INTEGRALI INDEFINITI
D
DE
EF
FIIN
NIIZ
ZIIO
ON
NE
E::
Data una funzione y f x continua e derivabile in un intervallo a, b si dice INTEGRALE
INDEFINITO della funzione f x e si scrive
f ( x)dx
l’operazione che da come risultato la FUNZIONE PRIMITIVA F(x) di f(x) al variare di una
costante C
cioè
f ( x)dx F ( x) C
ESEMPIO:
data la funzione
si ha che
y 2x 1
(2 x 1)dx x
2
xC
ciò vale a dire che il risultato di tale integrale ( cioè la FUNZIONE PRIMITIVA) può essere
y x2 x 1
y x2 x 3
F(x)
y x2 x
...........
..............
FUNZIONE PRIMITIVA
D
DE
EF
FIIN
NIIZ
ZIIO
ON
NE
E
Si dice FUNZIONE PRIMITIVA di una funzione y=f(x) la funzione y=F(x) la cui derivata
corrisponde a f(x)
quindi
L’OPERAZIONE DI INTEGRALE E’ L’INVERSA DELLA DERIVATA
N.B.
il risultato di un integrale non è unico ma è
l’insieme di INFINITE FUNZIONI PRIMITIVE diverse a seconda del valore
della costante C.
Per determinare un risultato unico devo conoscere delle condizioni particolari che servono a
determinare un valore preciso della costante C
( ESEMPIO: so che la funzione primitiva che voglio determinare passa per un punto di cui conosco
le coordinate, oppure so che la funzione primitiva che voglio determinare è tangente ad una retta di
cui conosco l’equazione……..)
FORMULE
Partiamo dalle formule di derivazione
FUNZIONE
DERIVATA
f ( x)
df
dx
f ( x) x
f ( x)
df
dx
f ( x) x 2
f ( x) 2 x
f ( x) x n
f ( x) n x n1
=1
Tenendo conto che l’integrale è l’inverso della derivata si ottengono le seguenti formule
FUNZIONE
derivata
INTEGRALE
1 dx
xC
2 x dx
x2 C
n x
n 1
x dx
n
dx
xn C
x n 1
C
n 1
FORMULARIO
NB
L’integrale del logaritmo non esiste in modo immediato
FORMULE DI INTEGRAZIONE
IIN
NT
TE
EG
GR
RA
AL
LE
ED
DII U
UN
NA
AC
CO
OSST
TA
AN
NT
TE
EP
PE
ER
R f (x )
K f ( x)dx K f ( x)dx
ESEMPIO:
x4
5 4
5
x
dx
5
x
dx
5
c
x c
4
4
3
3
ho applicato la regola
x n 1
x dx n 1 c
n
IIN
NT
TE
EG
GR
RA
AL
LE
ED
DE
EL
LL
LA
A SSO
OM
MM
MA
AD
DII P
PIIU
U’’ F
FU
UN
NZ
ZIIO
ON
NII
( f ( x) g ( x) h( x) ...)dx f ( x)dx g ( x)dx h( x)dx ...
ESEMPIO:
x
2
3x 1 dx x 2 dx 3xdx 1dx
svolgiamo da parte ogni integrale
usando il formulario
x3
x dx 3
2
x3 3 2
x xc
3 2
x2 3 2
3xdx 3 xdx 3 2 2 x
1dx x
ESERCIZI:
1.
1
x3
2 1
x
2
x
x
x x e dx x dx x dx e dx 3 ln x e c
2.
x 2 sin x 2 dx 3 ln x 2 cos x 2 x c
3.
(2 cos x sin x 1)dx 2 sin x cos x x c
3
1
4. Data la funzione
1
y x2
1
x
determina la sua funzione primitiva F(x)
x3
2 1
F ( x) x dx
ln x c
x
3
C
CA
ASSII P
PA
AR
RT
TIIC
CO
OL
LA
AR
RII
1
x n
n
x
RICORDA
a
x x
b
b
a
Quindi
1. INTEGRALE DI UNA FRAZIONE
1
n
dx
x
xn
dx
e lo risolvo usando la formula
n
x dx
x n 1
n 1
ESEMPIO:
1
x2 dx trasformo
RICORDA
x 2 1
x 1
1
x dx calcolo l ' ' int egrale 2 1 c 1 c trasformo x c
2
1
x dx ln x c
in questo caso non vale quanto appena descritto sopra
2. INTEGRALE DI UNA RADICE
a
b
a
x dx x dx
b
x n 1
e lo risolvo usando la formula x dx
n 1
n
ESEMPIO:
2
xdx trasformo
1
2
x dx risolvo l' integrale
x
1
1
2
1
1
2
x
3
2
3
2
3
2
x 2 trasformo
3
22 3
x
3
3. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE FRATTA (MONOMIA)
ESEMPIO:
x 3 5x 3
2 x 2 dx
DEL DENOMINATORE DELLA FRAZIONE
C’E’ SOLO UN MONOMIO
Per risolvere questo integrale si deve
dividere la frazione nella somma di più frazioni sempre con lo stesso denominatore
x 3 5x 3
x3
5x
3
dx
dx
dx
2x 2
2x 2
2x 2
2 x 2 dx
semplificare le frazioni ottenute (se possibile)
x3
5x
3
1
5
3
dx
dx
dx
xdx
dx
2x 2
2x 2
2x 2 2
2 x 2 x 2 dx
risolvere i singoli integrali con le formule o utilizzando prima le trasformazioni spiegate al
punto1 e punto2
1
5
3
1 x2 5
3
xdx
dx
dx
ln
x
c
2
2x 2x 2
2 2 2
2x
trasformo
3 2
3 x 1
3
x
dx
2
2 (1)
2x
COME RICAVARE f(x) CONOSCENDO LA
FUNZIONE PRIMITIVA F(x)
R
RIIC
CO
OR
RD
DA
A
ll’’iinntteeggrraallee èè ll’’ooppeerraazziioonnee iinnvveerrssaa ddeellllaa ddeerriivvaattaa
f ( x)dx F ( x) c
F ( x) f ( x)
ESERCIZI:
3
Sapendo che F ( x) 2 x 5 x 1 determinare la funzione integranda f (x )
3
2
f (x ) = F ( x) D(2 x 5x 1) 6 x 5
Sapendo che
f ( x)dx ln 2 x
2
3 2 ricava f (x )
F(x)
f ( x) F ( x) D ln 2 x 2 3 2
Dln f x
1
f
f
1
2x 2 3
4x 0
4x
2x 2 3
COME DETERMINARE LA COSTANTE C
R
RIIC
CO
OR
RD
DA
A
f ( x)dx F ( x) c
per RICAVARE UNA SOLA FUNZIONE PRIMITIVA
devo determinare un valore preciso della costante C
SSE
ER
RV
VE
EU
UN
NA
AC
CO
ON
ND
DIIZ
ZIIO
ON
NE
ER
RE
EL
LA
AT
TIIV
VA
AA
AL
LL
LA
A FF((xx)) ddaa ddeerrm
miinnaarree
E
ESSE
EM
MPPIIO
O::
DETERMINARE LA FUNZIONE PRIMITIVA F(x) di
SAPENDO CHE PASSA PER IL PUNTO
y x2
P (1,3)
1
x
Svolgimento:
1. trovo l’insieme di TUTTE LE GENERICHE FUNZIONI PRIMITIVE
x3
1
x3
la funz primitiva generica è y
ln x C
F ( x) x 2 dx
ln x C
3
x
3
2. Sostituisco nella funzione trovata y
x3
ln x C le coordinate del punto P
3
3
1
3 ln 1 C
3
3. risolvo e RICAVO C
1
1
10
3 0C
C 3
3
3
3
la funzione primitiva è
x3
10
y
ln x
3
3
ESEMPIO
Determinare la funzione primitiva F(x) di
1
retta di equazione y x 2
2
y 4 x 2 x sapendo che deve essere tangente alla
F ( x) 4 x 2 x dx 4
x3 x2
C
3
2
y
4 3 1
x xC
3
2
1.
trovo F(x) generica
2.
RICORDA
Il coefficiente angolare della retta tangente ad una funzione in un punto corrisponde
alla derivata della funzione F ( x) m
NB la derivata di F(x) è la funzione di partenza f(x) !!!!!!! cioè F ( x) f ( x)
( questo per la def. di funzione primitiva)
Quindi
F ( x) f ( x) = m
4x 2 x
1
1
x2 m
2
2
2
F ( x) 4 x x
retta
y
1
8x 2 2 x 1
2
8x 2 2 x 1 0
x
2 4 32 2 6
16
16
I valori della x trovati rappresentano le x dei punti di tangenza
3.
trovo le y dei punti di tangenza sostituendo nella retta tangente y
1
x2
2
(dato che appartengono anche ad essa)
1
1 1
1
7
1 7
x1
y 2 2
P1 ,
2
2 2
4
4
2 4
1
1 1
1
17
1 17
x2
y 2 2
P2 ,
4
2 4
8
8
4 8
4 3 1
x xC
deve passare per P
3
2
quindi sostituisco le coordinate del punto P1 e P2 trovando due valori di C e quindi due funz.
primitive
4.
so che la funzione primitiva
y
3
P1
P2
4
1
7 4 7 1 7
43
y x3 x C C C
3
2
4 3 4
2 4
24
4
1
199
y x 3 x C ..................
C
3
2
96
Così posso scrivere l’equazione delle due funz. primitive che cercavo
y
4 3 1
43
x x
3
2
24
y
4 3 1
199
x x
3
2
96
1
2
1
x2
4
x1
