1
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Data una circonferenza di centro 0 e raggio r =1, associamo ad essa un sistema di riferimento
cartesiano ortogonale 0xy , di origine 0, e poi segniamo sulla circonferenza un punto P e indichiamo
con α l’angolo che il raggio OP forma con l’asse x.
Si hanno le seguenti definizioni:
PM
= PM
OP
OM
cos α =
= OM
OP
sen
tag α =
cos
1
cosec α =
sen
1
sec α =
cos
1
cotag α =
tag
sen α =
(=yp)
(=xp)
Per passare da gradi a radianti e viceversa
360 : gradi = 2π : radianti , oppure
180 : g = π : r
Da ricordare
In base alle definizioni si avrà:
radianti
sen α
cos α
tag α
0
0
0
1
0
900
2
1
0
∞
1800
π
0
-1
0
2700
3
2
-1
0
-∞
3600
2
0
1
0
gradi
sen α cos α tag α
I quadrante
+
+
+
II quadrante
+
III quadrante
+
IV quadrante
+
Naturalmente:
- 1 ≤ sen α ≤ 1
- 1 ≤ cos α ≤ 1
-∞ ≤ tag α ≤ ∞
Funzioni goniometriche di angoli notevoli:
radiante
6
4
3
gradi
sen α
cos α
tag α
300
1
2
3
2
2
2
1
2
3
3
450
600
2
2
3
2
Rosa Anna Bruzzese
1
Le funzioni senα e cosα sono periodiche di
periodo 2π , cioè
sen (2π + α) = sen α e cos (2π + α) = cos α
mentre la funzione tagα è periodica di periodo π ,
cioè
tag (π + α) = tag α
3
La trigonometria
2
Vale la seguente relazione fondamentale
sen2 α + cos2 α = 1
da cui si ricava la seguente tabella:
noto
senα
cosα
senα
senα
1 sen 2
cosα
1 cos2
cosα
tagα
tag
1 tag 2
tagα
sen
1 sen 2
1 cos 2
cos
1
tagα
1 tag 2
Angoli associati ( riduzione al primo quadrante)
sen(-α) = sen(3600-α) = -senα
cos(-α) = cos(3600-α) = cosα
tag(-α) = tag(3600-α) = -tagα
sen(1800 α )= senα
cos(1800 α )= - cosα
tag(1800 α )= tagα
sen(900 α )= cosα
cos(900 α )= senα
ESEMPI
1) sen7000= sen(7000-3600) = sen3400 = sen(3400-3600) = sen(-200) = - sen200
2) sen12300= sen(12300-10800) = sen1500= sen (1800-300) = sen300
3) sen(-5800) = -sen5800= -sen(5800-3600) = -sen2200= -sen(1800+400) = -(-sen400) =sen400
Equazioni goniometriche
Per le proprietà degli angoli associati,
Poiché sen(1800- α )= senα , se x =x0 è soluzione, lo è pure x =1800- x0
Poiché cos(3600- α )= cosα , se x =x0 è soluzione, lo è pure x =3600- x0
Poiché tag(1800+ α )= tagα , l’unica soluzione sarà data da x0
( +2kπ )
( +2kπ )
( +kπ )
Tutte le equazioni goniometriche ( di qualsiasi grado) si possono ricondurre ai seguenti tre casi :
senx = sen che è risolta da x 2k e x 2k
cosx = cos che è risolta da x 2k
tagx = tag che è risolta da x k
ESEMPI
1) Risolvere l’equazione sen (3x-20) = sen (5x+100)
Si avrà:
3x-20 = 5x+100+k3600
x1 = -60+k1800
3x-20 = 1800- (5x+100)+k3600
x2 = 21030l +k450
2) Risolvere l’equazione cos (3x+200) = cos (3x-200)
Si avrà:
3x+200 = 3x-200+ k3600
impossibile
0
0
0
3x+20 = -3x+20 + k360
x = k600
Rosa Anna Bruzzese
La trigonometria
3
3) Risolvere l’equazione tag (8x-400) = tag (2x+500)
Si avrà:
8x-400 = 8x-400+k1800
x = 150+k300
4) Risolvere l’equazione 2sen2x-5cosx-4 = 0
Trasformando in funzione di cosx, si avrà:
2cos2x+5cosx+2 = 0
5 25 16
1
cosx =
da cui cosx = -2 e cosx = 2
4
Si sono così ottenute due equazioni di primo grado di cui la prima non ammette soluzioni mentre la
seconda, che possiamo scrivere cosx = cos1200 ammette le soluzioni x 1200 2k
Formule di addizione e sottrazione
sen ( α ± β )= senα·cosβ ± cosα·senβ
cos ( α ± β )= cosα·cosβ senα ·senβ
tag tag
tag ( α ± β )=
1 tag tag
Formule di duplicazione
sen2α = 2senα·cos α
cos2α = cos2α – sen2α
2tag
tag2α =
1 tag 2
Formule di bisezione
1 cos
sen =
2
2
1 cos
cos =
2
2
sen
1 cos
1 cos
tag =
=
=
1 cos
sen
2
1 cos
Formule di Prostaferisi ( per trasformare somma o differenza in prodotto)
senα + senβ = 2sen
cos
2
2
senα - senβ = 2cos
sen
2
2
cosα + cosβ = 2cos
cos
2
2
cosα - cosβ = -2sen
sen
2
2
Rosa Anna Bruzzese
La trigonometria
4
Formule di Werner ( per trasformare prodotto in somma o differenza)
1
senα·senβ = cos cos
2
1
cosα·cosβ = cos cos
2
1
senα·cosβ = sen sen
2
Formule parametriche
Nelle varie trasformazioni delle funzioni goniometriche compaiono spesso i radicali.
Le formule parametriche ci permettono di trasformare le funzioni senza fare uso di radicali.
sen
2 tg
1 tg
cos
2
2
1 tg 2
1 tg
2
2
2
2
tg
2 tg
1 tg 2
2
2
Teoremi sui triangoli rettangoli
Conoscendo un lato e un angolo, questi teoremi ci permettono di risolvere un triangolo rettangolo.
In ogni triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo
opposto o per il coseno dell’angolo adiacente.
In ogni triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la tangente
dell’angolo opposto o per la cotangente dell’angolo adiacente.
a
a = c sen da cui sen =
c
a
a = c cos da cui cos =
c
Lo stesso vale per il cateto b.
a
b
a = b tag
da cui
tag =
a = b cotag
da cui
cotag =
a
b
Lo stesso vale per il cateto b.
Rosa Anna Bruzzese
La trigonometria
5
Risoluzione di un triangolo qualunque
I teoremi più comuni che vengono utilizzati per risolvere triangoli qualsiasi sono i seguenti:
TEOREMA DEI SENI
a
b
c
sen sen sen
TEOREMA DEL COSENO (o di Carnot)
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos
TEOREMA DELLE PROIEZIONI
a = b cos + c cos
b = a cos + c cos
c = a cos + b cos
Teorema della corda
In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al prodotto
del diametro per il seno dell’angolo alla circonferenza che
insiste sulla corda. Cioè:
AC = 2r sen
Area del triangolo ( quando si conoscono tre elementi)
bc sen
S=
2
S = p( p a)( p b)( p c)
dove p è semiperimetro.
Rosa Anna Bruzzese
(Erone)
La trigonometria
