Docente: Francesco BALSAMO
LICEO SCIENTIFICO STATALE
" A. EINSTEIN "
PALERMO
Programma di MATEMATICA
Classe: III E (Corso P.N.I.)
Anno scolastico: 2011 - 2012
RICHIAMI
Disequazioni di secondo grado. Disequazioni razionali intere e fratte. Sistemi di disequazioni.
Radicali: definizioni, proprietà fondamentali, operazioni. Teoremi sui triangoli rettangoli. Principi di
equivalenza dei triangoli. Principi di similitudine dei triangoli. Teoremi sulla circonferenza e sui
quadrilateri.
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE
Equazioni e Disequazioni con valori assoluti, intere e fratte. Equazioni e Disequazioni irrazionali,
intere e fratte. Casi tipici e risoluzione generale.
IL METODO DELLE COORDINATE
Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Equazione di una curva. Intersezioni di due curve.
Distanza tra due punti. Coordinate del punto medio di un segmento. Coordinate del baricentro di un
triangolo. Traslazione degli assi coordinati.
FUNZIONE LINEARE
Definizione. Equazione cartesiana. Equazione della retta passante per due punti. Rette in posizione
particolare. Equazione esplicita. Significato geometrico e goniometrico del coefficiente angolare. Rette
parallele e perpendicolari: condizioni di parallelismo e di perpendicolarità. Intersezione tra rette. Fasci
di rette: proprio e improprio. Studio e taratura di fasci di rette. Applicazione. Distanza di un punto da
una retta. Applicazioni: area di un triangolo, equazioni delle bisettrici degli angoli formati da due rette,
equazione dell’asse di un segmento di estremi noti.
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CONICHE
Def. di superficie conica a due falde. Def. di conica come intersezione di una superficie conica con
un piano al variare della giacitura del piano stesso. Def. di ellisse, circonferenza, parabola, iperbole e
caratteri descrittivi di ciascuna delle suddette curve.
CIRCONFERENZA
Definizione. Equazione cartesiana canonica ed equazione centro-raggio. Relazioni tra centro,
raggio e coefficienti dell’equazione canonica. Circonferenze con particolari valori dei coefficienti.
Condizione di realtà. Circonferenze in posizioni particolari. Circonferenze tangenti rispetto ad uno degli
assi cartesiani e tangenti ad entrambi gli assi cartesiani. Risoluzione di problemi. Calcolo dell’equazione
di una circonferenza, date le condizioni. Rette e circonferenze. Intersezioni di una retta con una
circonferenza. Posizioni relative di due circonferenze. Rette tangenti ad una circonferenza da un punto
esterno e in un punto appartenente alla circonferenza. Regola dello sdoppiamento. Fasci di
circonferenze: vari tipi di fasci, significato geometrico dell’asse radicale; asse dei centri. Uso della
circonferenza nello studio di particolari funzioni irrazionali.
PARABOLA
Definizione come luogo geometrico. Fuoco, direttrice, vertice, asse di simmetria e rispettive
proprietà geometriche. Equazione canonica ed equazione vertice-coefficiente “a”. Concavità. Studio dell’
equazione y = ax2 e y = ax2 + bx + c. Studio dell’equazione x = ay2 e x = ay2 + by + c. Parabole con
particolari valori dei coefficienti. Risoluzione di problemi. Intersezioni di una retta con una parabola.
Tangenti ad una parabola da un punto esterno e in un punto appartenente alla parabola. Regola dello
sdoppiamento. Fasci di parabole: vari tipi di fasci. Parabole degeneri. Uso dei fasci di parabole per il
calcolo dell’equazione della parabola avente particolari condizioni. Uso della parabola nello studio di
particolari funzioni irrazionali e nello studio del segno di un trinomio di secondo grado. Proprietà della
parabola. Uso della parabola nello studio di particolari equazioni e disequazioni irrazionali.
ELLISSE
Definizione come luogo geometrico. Fuochi, asse di simmetria focale, asse di simmetria non focale.
Semidistanza focale, semiasse maggiore e semiasse minore. Equazione canonica. Proprietà. Studio di
un’ellisse, data l’equazione, e metodi per ricavare l’equazione date le condizioni. Relazione pitagorica tra
i coefficienti a e b, e la semidistanza focale c. Ellisse con i fuochi sull’asse X e Y. Risoluzione di
problemi. Eccentricità di un’ellisse e sua relazione col grado di schiacciamento.
Studio dell’ellisse
traslata tramite il metodo del completamento del quadrato. Tangenti ad una ellisse da un punto esterno
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e in un punto appartenente all’ellisse. Regola dello sdoppiamento. Uso dell’ellisse nello studio di
particolari funzioni irrazionali e nella risoluz. Di particolari equazioni e disequazioni irrazionali.
IPERBOLE
Definizione. Equazione canonica. Proprietà. Iperbole con i fuochi sull’asse X e Y. Asse traverso,
asse non traverso. Asse focale. Relazione pitagorica tra i semiassi traverso e non trasverso e la
semidistanza focale. Asintoti di una iperbole, loro equazione e significato grafico. Risoluzione di
problemi. Studio dell’iperbole traslata mediante il metodo del completamento del quadrato. Tangenti ad
un’iperbole da un punto esterno e in un punto appartenente all’iperbole. Regola dello sdoppiamento.
Iperbole equilatera. Uso dell’iperbole nello studio di particolari funzioni irrazionali. Iperbole equilatera
riferita ai propri asintoti e funzione omografica. Problemi di vario tipo riguardante l’iperbole.
Osservazioni conclusive sulle Coniche.
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Premessa. Definizione di angolo orientato. Misura di un angolo: sistema sessagesimale e assoluto,
misura di un angolo in radianti. Definizione delle funzioni: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e
cosecante di un angolo orientato. Proprietà, variazioni e grafici delle funzioni goniometriche. Periodicità
delle funzioni goniometriche. Funzioni goniometriche di alcuni angoli notevoli. Espressioni di tutte le
funzioni goniometriche di un dato angolo mediante una sola di esse. Funzioni inverse: arcoseno,
arcocoseno, arcotangente e arcocotangente. Angoli associati e rispettive proprietà.
Grafico delle
principali funzioni goniometriche: sinusoide, cosinusoide, tangentoide. Periodo di una funzione
goniometrica.
TRIGONOMETRIA: FORMULE GONIOMETRICHE
Premessa. Formule di sottrazione. Formule di addizione. Formule di duplicazione. Formule di
bisezione. Formule di prostaferesi e di Werner. Formule parametriche del seno e coseno in funzione
razionale di tg(α/2).
TRIGONOMETRIA: IDENTITA’. EQUAZIONI GONIOMETRICHE.
Identità ed equazioni goniometriche. Equazioni goniometriche: elementari,
riducibili ad
elementari, lineari in sen x e cos x omogenee e non omogenee, di secondo grado in sen x e cos x
omogenee o riducibili ad omogenee: metodo grafico-analitico, uso delle formule parametriche razionali, e
metodo dell’angolo aggiunto; altre tipologie: equazioni risolubili col metodo posizionale, con l’ausilio delle
formule goniometriche, mediante scomposizioni particolari.
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TRIGONOMETRIA: DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Disequazioni goniometriche: elementari, riconducibili a disequazioni elementari, lineari in sen x e
cos x omogenee e non omogenee, di secondo grado in sen x e cos x omogenee e non omogenee, risolubili
mediante scomposizioni particolari e mediante l’uso delle formule goniometriche. Disequazioni
goniometriche fratte e di prodotto. Metodi grafici con l’uso della circonferenza goniometrica. Semplici
sistemi di disequazioni goniometriche.
TRIGONOMETRIA: APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA
Risoluzione dei triangoli rettangoli e qualsiasi. Area di un triangolo. Semplici problemi di
geometria piana risolubili con l’ausilio della trigonometria. Primo e secondo teorema sui triangoli
rettangoli. Triangoli scaleni: teorema della corda, teorema dei seni, teorema di Carnet (o del coseno),
con applicazioni alla risoluzione di probemi, anche mediante la soluzione di equazioni e/o disequazioni
goniometriche. Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo. Teorema delle proiezioni.
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Gli alunni
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L'insegnante
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(Prof. Francesco BALSAMO)
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