UNIVERSITA’ DI PAVIA
Facoltà di Economia
Matematica Generale (Corso Istituzioni) L/Z
Tema del 06/06/2003
Parte obbligatoria
ESERCIZIO 1 Sia dato il sistema lineare Ax = b; ove
2
3
4 2 1
A= 4 2 0 k 5;
¡4 2 0
2
3
1
b=4 0 5
0
a) determinare i valori del parametro reale k per i quali il sistema ammette
soluzione;
b) determinare i valori del parametro reale k per i quali il sistema è impossibile.
ESERCIZIO 2 Data la funzione
f (x) =
8
< jx ¡ 3j ;
:
per x 2 [0; 6] n f3g
per x = 3;
3;
speci…care quali delle seguenti a¤ermazioni sono vere e quali sono false:
a) la funzione ammette massimo e minimo;
b) la funzione ha tre punti di massimo;
c) la funzione ha un punto di minimo;
d) la funzione ha una discontinuità di prima specie;
d) la funzione ha una discontinuità eliminabile.
ESERCIZIO 3 Classi…care i tipi di discontinuità che può ammettere una
funzione f : R ¡! R. Precisare il tipo di discontinuità della funzione
f (x) =
3
1
1 + e x¡2
ESERCIZIO 4 Sia data la matrice
A=
·
¡3 ¡1
2 ¡a
¸
;
:
a 2 R:
Determinare per quali valori di a la matrice è invertibile. Per a = 5 calcolare
A ¡1 .
ESERCIZIO 5 Sapendo che è vera la proposizione logica q () (p ^ q) ;
dedurre, utilizzando le tavole di verità, il valore logico delle proposizioni p e q
(ossia se sono vere o false).
1
Parte facoltativa
ESERCIZIO A Enunciare le principali proprietà della matrice inversa.
ESERCIZIO B Dimostrare che è
lim
x!0
senx
=1
x
(x espresso in radianti).
ESERCIZIO C Determinare il dominio di
f (x) = log
µ
x2 ¡ 1
log (x + 1)
¶
:
ESERCIZIO D Calcolare i seguenti limiti
lim [log (x ¡ 1) ¡ log (2x + 1)] ;
hp
i
lim
x2 ¡ x ¡ x :
x!+1
x!+1
UNIVERSITA’ DI PAVIA
Facoltà di Economia
Matematica Generale (Corso Istituzioni) L/Z
Soluzione del Tema del 06/06/2003
Parte obbligatoria
ESERCIZIO 1 Essendo
2
4
detA = det 4 2
¡4
3
2 1
0 k 5 = 4 (1 ¡ 4k) = 0
2 0
per k = 14 , si ha che:
a) il sistema è crameriano (e quindi ammette un’unica soluzione) per k 6= 41 ;
b) per k = 14 la matrice dei coe¢cienti diventa
2
3
4 2 1
A = 4 2 0 41 5
¡4 2 0
2
il cui rango è 2. Il rango della matrice orlata
2
· ¸
4 2 1
..
A.b = 4 2 0 14
¡4 2 0
è invece 3 (si consideri ad esempio il
2
2 1
det 4 0 41
2 0
Da ciò segue che per k =
1
4
3
1
0 5
0
minore
3
1
1
0 5 = ¡ 6= 0)
2
0
il sistema è impossibile.
ESERCIZIO 2
a) falsa: la funzione non ammette minimo;
b) vera;
c) falsa;
d) falsa: la funzione ha una discontinuità di terza specie;
d) vera.
ESERCIZIO 3 Essendo il dominio di f T = (¡1; 2) [ (2; +1) ; si ha che
la funzione ammette discontinuità nel punto x = 2. Essendo infatti
lim f (x) = 0 6= lim ¡f (x) = 3;
x¡!2+
x¡!2
la funzione presenta un punto di discontinuità di prima specie.
ESERCIZIO 4 Essendo
detA = det
·
¡3
2
¡1
¡a
¸
= 3a + 2 = 0
per a = ¡ 32 ; A è invertibile per a 6= ¡ 23 : Per a = 5 si ha
·
¸
¡3 ¡1
A=
;
2 ¡5
detA = 17
e
A
¡1
=
.
·
5
¡ 17
2
¡ 17
1
17
3
¡ 17
¸
:
ESERCIZIO 5
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q
F
V
F
V
p^q
F
V
F
F
Le proposizioni p e q sono entrambe false.
3
q () (p ^ q)
F
F
F
V
Parte facoltativa
ESERCIZIO A Vedi testo.
ESERCIZIO B Vedi testo.
ESERCIZIO C Deve essere
(
e quindi
(
ovvero
½
x 2 ¡1
log(x+1)
>0
x+1> 0
(x¡1)(x+1)
log(x+1)
>0
x+1> 0
¡1 < x < 0;
x > ¡1
x>1
che intersecando ci da la soluzione …nale
S = (¡1; 0) [ (1; +1) :
ESERCIZIO D Utilizzando le proprietà dei logaritmi si ha
lim [log (x ¡ 1) ¡ log (2x + 1)] = lim log
x!+1
x!+1
1
(x ¡ 1)
= log
(2x + 1)
2
e, razionalizzando,
hp
i
x2 ¡ x ¡ x 2
¡x
1
x2 ¡ x ¡ x = lim p
= lim
´ =¡ :
³q
2
x!+1
x!+1 x ¡ x + x
x!+1
2
x
1 ¡ x1 + 1
lim
4
