Teoremi e dimostrazioni per orale

Prova orale di Geometria, A.A. 2009/2010:
Elenco teoremi richiesti con dimostrazione
1. Annullamento del prodotto per gli spazi vettoriali (Proposizione 2.2.2).
Sia
. Si ha l’uguaglianza
se e solo se
, oppure
.
Dimostrazione
Si consideri il prodotto
.
Sommando ai due membri l’opposto di
si ottiene:
.
Si consideri ancora il prodotto
, sommando
si
deduce che:
.
Viceversa sia
. Se
, esiste in K l’inverso
di ;
ne segue
.
2. Isomorfismo tra uno spazio vettoriale di dimensione n e Kn (Teorema 5.1.6).
Sia
uno spazio vettoriale contenente una base
.
Esiste un isomorfismo di da
a
, che si ottiene facendo corrispondere ad
ogni vettore la n-upla delle sue coordinate rispetto alla base.
Dimostrazione
è una biiezione lineare.
Infatti se consideriamo
e
si ottiene:
Quindi
Inoltre
quindi si ha
.
L’isomorfismo così ottenuto permette di “trasportare” tutte le proprietà di
struttura, enunciate per
, a uno spazio vettoriale qualunque su , che abbia una
base di vettori.
3. Teorema di interpolazione (Teorema 6.1.6).
Siano
e
spazi vettoriali, sia
una base di .
Per ogni
esiste un’unica funzione lineare
tale che
,
, …,
.
Dimostrazione
Il generico
si può scrivere in modo unico nella forma
.
Definiamo
. La linearità di si verifica direttamente , mostrando
così l’esistenza della funzione con le proprietà richieste.
Quanto all’unicità, sia
una funzione lineare tale che
per ogni
.
Allora
, quindi
.
4. Indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti (Proposizione 7.1.7).
Sia
lineare. Se
sono autovettori di corrispondenti ad autovalori
distinti
, allora
sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione
Procediamo per induzione su . Se
, l’autovettore non è nullo e quindi
indipendente. Sia ora
e supponiamo che
Applicando
si ha anche, per linearità
, cioè
. Sottraendo la prima uguaglianza moltiplicata per
dall’ultima, si ottiene
Per ipotesi induttiva
anche
e
sono indipendenti e quindi
, da cui
e quindi
.
5. Caratterizzazione degli autovalori come radici del polinomio caratteristico
(Teorema 7.2.1).
Le seguenti condizioni sono equivalenti:
lo scalare
è auto valore di .
in
tale che
.
.
Dimostrazione
Se
. Dunque è autovalore il sistema lineare
omogeneo
.
Il risultato precedente suggerisce di introdurre la seguente funzione di .
Il polinomio nella variabile .
.
6. Caratterizzazione delle matrici associate a endomorfismi simmetrici
(Proposizione 9.1.3).
Sia
una base ortonormale di
Caso reale: Se e sono i vettori colonna delle coordinate di e rispetto a ,
allora
.
Caso complesso: [Si veda il libro di testo, pagina 140].
Dimostrazione
Caso reale: vale la relazione
perché è ortonormale.
7. Diagonalizzazione delle forme quadratiche (Teorema 9.3.5).
Ogni forma quadratica è diagonalizzabile mediante una trasformazione ortogonale
di coordinate.
Dimostrazione
Per il teorema spettrale, per ogni matrice reale simmetrica esistono una matrice
diagonale e una matrice ortogonale tali che
.
Dunque è congruente a e la forma quadratica associata ad diventa, mediante
la trasformazione ortogonale
la forma quadratica
Dove
sono gli autovalori di .
Definizioni varie
Base ortonormale: Base formata da vettori ortogonali tra loro e norma uguale a
uno.
Autovettore e autovalore: E’ un vettore che soddisfa la seguente relazione
con autovettore e autovalore.
Testo di riferimento:
M. P. Manara, A. Perotti, R. Scapellato, Geometria e algebra lineare, Esculapio, 2a
Edizione, 2007.