Anna Attias
Matematica Corso Base - 9 cfu
OBIETTIVI
Questo primo insegnamento di matematica ha lo scopo principale di fornire gli
strumenti minimi per la comprensione dei corsi successivi a carattere quantitativo,
quali ad esempio la statistica e l'economia. È
l'unico esame di matematica della
formazione comune a tutti i corsi di laurea ed il programma copre un'ampia panoramica
di argomenti scelti in funzione delle successive applicazioni. Il corso viene tenuto a un
livello accessibile anche a chi nelle scuole medie superiori non ha acquisito un ampio
bagaglio di conoscenze di matematica. In realtà, per alcuni corsi di laurea sono poi
necessari approfondimenti per i quali sono disponibili insegnamenti offerti dal nostro
dipartimento che lo studente può liberamente inserire nel proprio piano degli studi. La
facoltà offre poi in particolare un corso di laurea specialistico, FINASS, orientato
alla finanza ed alle assicurazioni, nel quale vengono offerti diversi corsi avanzati di
matematica.
Risultati di apprendimento previsti
Acquisizione degli elementi di base per il proseguimento degli studi delle materie che
richiedono conoscenza quantitativa (es. statistica, economia etc.)
PROGRAMMA
PREREQUISITI: Algebra elementare - Equazioni e disequazioni - Potenze ad
esponente reale - Logaritmi - Geometria analitica del piano - Cenni di teoria degli
insiemi.
ALGEBRA LINEARE: Vettori - Operazioni con i vettori - Combinazione lineare di
vettori - Combinazione lineare convessa di vettori - Spazi e sottospazi vettoriali Dipendenza ed indipendenza lineare. Teoremi relativi - Rango di un insieme di vettori Teorema fondamentale degli spazi lineari - Matrici - Operazioni con matrici e
proprietà - Determinante di una matrice - Calcolo dei determinanti. Regola di Sarrus.
Primo teorema di Laplace - Minori di una matrice - Caratteristica di una matrice Proprietà dei determinanti - Sistemi di equazioni lineari - Risoluzione di un sistema di
equazioni lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer - Sistemi lineari
omogenei - Sistemi lineari parametrici.
SISTEMI DI NUMERAZIONE E INSIEMI NUMERICI: Metodo di dimostrazione per
induzione - Dimostrazione indiretta o per assurdo - Insiemi di numeri reali Maggioranti e minoranti di un insieme - Massimi e minimi, estremo superiore e
estremo inferiore - Distanza - Intorno di un punto Punto di accumulazione.
FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE: Funzioni elementari - Grafico di una
funzione – Monotonia – Invertibilità - Funzioni composte - Limite di una funzione,
definizione - Caso del limite e del punto limite finiti. Estensione della definizione e
altri casi di limite - Limite destro e sinistro - Teoremi sui limiti delle funzioni: unicità,
permanenza del segno (diretto e inverso), del confronto - Operazioni sui limiti.
Operazioni con i simboli di infinito - Funzione continua - Continuità a sinistra e a
destra - Continuità in un intervallo - Punti singolari - Teoremi sulle funzioni continue:
della permanenza del segno, del massimo e del minimo (di Weierstrass), di esistenza
degli zeri, del punto fisso - Infinitesimi ed infiniti.
SUCCESSIONI: Definizioni - Limite di una successione (tutti i casi) - Teorema di
unicità del limite - Teorema della permanenza del segno (diretto e inverso) - Teorema
del confronto - Teoremi sulle successioni monotòne - Operazioni sui limiti delle
successioni.
SERIE: Definizioni e generalità – Successione delle somme parziali di una serie - Serie
convergente, divergente, indeterminata - Serie geometrica e serie armonica.
CALCOLO DIFFERENZIALE: Definizione di derivata. Relazione con la continuità Interpretazione geometrica della derivata - Regole di derivazione: teoremi relativi.
Derivata di funzioni potenza, esponenziale e logaritmica - Crescenza e decrescenza
puntuale e teoremi relativi - Teoremi della media: Rolle, Cauchy, Lagrange - Crescenza
e decrescenza in grande e teoremi relativi - Forme indeterminate. Teorema di de
L'Hôpital - Differenziale - Derivata della funzione composta - Derivata seconda e
derivata di ordine successivo - Funzione concava e convessa in un punto - Punti di
flesso. Teoremi relativi - Convessità e concavità in grande. Teoremi relativi - Formula
di Taylor. Resto, forma di Lagrange - Metodo delle derivate successive per lo studio
dei punti stazionari e di flesso. Teoremi relativi - Asintoti - Studio di funzione.
CALCOLO INTEGRALE: Somme integrali, definizione di integrale e teoremi relativi Integrale: significato geometrico. Proprietà - Teorema del valore medio - Integrale
definito. Teoremi relativi - Funzione integrale - Teorema fondamentale del calcolo
integrale - Calcolo dell'integrale definito mediante la primitiva - Integrali indefiniti Metodi di integrazione indefinita: per scomposizione, per trasformazione, per
sostituzione, per parti - Regola per il calcolo degli integrali definiti - Integrazione per
scomposizione, per sostituzione e per parti.
CENNI SU FUNZIONI REALI DI DUE E PIÙ VARIABILI REALI
TESTI ADOTTATI
• M. Angrisani, Introduzione alla attività matematica, CISU Edizioni, Roma, 2011;
• A. Attias - P. Ferroni, Introduzione alla attività matematica. 700 esercizi svolti,
CISU Edizioni, Roma, 2012;
• S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare (http://mat.eco.unicas.it).
MODALITA’ DI EROGAZIONE
Tradizionale
FREQUENZA
Facoltativa
VALUTAZIONE
Prova scritta
Prova orale
