
PROVA SCRITTA ANALISI 1-B
abbiamo subito che
x2 x3
x3
x2
+ +o(x3 ))(x− +o(x3 ))−(1− +o(x3 ))o(x3 )
2
6
6
2
1 2
1 1 3
= −1 + x + (1 + )x + (− + )x + o(x3 )
2
6 2
3
1
= −1 + x + x2 + x3 + o(x3 )
2
3
ex sin x−cos x = (1+x+
