Programma di Analisi Matematica
Definizione assiomatica dei numeri reali.
Conseguenze degli assiomi dei numeri reali.
Teoria degli insiemi.
I numeri naturali, i numeri interi e i numeri razionali.
Funzioni e rappresentazione cartesiana.
Funzioni invertibili. Funzioni monotone.
Funzioni lineari, affini, funzione valore assoluto.
Funzioni potenza, esponenziale, logaritmo.
Principio di induzione
Funzioni trigonometriche. Maggiorante di un insieme, minimo e massimo. Estremo
superiore e estremo inferiore.
Esercizi su estremo superiore, massimi e minimi, procedimento di induzione.
Disequazioni razionali
Proprietà elementari delle funzioni trigonometriche.
I numeri complessi
Successioni di numeri reali.
Successioni convergenti, limitate, proprietà elementari.
Successioni divergenti, forme indeterminate.
Operazioni con i limiti.
Teoremi della permanenza del segno e di confronto
Esercizi sui Numeri complessi e su limiti di successioni.
Alcuni limiti notevoli. Il numero di Nepero.
Successioni monotone. Il numero di Nepero. Il criterio del rapporto.
Successioni estratte. Il teorema di Bolzano Weierstrass. Successioni di Cauchy.
Esercizi sui limiti di successioni
Limiti di funzioni
Proprietà dei limiti di funzione. Funzioni continue.
Discontinuità. Alcuni teoremi sulle funzioni continue.
Teoremi di Weierstrass e di Bolzano.
Continuità delle funzioni monotone e delle funzioni inverse.
Velocità istantanea. Significato meccanico della derivata.
Definizione di derivata. Operazioni con le derivate.
Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse.
Derivate delle funzioni elementari.
Significato geometrico della derivata. Retta tangente al grafico di una funzione.
Esercizi sui limiti di funzioni e sulle funzioni continue.
Derivate seconde e derivate di ordine superiore.
Massini e minimi relativi.
Teorema di Fermat.
I teoremi di Rolle e di Lagrange.
Funzioni crescenti, decrescenti.
Funzioni convesse e concave.
Studio del segno delle derivate prime e seconde
Il teorema di l'Hopital.
Studio di funzione con gli strumenti del calcolo differenziale.
Esercizi sulle derivate
Studio del grafico di una funzione.
Formula di Taylor.
Formula di Taylor con resto secondo Peano.
Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti
Integrale di Riemann. Definizioni equivalenti e notazioni
Esercizi sui limiti con la formula di Taylor.
Esercizi su studio di funzione con gli strumenti del calcolo differenziale.
Proprietà degli integrali definiti. Il teorema della media integrale. Integrabilità delle
funzioni monotone.
Integrabilità delle funzioni continue. Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Primitive. L'integrale indefinito.
Metodi di integrazione. Integrazione per decomposizione in somma.
Integrazione per parti. Integrazione delle funzioni razionali.
Esercizi su studio di funzione con gli strumenti del calcolo differenziale.
Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per sostituzione. Calcolo delle aree di
figure piane. Esempi
Integrale generalizzato. Esempi
Esercizi sull'integrale definito
Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini
non negativi.
La serie geometrica. Criterio integrale. Serie armonica e serie armonica generalizzata.
Criteri di convergenza per serie numeriche a termini non negativi: criterio del confronto,
degli infinitesi, criterio del rapporto e della radice.
Serie alternate: criterio di Leibniz.
Convergenza assoluta. Criterio di Cauchy.
Serie di Taylor.
Esercizi su integrali generalizzati e serie numeriche
