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Integrazione
Integrazione per parti
Supponiamo che u(x) e v(x) siano due funzioni di x entrambe derivabili. Allora:
u x . v' x dx u x . v x
v x . u' x dx.
Questo si scrive di solito più sinteticamente
u dv u. v
v du.
La formula dell'integrazione per parti è collegata alla formula della derivata del prodotto di 2 funzioni.
Regola del prodotto:
d .
u v u'. v u. v'
dx
Integrando ambo i membri e riordinando i termini otterremo la formula dell'integrazione per parti.
La ragione per cui è preferibile usare l'integrazione per parti è che permette di riscrivere il problema
originale in termini di integrali più semplici. Ci sono sempre almeno due modi per scegliere u e dv e
talvolta anche di più. Usando l'integrazione per parti possiamo procedere per tentativi ed errori nella
ricerca delle funzioni u e dv che semplificano il problema così che possa essere risolto.
Troviamo
x. cos x dx.
Scegliamo
u cos x
dv x. dx
Allora
du sin x . dx
2
v
x
2
v è un'antiderivata di x
Usando la formula dell'integrazione per parti,
2
x
x. cos x dx cos x .
2
2
x.
sin x
2
dx
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2
x
Sfortunatamente, ora dobbiamo integrare . sin x , che non è affatto più facile dell'integrale da cui
2
siamo partiti.
Proviamo, invece,
u x
dv cos x . dx
Allora
du dx
v sin x
v è un'antiderivata di cos(x)
La formula dell'integrazione per parti dà:
x. cos x dx x. sin x
sin x dx
Abbiamo riscritto il problema originale come un integrale di sin(x), che ora sappiamo calcolare. La
risposta è:
x. sin x
cos x
Verifichiamola calcolando la derivata.
d
x. sin x cos x
dx
dà
x. cos x
Talora per risolvere il problema dobbiamo usare più volte l'integrazione per parti. Proviamo a
integrare.
1.1
x
e . sin x dx
0
Scegliamo
u sin x
x
dv e . dx
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Allora
du cos x . dx
x
v e
x
x
e . sin x dx sin x . e
x
e . cos x dx
Scegliamo
u cos x
x
dv e . dx
Allora
du
sin x . dx
x
v e
L'integrale originale è ora uguale a:
x
x
e . sin x dx sin x . e
x
cos x . e
x
sin x . e dx
Può sembrare che siamo tornati al punto di partenza, ma se spostiamo tutte le occorrenze dell'integrale
al primo membro, otteniamo:
2.
x
e . sin x dx
sin x
x
cos x . e
Così l'antiderivata è:
1.
x
sin x cos x . e
2
Finalmente, valutiamola agli estremi dell'intervallo d'integrazione e avremo:
1.
1.1 1 .
0
sin 1.1 cos 1.1 . e
sin 0 cos 0 . e = 1.157
2
2
