Capitolo 6
Integrali
L’operatore derivata D associa ad una funzione f la sua derivata: Df = f 0 . Ci
chiediamo se è possibile invertire questa operazione, vale a dire trovare una funzione
la cui derivata sia una funzione assegnata.
Definizione 6.0.1 (primitiva, integrale indefinito). Data una funzione f diremo
che una funzione F è una primitiva di f se
F 0 (x) = f (x)
per ogni x nel dominio della funzione f .
Denoteremo con il simbolo di integrale indefinito
Z
f (x) dx = {F : F 0 = f }
(leggi: “integrale di f di x in dx”) l’insieme di tutte le primitive della funzione f .
Ad esempio osserviamo che la funzione F (x) = x2 + 1 è una primitiva di f (x) =
2x in quanto F 0 (x) = 2x = f (x). Ma ogni funzione del tipo F (x) = x2 + c con
c 2 R una costante fissata, è una primitiva di f in quanto la derivata della costante
è nulla.
Teorema 6.0.2 (caratterizzazione dell’insieme delle primitive). Sia f : I ! R una
funzione definita su un intervallo I ✓ R. Se F è una qualunque primitiva di f
allora l’insieme di tutte le primitive è
Z
f (x) dx = {F + c : c 2 R}
e scriveremo più semplicemente
Z
f (x) dx = F (x) + c
Dimostrazione. Se F è una primitiva di f si ha F 0 = f . Dunque, se c 2 R è una
qualunque costante, si ha
(F (x) + c)0 = F 0 (x) + 0 = f (x)
e quindi F + c è ancora una primitiva di f .
Supponiamo ora che G(x) sia una qualunque primitiva di f , cioè supponiamo
che si abbia G0 (x) = f (x). Allora posto H(x) = G(x) F (x) si ha:
H 0 (x) = G0 (x)
F 0 (x) = f (x)
23
f (x) = 0.
Dunque, per il criterio di monotonia, la funzione H(x) è contemporaneamente crescente e decrescente. Dunque è costante. Ciò significa che esiste c 2 R tale che
H(x) = c e dunque
G(x) = F (x) + H(x) = F (x) + c.
La tabella delle derivate che abbiamo visto nel capitolo precedente, diventa
quindi (invertendo le due colonne) una tabella di primitive elementari.
R
R
f (x)
f (x) dx
f (x)
f (x) dx
↵+1
x
m
mx + c
x↵
+c
↵+1
ex
ex + c
1
x
cos x
sin x + c
sin x
cos x + c
arcsin x + c
p 1
1 x2
arccos x + c
tg x + c
1
1 + x2
p
1
1
x2
1 + tg2 x =
6.1
1
cos2 x
log|x| + c
arctg x + c
Linearità dell’integrale
Le regole di derivazione ci permettevano di esprimere la derivata di qualunque
espressione composta dalle funzioni elementari. Per gli integrali la situazione non è
cosı̀ favorevole... calcolare gli integrali non è un processo meccanico e non sempre
l’integrale di una composizione di funzioni elementari può essere espresso mediante funzioni elementari. Ma, comunque, le regole di derivazione ci permettono di
ottenere altrettante regole di integrazione.
Sapendo ad esempio che la derivata di una somma è la somma delle derivate si
ottiene la linearità dell’integrale:
Z
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx
Z
Z
cf (x) dx = c f (x) dx.
Esempio 6.1.1. Calcoliamo l’integrale di f (x) = (x 1)2 :
Z
Z
Z
Z
Z
2
2
2
(x 1) dx = (x
2x + 1) dx = x dx 2 x dx + 1 dx
x3
x2
x3
2 +x+c=
x2 + x + c
3
2
3
Osserviamo che, nell’esercizio precedente, ogni integrale andrebbe corredato con
la sua costante c, e se abbiamo integrali diversi le costanti potrebbero essere diverse.
Non è però riduttivo considerare la somma di tutte le costanti additive che risulta
quindi una nuova costante arbitraria. Per questo scriviamo un unico · · · + c alla fine
dell’integrale.
=
6.2
Sostituzione indiretta
La formula per la derivata della funzione composta, posto che sia F 0 = f , si può
scrivere come segue:
(F (g(x))0 = F 0 (g(x))g 0 (x) = f (g(x))g 0 (x)
24
Questo ci permette di ricavare la formula di integrazione per sostituzione indiretta:
Z
Z
0
f (g(x))g (x) dx = F (g(x)) + c = [F (y)]y=g(x) + c =
f (y) dy
.
y=f (x)
Nella formula precedente abbiamo usato la notazione [. . . ]y=g(x) per indicare che nell’espressione tra parentesi quadre bisogna sostituire la variabile y con l’espressione
g(x).
In pratica osserviamo che l’integrale a destra della formula si ottiene da quello
a sinistra, sfruttando le seguenti sostituzioni:
y = g(x),
dy = g 0 (x) dx.
R
Esempio 6.2.1. Calcoliamo logx x dx. Osserviamo che ponendo g(x) = log x si ha
g 0 (x) = 1/x dunque proviamo a fare la sostituzione:
per ottenere
Z
log x
dx =
x
Z
y = log x,
dy =
y dy
=
y=log x
1
dx
x
y2
+c
2
=
y=log x
log2 x
+ c.
2
Spesso si scrive più semplicemente:
1
y = log x,
dy = dx
x
Z
Z
log x
y2
log2 x
dx = y dy =
+c=
+ c.
x
2
2
L’importante è ricordarsi alla fine di non lasciare la variabile y ma di e↵ettuare
sempre la sostituzione y = f (x).
6.3
Sostituzione diretta
Nella sostituzione indiretta si osserva la presenza del termine g 0 (x) a moltiplicare
nella espressione da integrare. La presenza di tale termine suggerisce di e↵ettuare
la sostituzione indiretta. Se però non c’è quel termine, si può provare comunque a
procedere con la sostituzione diretta:
Z
x = g(y),
f (x) dx =
Z
dx = g 0 (y) dy
f (g(y))g 0 (y) dy.
R
p
Esempio 6.3.1. Nell’integrale 1+1px dx proviamo a fare la sostituzione y = 1 + x
che corrisponde a x = (y 1)2 . Si ha dunque
Z
x = (y 1)2 ,
dx = 2(y 1) dy
Z
1
1
p dx =
2(y 1) dy
y
1+ x
◆
Z
Z ✓
2y 2
2
=
dy =
2
dy
y
y
p
p
= 2y 2 log |y| + c = 2(1 + x) 2 log |1 + x| + c
p
p
= 2 + 2 x 2 log(1 + x) + c.
25
6.4
Integrazione per parti
La formula della derivata di un prodotto, se F 0 = f , ci dice che
(F (x)g(x))0 = F 0 (x)g(x) + F (x)g 0 (x) = f (x)g(x) + F (x)g 0 (x)
da cui
f (x)g(x) = (F (x)g(x))0
F (x)g 0 (x).
Si ottiene quindi la seguente formula (integrazione per parti) per il calcolo degli
integrali:
Z
Z
f (x)g(x) dx = F (x)g(x)
F (x)g 0 (x) dx
se F è una qualunque primitiva di f .
Come vediamo la formula di integrazione per parti permette di ricondurre l’integrale di un prodotto, all’integrale di un nuovo prodotto dove un fattore risulta
integrato, e l’altro è derivato.
Esempio 6.4.1. Vogliamo trovare una primitiva di x cos x. Osserviamo che se facciamo la derivata di x e l’integrale di cos x il prodotto si semplifica. Abbiamo
dunque:
Z
Z
x cos x dx = x sin x
sin x dx = x sin x + cos x + c.
6.5
Integrali definiti: calcolo dell’area
Data una funzione f : [a, b] ! R consideriamo le seguenti regioni del piano:
2
G+
f = {(x, y) 2 R : 0 y f (x)},
Gf = {(x, y) 2 R2 : f (x) y 0}.
Definiamo quindi l’integrale di f sull’intervallo [a, b] come
Z
b
a
f (x) dx = Area(G+
f)
Area(Gf ).
Essendo l’area una funzione additiva d’insieme (cioè: l’area dell’unione di due regioni disgiunte è la somma delle due aree), possiamo dedurre che l’integrale definito
è additivo rispetto al dominio. Cioé, se a b c si ha:
Z c
Z b
Z c
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
b
Teorema 6.5.1 (teorema fondamentale del calcolo integrale). Sia f : [a, b] ! R
una funzione continua. Allora posto
Z x
G(x) =
f (t) dt
a
risulta che G : [a, b] ! R è derivabile e
G0 (x) = f (x)
(cioé G è una primitiva di f ). La funzione G si chiama funzione integrale di f .
Dimostrazione. Osserviamo che si ha (per l’additività rispetto al dominio):
G(x + h)
h
G(x)
=
R x+h
a
f (t) dt
h
26
Rx
a
f (t) dt
=
R x+h
x
f (t) dt
.
h
Supponiamo ora per semplicità che la funzione f (t) sia positiva nell’intervallo [x, x+
h]. Si avrà allora
Z x+h
f (t) dt = Area(R)
x
dove R è la regione di piano delimitata dall’asse delle x, dalle due rette verticali
passanti dal punto (x, 0) e (x + h, 0) e dal grafico della funzione f . Se la funzione è
continua ci aspettiamo che per h molto piccolo questa regione si possa approssimare
con quella di un rettangolo di base h e altezza f (x). Si avrà allora:
lim
h!0
G(x + h)
h
G(x)
=
hf (x)
= f (x).
h
Dunque G0 (x) = f (x).
Teorema 6.5.2 (formula fondamentale del calcolo integrale). Se f è una funzione
continua e F è una primitiva di f , si ha:
Z
b
f (x) dx = F (b)
F (a) =
a
b
[F (x)]a
=
Z
b
f (x) dx
.
a
R
Dimostrazione. Sia F (x) = f (x) dx una qualunque primitiva di f . Sia G(x) la
funzione integrale di f ovvero:
Z x
G(x) =
f (t) dt.
a
Per il teorema precedente sappiamo che G è una primitiva di f come lo è F . Dunque,
per la caratterizzazione delle primitive, G e F di↵eriscono per una costante: G(x) =
F (x) + c. Osserviamo inoltre che
Z a
G(a) =
f (t) dt = 0
a
in quanto l’integrale rappresenta l’area di una regione interamente contenuta nella
retta x = a, che quindi ha necessariamente area nulla. Dunque:
Z
b
f (x) dx =
a
Z
b
f (t) dt = G(b) = G(b) G(a) = F (b)+c (F (a)+c) = F (b) F (a).
a
Esempio 6.5.3. Calcoliamo l’area del settore di parabola di base b e altezza h:
P = {(x, y) 2 R2 : 0 x b, 0 y
Si ha
Area(P ) =
Z
b
0
h 2
h x3
x
dx
=
2
b
b2 3
27
b
=
0
hx2
}.
b2
h b 3 03
bh
=
.
b2
3
3
