funzioni in 2 variabili

INTEGRALI INDEFINITI
D
DE
EF
FIIN
NIIZ
ZIIO
ON
NE
E::
Data una funzione y  f x  continua e derivabile in un intervallo a, b si dice INTEGRALE
INDEFINITO della funzione f x  e si scrive
 f ( x)dx
l’operazione che da come risultato la FUNZIONE PRIMITIVA F(x) di f(x) al variare di una
costante C
cioè
 f ( x)dx  F ( x)  C
ESEMPIO:
data la funzione
si ha che
y  2x  1
 (2 x  1)dx  x
2
 xC
ciò vale a dire che il risultato di tale integrale ( cioè la FUNZIONE PRIMITIVA) può essere
y  x2  x  1
y  x2  x  3
F(x)
y  x2  x
...........
..............
FUNZIONE PRIMITIVA
D
DE
EF
FIIN
NIIZ
ZIIO
ON
NE
E
Si dice FUNZIONE PRIMITIVA di una funzione y=f(x) la funzione y=F(x) la cui derivata
corrisponde a f(x)
quindi
L’OPERAZIONE DI INTEGRALE E’ L’INVERSA DELLA DERIVATA
N.B.
il risultato di un integrale non è unico ma è
l’insieme di INFINITE FUNZIONI PRIMITIVE diverse a seconda del valore
della costante C.
Per determinare un risultato unico devo conoscere delle condizioni particolari che servono a
determinare un valore preciso della costante C
( ESEMPIO: so che la funzione primitiva che voglio determinare passa per un punto di cui conosco
le coordinate, oppure so che la funzione primitiva che voglio determinare è tangente ad una retta di
cui conosco l’equazione……..)
FORMULE
Partiamo dalle formule di derivazione
FUNZIONE
DERIVATA
f ( x) 
df
dx
f ( x)  x
f ( x) 
df
dx
f ( x)  x 2
f ( x)  2 x
f ( x)  x n
f ( x)  n x n1
=1
Tenendo conto che l’integrale è l’inverso della derivata si ottengono le seguenti formule
FUNZIONE
derivata
INTEGRALE
1 dx
xC
 2 x dx
x2  C
n x
n 1
 x dx
n
dx
xn  C
x n 1
C
n 1
FORMULARIO
NB
L’integrale del logaritmo non esiste in modo immediato
FORMULE DI INTEGRAZIONE


IIN
NT
TE
EG
GR
RA
AL
LE
ED
DII U
UN
NA
AC
CO
OSST
TA
AN
NT
TE
EP
PE
ER
R f (x )
 K  f ( x)dx  K   f ( x)dx
ESEMPIO:
x4
5 4
5
x
dx

5

x
dx

5


c

x c


4
4
3
3
ho applicato la regola


x n 1
 x dx  n  1  c
n
IIN
NT
TE
EG
GR
RA
AL
LE
ED
DE
EL
LL
LA
A SSO
OM
MM
MA
AD
DII P
PIIU
U’’ F
FU
UN
NZ
ZIIO
ON
NII
 ( f ( x)  g ( x)  h( x)  ...)dx   f ( x)dx   g ( x)dx   h( x)dx  ...
ESEMPIO:
 x
2

 3x  1 dx   x 2 dx   3xdx  1dx
svolgiamo da parte ogni integrale
usando il formulario
x3
 x dx  3
2
x3 3 2
 x  xc
3 2
x2 3 2
 3xdx  3   xdx 3  2  2 x
 1dx  x
ESERCIZI:
1.
1
x3
 2 1
x
2
x
x
  x  x  e dx   x dx   x dx   e dx  3  ln x  e  c
2.
  x  2 sin x  2 dx  3 ln x  2 cos x  2 x  c
3.
 (2 cos x  sin x  1)dx  2 sin x  cos x  x  c
3

1
4. Data la funzione
1
y  x2 
1
x
determina la sua funzione primitiva F(x)
x3
 2 1
F ( x)    x  dx 
 ln x  c
x
3



C
CA
ASSII P
PA
AR
RT
TIIC
CO
OL
LA
AR
RII
1
 x n
n
x
RICORDA
a
x x
b
b
a
Quindi
1. INTEGRALE DI UNA FRAZIONE
1
n
dx

x
 xn
 dx
e lo risolvo usando la formula
n
 x dx 
x n 1
n 1
ESEMPIO:
1
 x2 dx  trasformo
RICORDA
x 2 1
x 1
1
 x dx  calcolo l ' ' int egrale  2  1  c   1  c  trasformo  x  c
2
1
 x dx  ln x  c
in questo caso non vale quanto appena descritto sopra
2. INTEGRALE DI UNA RADICE

a
b
a
x dx   x dx
b
x n 1
e lo risolvo usando la formula  x dx 
n 1
n
ESEMPIO:

2
xdx  trasformo
1
2
 x dx  risolvo l' integrale
x
1
1
2
1
1
2

x
3
2
3
2
3
2
 x 2  trasformo
3
22 3
x
3
3. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE FRATTA (MONOMIA)
ESEMPIO:
x 3  5x  3
 2 x 2 dx
DEL DENOMINATORE DELLA FRAZIONE
C’E’ SOLO UN MONOMIO
Per risolvere questo integrale si deve
 dividere la frazione nella somma di più frazioni sempre con lo stesso denominatore
x 3  5x  3
x3
5x
3
dx

dx

dx

 2x 2
 2x 2
 2x 2
 2 x 2 dx
 semplificare le frazioni ottenute (se possibile)
x3
5x
3
1
5
3
dx

dx

dx

xdx

dx

 2x 2
 2x 2
 2x 2  2
 2 x  2 x 2 dx
 risolvere i singoli integrali con le formule o utilizzando prima le trasformazioni spiegate al
punto1 e punto2
1
5
3
1 x2 5
3
xdx

dx

dx


ln
x

c
2
 2x  2x 2
2 2 2
2x
trasformo
3 2
3 x 1
3
x
dx


2
2 (1)
2x
COME RICAVARE f(x) CONOSCENDO LA
FUNZIONE PRIMITIVA F(x)
R
RIIC
CO
OR
RD
DA
A
ll’’iinntteeggrraallee èè ll’’ooppeerraazziioonnee iinnvveerrssaa ddeellllaa ddeerriivvaattaa
 f ( x)dx  F ( x)  c
 F ( x)  f ( x)
ESERCIZI:
3
 Sapendo che F ( x)  2 x  5 x  1 determinare la funzione integranda f (x )
3
2
f (x ) = F ( x)  D(2 x  5x  1)  6 x  5
 Sapendo che
 f ( x)dx  ln 2 x
2

 3  2 ricava f (x )
F(x)
 
 
f ( x)  F ( x)  D ln 2 x 2  3  2 
Dln f  x  
1
 f
f
1
2x 2  3
 4x  0 
4x
2x 2  3
COME DETERMINARE LA COSTANTE C
R
RIIC
CO
OR
RD
DA
A
 f ( x)dx  F ( x)  c
per RICAVARE UNA SOLA FUNZIONE PRIMITIVA
devo determinare un valore preciso della costante C
SSE
ER
RV
VE
EU
UN
NA
AC
CO
ON
ND
DIIZ
ZIIO
ON
NE
ER
RE
EL
LA
AT
TIIV
VA
AA
AL
LL
LA
A FF((xx)) ddaa ddeerrm
miinnaarree
E
ESSE
EM
MPPIIO
O::
DETERMINARE LA FUNZIONE PRIMITIVA F(x) di
SAPENDO CHE PASSA PER IL PUNTO
y  x2 
P (1,3)
1
x
Svolgimento:
1. trovo l’insieme di TUTTE LE GENERICHE FUNZIONI PRIMITIVE
x3
1
x3

la funz primitiva generica è y 
 ln x  C
F ( x)    x 2  dx 
 ln x  C
3
x
3

2. Sostituisco nella funzione trovata y 
x3
 ln x  C le coordinate del punto P
3
3
1
 3   ln 1  C
3
3. risolvo e RICAVO C
1
1
10
3  0C
C  3   
3
3
3
la funzione primitiva è
x3
10
y
 ln x 
3
3
ESEMPIO
Determinare la funzione primitiva F(x) di
1
retta di equazione y  x  2
2

y  4 x 2  x sapendo che deve essere tangente alla

F ( x)   4 x 2  x dx  4
x3 x2

C
3
2

y
4 3 1
x  xC
3
2
1.
trovo F(x) generica
2.
RICORDA
Il coefficiente angolare della retta tangente ad una funzione in un punto corrisponde
alla derivata della funzione F ( x)  m
NB la derivata di F(x) è la funzione di partenza f(x) !!!!!!! cioè F ( x)  f ( x)
( questo per la def. di funzione primitiva)
Quindi


F ( x)  f ( x) = m
4x 2  x 
1
1
x2  m 
2
2
2

F ( x)  4 x  x
retta
y
1
 8x 2  2 x  1
2
8x 2  2 x  1  0
x
2  4  32 2  6


16
16
I valori della x trovati rappresentano le x dei punti di tangenza
3.
trovo le y dei punti di tangenza sostituendo nella retta tangente y 
1
x2
2
(dato che appartengono anche ad essa)
1
1 1
1
7
1 7
x1 
 y   2 2 
 P1  , 
2
2 2
4
4
2 4
1
1  1
1
17
 1 17 
x2  
 y     2    2  
 P2   , 
4
2  4
8
8
 4 8
4 3 1
x  xC
deve passare per P
3
2
quindi sostituisco le coordinate del punto P1 e P2 trovando due valori di C e quindi due funz.
primitive
4.
so che la funzione primitiva
y
3
P1
P2
4
1
7 4  7 1  7
43
y  x3  x  C              C  C  
3
2
4 3  4
2  4
24
4
1
199
y  x 3  x  C  ..................
 C
3
2
96
Così posso scrivere l’equazione delle due funz. primitive che cercavo
y
4 3 1
43
x  x
3
2
24
y
4 3 1
199
x  x
3
2
96
1
2
1
x2  
4
x1 