Integrali indefiniti

Integrali Indefiniti
Il problema fondamentale del calcolo differenziale è determinare la derivata di una funzione
assegnata.
Il calcolo integrale affronta il problema inverso, e cioè quello di individuare una funzione di cui si
conosce la sua derivata.
Definizione
Data una funzione f ( x ) , definita in un intervallo I, si dice che la funzione F ( x ) è una primitiva della
funzione f ( x )
se F I ( x ) = f ( x ) .
Teorema
Una funzione f ( x ) continua in un intervallo I ammette primitive nell’intervallo I.
Teorema
Se F ( x ) è una primitiva della funzione f ( x ) allora F ( x ) + k , con k costante, è una primitiva della
funzione f ( x ) .
Definizione
L’insieme di tutte le infinite primitive di una funzione f ( x ) si dice integrale indefinito di f ( x ) .
∫ f ( x ) dx
In simboli:
= F( x ) + k
.
L’integrale indefinito rappresenta nel piano cartesiano un insieme di funzioni i cui grafici
differiscono solo per una traslazione lungo l’asse y data dal parametro k .
Proprietà
∫ k ⋅ f ( x ) dx
∫ [f1 ( x )
Matematica
+ f2 ( x ) + ... + fn ( x )
] dx
=
= k ⋅ ∫ f ( x ) dx
∫ f1 ( x ) dx + ∫
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f2 ( x ) dx + ... + ∫ fn ( x ) dx
1
Regole di Integrazione
n
∫ x dx =
∫e
x
x n +1
+ k
n +1
dx = e x + k
x
∫ a dx =
ax
+ k
log a
n
I
∫ [f ( x )] ⋅ f ( x )
∫e
f(x)
dx =
f ( x )n +1
+ k
n +1
⋅ f I ( x ) dx = e f ( x ) + k
f(x)
I
∫ a ⋅ f ( x ) dx =
af ( x )
+ k
log a
1
∫ x dx = log x + k
f I(x)
∫ f ( x ) dx = log f ( x ) + k
∫ sen x dx = − cos x + k
∫ cos x dx = sen x + k
∫ f ( x ) ⋅ sen f ( x ) dx = − cos f ( x ) + k
I
∫ f ( x ) ⋅ cos f ( x ) dx = sen f ( x ) + k
1
∫ cos 2 x dx = tg x + k
f I(x)
∫ cos 2 f ( x ) dx = tg f ( x ) + k
1
∫ sen 2 x dx = −cotg x + k
f I(x)
∫ sen 2 f ( x ) dx = − cot g f ( x ) + k
∫
1
1 − x2
dx = arcsen x + k
I
∫
f I (x )
1 − [f (x )]
2
f I (x )
dx = arcsen f (x ) + k
dx = arctg f (x ) + k
1
∫ 1 + x 2 dx = arctg x + k
∫ 1 + [f (x )]2
∫ tg
I
∫ f (x ) ⋅ tg f (x ) dx = − log
x dx = − log cos x + k
∫ cot g
x dx = log sen x + k
1
1
x
∫ a 2 + x 2 dx = a arctg a + k
1
a+x
1
∫ a 2 − x 2 dx = 2a log a − x + k
∫
Matematica
1
x −a
1
dx =
log
+ k
2
2
2a
x +a
x −a
I
∫ f (x ) ⋅ cotg f (x ) dx = log
f I (x )
∫ a 2 + [f (x )]2
f I (x )
∫ a 2 − [f (x )]2
f I (x )
∫ [f (x )]2 − a 2
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cos f (x ) + k
sen f (x ) + k
dx =
f (x )
1
arctg
+ k
a
a
dx =
1
a + f (x )
log
+ k
2a
a − f (x )
dx =
1
f (x ) − a
log
+ k
2a
f (x ) + a
2
Altre regole di Integrazione
x2
∫ x ⋅ dx = 2 + k
1
∫ 1 + x2
2
3
x3 + k
∫ tg
x ⋅ dx =
∫
1
⋅ dx = 2 x + k
x
∫
∫
Matematica
1
x ±a
x
x +a
2
2
1 − x2
+ k
∫
2
1
1
∫ x 2 dx = − x
∫
∫
dx = log x + x 2 ± a 2
dx = x 2 + a + k
a 2 − x 2 dx =
1
2
∫
∫
1
a −x
2
x
a−x
2
dx = −arccotg x + k
x dx = − x + tg x + k
∫ cotg
+ k
dx = − arccos x + k
2
2
x dx = − x − cotg x + k
dx = arcsen
x
+ k
a
dx = − a − x 2 + k
1⎛ 2
x
2
2 ⎞
⎜ a arcsen + x a − x ⎟ + k
2⎝
a
⎠
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