Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it ____________________________________________________________________________________________________________________________ Successioni e Serie Serie geometriche Una serie geometrica è la somma dei termini di una progressione geometrica. Numero di termini: n Primo termine: a1 Ragione: q Somma parziale n-esima di una serie geometrica: n 1 q s n a 1. 1 q Troviamo l' 8ª somma parziale della serie geometrica 1, 2, 4, 8, … Numero di termini: n 8 Primo termine: a1 1 Ragione: 2 q 1 Somma dei primi n termini: n a 1. 1 q sn 1 q Somma: s n = 255 Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it ____________________________________________________________________________________________________________________________ Un altro modo, per indicare una somma parziale n-sima, è quello di usare l'operatore sommatoria e la formula per una progressione geometrica: Termini: k 1 .. n Somma: k 1 a 1. q = 255 k Una palla da tennis è lasciata cadere da un'altezza di 0.8 m. Essa rimbalza ogni volta a 7/10 della sua altezza precedente. Trova una serie geometrica che dia origine alla distanza totale percorsa dalla palla di tennis. Quale distanza ha percorso la palla da tennis dopo 5 rimbalzi? Numero di termini: n 5 Altezza iniziale: 4. h1 m 5 Ragione: 7 q 10 Distanza percorsa: h 1 q. h 1 q. h 1 2 q .h 1 2 q .h 1 3 q .h 1 ... Formula della sommatoria: ∞ k 2. h 1. q D h1 k=1 Distanza percorsa dopo 5 rimbalzi: n k n 2. h 1. q h 1. q = 3.771 m h1 k=1 Distanza totale in su e in giù percorsa dalla palla dopo un numero infinito di rimbalzi: Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it ____________________________________________________________________________________________________________________________ ∞ 7 2. h 1. 10 h1 k k=1 si ottiene 17 . h = 4.533 m 3 1 Ecco un rozzo grafico della traiettoria della palla nei primi 5 rimbalzi. Abbiamo dato alla palla una velocità iniziale fissa per rendere il percorso più facile da visualizzare. x h 1. q . mod 2. x 1 , 2 ht x x 0 .. 10 ht x 0.5 2 0 x floor q k= 0 k 2 2