Trigonometria - itis polistena

1
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Data una circonferenza di centro 0 e raggio r =1, associamo ad essa un sistema di riferimento
cartesiano ortogonale 0xy , di origine 0, e poi segniamo sulla circonferenza un punto P e indichiamo
con α l’angolo che il raggio OP forma con l’asse x.
Si hanno le seguenti definizioni:
PM
= PM
OP
OM
cos α =
= OM
OP
sen
tag α =
cos 
1
cosec α =
sen
1
sec α =
cos 
1
cotag α =
tag
sen α =
(=yp)
(=xp)
 Per passare da gradi a radianti e viceversa
360 : gradi = 2π : radianti , oppure
180 : g = π : r
Da ricordare
In base alle definizioni si avrà:
radianti
sen α
cos α
tag α
0
0
0
1
0
900

2
1
0
∞
1800
π
0
-1
0
2700
3

2
-1
0
-∞
3600
2
0
1
0
gradi
sen α cos α tag α
I quadrante
+
+
+
II quadrante
+
III quadrante
+
IV quadrante
+
Naturalmente:
- 1 ≤ sen α ≤ 1
- 1 ≤ cos α ≤ 1
-∞ ≤ tag α ≤ ∞
Funzioni goniometriche di angoli notevoli:
radiante

6

4

3
gradi
sen α
cos α
tag α
300
1
2
3
2
2
2
1
2
3
3
450
600
2
2
3
2
Rosa Anna Bruzzese
1
 Le funzioni senα e cosα sono periodiche di
periodo 2π , cioè
sen (2π + α) = sen α e cos (2π + α) = cos α
mentre la funzione tagα è periodica di periodo π ,
cioè
tag (π + α) = tag α
3
La trigonometria
2

Vale la seguente relazione fondamentale
sen2 α + cos2 α = 1
da cui si ricava la seguente tabella:
noto
senα
cosα
senα
senα
 1  sen 2

cosα
 1 cos2 
cosα

tagα


tag
1  tag 2

tagα
sen
1  sen 2
1  cos 2 
cos
1
tagα
1  tag 2
Angoli associati ( riduzione al primo quadrante)
sen(-α) = sen(3600-α) = -senα
cos(-α) = cos(3600-α) = cosα
tag(-α) = tag(3600-α) = -tagα
sen(1800  α )=  senα
cos(1800  α )= - cosα
tag(1800  α )=  tagα
sen(900  α )= cosα
cos(900  α )=  senα
ESEMPI
1) sen7000= sen(7000-3600) = sen3400 = sen(3400-3600) = sen(-200) = - sen200
2) sen12300= sen(12300-10800) = sen1500= sen (1800-300) = sen300
3) sen(-5800) = -sen5800= -sen(5800-3600) = -sen2200= -sen(1800+400) = -(-sen400) =sen400

Equazioni goniometriche
Per le proprietà degli angoli associati,
 Poiché sen(1800- α )= senα , se x =x0 è soluzione, lo è pure x =1800- x0
 Poiché cos(3600- α )= cosα , se x =x0 è soluzione, lo è pure x =3600- x0
 Poiché tag(1800+ α )= tagα , l’unica soluzione sarà data da x0
( +2kπ )
( +2kπ )
( +kπ )
Tutte le equazioni goniometriche ( di qualsiasi grado) si possono ricondurre ai seguenti tre casi :
 senx = sen  che è risolta da x    2k e x      2k
 cosx = cos  che è risolta da x    2k
 tagx = tag  che è risolta da x    k
ESEMPI
1) Risolvere l’equazione sen (3x-20) = sen (5x+100)
Si avrà:
3x-20 = 5x+100+k3600
 x1 = -60+k1800
3x-20 = 1800- (5x+100)+k3600
 x2 = 21030l +k450
2) Risolvere l’equazione cos (3x+200) = cos (3x-200)
Si avrà:
3x+200 = 3x-200+ k3600
 impossibile
0
0
0
3x+20 = -3x+20 + k360
 x = k600
Rosa Anna Bruzzese
La trigonometria
3
3) Risolvere l’equazione tag (8x-400) = tag (2x+500)
Si avrà:
8x-400 = 8x-400+k1800
 x = 150+k300
4) Risolvere l’equazione 2sen2x-5cosx-4 = 0
Trasformando in funzione di cosx, si avrà:
2cos2x+5cosx+2 = 0
 5  25  16
1
cosx =
da cui cosx = -2 e cosx = 2
4
Si sono così ottenute due equazioni di primo grado di cui la prima non ammette soluzioni mentre la
seconda, che possiamo scrivere cosx = cos1200 ammette le soluzioni x  1200  2k
 Formule di addizione e sottrazione
sen ( α ± β )= senα·cosβ ± cosα·senβ
cos ( α ± β )= cosα·cosβ  senα ·senβ
tag  tag
tag ( α ± β )=
1  tag  tag
 Formule di duplicazione
sen2α = 2senα·cos α
cos2α = cos2α – sen2α
2tag
tag2α =
1  tag 2

Formule di bisezione

1  cos
sen = 
2
2

1  cos
cos = 
2
2

sen
1  cos
1  cos
tag = 
=
=
1  cos 
sen
2
1  cos

Formule di Prostaferisi ( per trasformare somma o differenza in prodotto)

 
senα + senβ = 2sen
cos
2
2

 
senα - senβ = 2cos
sen
2
2

 
cosα + cosβ = 2cos
cos
2
2

 
cosα - cosβ = -2sen
sen
2
2
Rosa Anna Bruzzese
La trigonometria
4

Formule di Werner ( per trasformare prodotto in somma o differenza)
1
senα·senβ = cos     cos   
2
1
cosα·cosβ = cos     cos   
2
1
senα·cosβ = sen     sen   
2
 Formule parametriche
Nelle varie trasformazioni delle funzioni goniometriche compaiono spesso i radicali.
Le formule parametriche ci permettono di trasformare le funzioni senza fare uso di radicali.
sen 
2  tg
1  tg

cos 
2
2
1  tg 2
1  tg
2

2
2
2
tg 
2  tg

1  tg 2
2

2
 Teoremi sui triangoli rettangoli
Conoscendo un lato e un angolo, questi teoremi ci permettono di risolvere un triangolo rettangolo.
In ogni triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo
opposto o per il coseno dell’angolo adiacente.
In ogni triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la tangente
dell’angolo opposto o per la cotangente dell’angolo adiacente.
a
a = c sen da cui sen =
c
a
a = c cos da cui cos =
c
Lo stesso vale per il cateto b.
a
b
a = b tag 
da cui
tag  =
a = b cotag
da cui
cotag =
a
b
Lo stesso vale per il cateto b.
Rosa Anna Bruzzese
La trigonometria
5
 Risoluzione di un triangolo qualunque
I teoremi più comuni che vengono utilizzati per risolvere triangoli qualsiasi sono i seguenti:
TEOREMA DEI SENI
a
b
c


sen sen sen
TEOREMA DEL COSENO (o di Carnot)
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos
TEOREMA DELLE PROIEZIONI
a = b cos + c cos
b = a cos + c cos
c = a cos + b cos
 Teorema della corda
In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al prodotto
del diametro per il seno dell’angolo alla circonferenza che
insiste sulla corda. Cioè:
AC = 2r sen

Area del triangolo ( quando si conoscono tre elementi)
bc  sen
 S=
2
 S = p( p  a)( p  b)( p  c)
dove p è semiperimetro.
Rosa Anna Bruzzese
(Erone)
La trigonometria