Analisi per le applicazioni all’ingegneria
Programma d’esame
Docente del corso, prof. Andrea Laforgia
Cenni di logica matematica, uso dei quantificatori esistenziale e universale;
I numeri reali come campo ordinato e completo, senza dimostrazioni;
Il metodo di induzione e applicazioni;
Il concetto di funzione, le funzioni reali di variabile reale;
Proprietà principali dei polinomi e delle loro radici;
Limite di una funzione. Funzioni continue;
Teorema dell’unicità del limite con dimostrazione;
Algebra dei limiti, senza dimostrazioni;
Teorema del confronto, con dimostrazione;
senx
lim
1 con dimostrazione;
x 0
x
Continuità delle funzioni composte, senza dimostrazione;
Limiti infiniti e all’infinito;
Asintoti, classificazione delle discontinuità;
Teorema della permanenza del segno, con dimostrazione;
Teorema di Bolzano Cauchy, senza dimostrazione;
Teorema dei valori intermedi, con dimostrazione;
Teorema della limitatezza delle funzioni continue, senza dimostrazione;
Teorema di Weierstrass, con dimostrazione;
La derivata di una funzione e algebra delle derivate;
Derivata di funzioni elementari;
Continuità delle funzioni derivabili, con dimostrazione;
Derivata della funzione composta con dimostrazione;
Coefficiente angolare;
Derivata delle funzioni inverse;
Il differenziale e il simbolo “o piccolo”;
Teorema di Fermat, con dimostrazione;
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Teorema di Rolle, senza dimostrazione;
Teorema di Lagrange, con dimostrazione;
Corollari del Teorema di Lagrange con dimostrazioni;
Proprietà geometriche delle funzioni e studio delle funzioni.
Teorema di l’Hopital, senza dimostrazione;
Definizione rigorosa dell’ integrale di Riemann;
Esempi espliciti di calcolo di somme integrali;
Esempi di funzioni non integrabili secondo Riemann;
Teorema della media con dimostrazione;
Teoremi fondamentali del calcolo integrale, con dimostrazioni;
Funzione logaritmo come funzione integrale;
Polinomi di Taylor;
Resto secondo Lagrange (dimostrazione solo per il primo ordine),
applicazioni ;
Irrazionalità di e, con dimostrazione;
Resto con l’”o piccolo” e calcolo dei limiti;
Successioni e serie numeriche;
Proprietà delle successioni senza dimostrazione;
Proprietà delle serie e criteri di convergenza, senza dimostrazione;
Criterio integrale di Cauchy, con dimostrazione;
Serie assolutamente e semplicemente convergenti;
Applicazioni;
Numeri complessi: notazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale.
Formula di de Moivre, con dimostrazione.
Radici ennesime di un numero complesso.
con
P.S. Gli esempi devono essere discussi dettagliatamente. La dimostrazione dei
teoremi posti al di sopra della linea tratteggiata può essere omessa se non è
stata presentata dalla Professoressa Bravaccino (entro lunedì
forniremo
ulteriori dettagli).
