Successioni e Serie

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Successioni e Serie
Serie geometriche
Una serie geometrica è la somma dei termini di una progressione geometrica.
Numero di termini:
n
Primo termine:
a1
Ragione:
q
Somma parziale n-esima di una serie geometrica:
n
1 q
s n a 1.
1 q
Troviamo l' 8ª somma parziale della serie geometrica 1, 2, 4, 8, …
Numero di termini:
n 8
Primo termine:
a1 1
Ragione:
2
q
1
Somma dei primi n termini:
n
a 1. 1 q
sn
1 q
Somma:
s n = 255
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Un altro modo, per indicare una somma parziale n-sima, è quello di usare l'operatore sommatoria e la
formula per una progressione geometrica:
Termini:
k 1 .. n
Somma:
k 1
a 1. q
= 255
k
Una palla da tennis è lasciata cadere da un'altezza di 0.8 m. Essa rimbalza ogni volta a 7/10 della sua
altezza precedente. Trova una serie geometrica che dia origine alla distanza totale percorsa dalla palla
di tennis. Quale distanza ha percorso la palla da tennis dopo 5 rimbalzi?
Numero di termini:
n 5
Altezza iniziale:
4.
h1
m
5
Ragione:
7
q
10
Distanza percorsa:
h 1 q. h 1
q. h 1
2
q .h 1
2
q .h 1
3
q .h 1
...
Formula della sommatoria:
∞
k
2. h 1. q
D h1
k=1
Distanza percorsa dopo 5 rimbalzi:
n
k
n
2. h 1. q
h 1. q = 3.771 m
h1
k=1
Distanza totale in su e in giù percorsa dalla palla dopo un numero infinito di rimbalzi:
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∞
7
2. h 1.
10
h1
k
k=1
si ottiene
17 .
h = 4.533 m
3 1
Ecco un rozzo grafico della traiettoria della palla nei primi 5 rimbalzi. Abbiamo dato alla palla una
velocità iniziale fissa per rendere il percorso più facile da visualizzare.
x
h 1. q . mod 2. x 1 , 2
ht x
x
0 .. 10
ht
x
0.5
2
0
x
floor
q
k= 0
k
2
2