Liceo Scientifico Paritario “Ven. A. Luzzago”

Liceo Scientifico Paritario “Ven. A. Luzzago” - Brescia
Classe 3A - Anno Scolastico 2013/2014 - Prof. Simone Alghisi
Esercizi in preparazione del compito in classe previsto per il giorno 17.05.2014
1. Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera, riferita al centro e agli assi cartesiani, passante
per il punto P (−5; 4). Determinare poi i fuochi della curva e verificare che la retta r di equazione
cartesiana y = 2x + 1 è esterna all’iperbole considerata.
√ [x2 − y 2 = 9; ±3 2; 0 .]
2. Determinare l’equazione di un’iperbole I riferita agli assi e al centro che ha un fuoco in
√
F (5; 0) e un vertice in V (3; 0). Verificare che il triangolo avente per vertici il punto A(0; 11) e
i punti di contatto delle tangenti all’iperbole uscenti da A è un triangolo equilatero. determinare
la misura dell’area A del trapezio avente per vertici i due punti di contatto e le intersezioni della
√
retta y = 11 con gli asintoti dell’iperbole.
√
√ √ √ 243√3 81
2
2
9
3
33; − 16
11
;
±
[L’iperbole ha equazione x9 − y16 = 1; ± 11
11
4 11; 11 ;
11 + 4 .]
√
3. Scrivere l’equazione dell’iperbole avente un fuoco in F (2 5; 0) e per asintoti le rette y = ±2x.
Trovare l’equazione cartesiana della retta t tangente all’iperbole nel suo punto P del I quadrante
√
di ascissa uguale a 5 e calcolare l’area del triangolo limitato dalla retta t e dagli asintoti.
√
[4x2 − y 2 = 16; 2x 5 − y − 8 = 0; 8.]
x+b
sapendo che essa passa per i
cx + d
punti A(−1; −2), B(−3; 1) e C(3; 2). Determinare poi le equazioni degli asintoti e rappresentare
4. Determinare l’iperbole equilatera di equazione y =
graficamente l’iperbole.
[y =
5. Determinare l’equazione della retta tangente all’iperbole y =
8x+12
5x+3 .]
x−1
nel suo punto P di
x+2
intersezione con l’asse x.
[x − 3y − 1 = 0.]
2x − 3
. Dopo aver ricavato la funzione inversa g(x), tracciare
x−1
i grafici di y = f (x) e y = g(x) in uno stesso sistema di riferimento cartesiano xOy. Verificare
6. Si consideri la funzione f (x) =
graficamente che l’equazione f (x) = g(x) non ammette soluzioni reali.
7. Data la circonferenza C di equazione x2 + y 2 = 10 e l’iperbole equilatera riferita agli asintoti
passante per A(1; 3) ∈ C, determinare l’equazione dell’iperbole e le ulteriori intersezioni fra
iperbole e la circonferenza. Determinare la parabola passante per l’origine degli assi e per i
punti A e B di ascisse positive comuni alla circonferenza e all’iperbole. Calcolare la misura A
dell’area del triangolo ABC, essendo C l’ulteriore punto di intersezione tra parabola ed iperbole.
[xy = 3; A(1; 3), B(3; 1), A1 (−1; −3), B1 (−3; −1); y = − 43 x2 +
13
3 x;
A=
35
2 .]
8. Per quali valori del parametro a ∈ R l’equazione
y2
x2
+
=1
a2 − 5a − 2 a2 − 16
non rappresenta un’ellisse nè un’iperbole?
[a = −4 ∪
9. Rappresentare graficamente le seguenti funzioni:
x − 2
|2x − 1|
|x| − 3
,
,
y=
,
y=
y=
x+2
−|x|
x + 3
y =1+
p
√
5− 33
2
6a64 ∪ a=
9 + x2 ,
y=
√
5+ 33
.]
2
p
1 − x|x| .