Formulario di
CIRCUITI ELETTRONICI ANALOGICI L-A
Gennaio - Marzo 2009
Identità ed equazioni relative all’elettronica analogica tratti dalle lezioni del corso di Circuiti
Elettronici Analogici L-A alla facoltà di Ingegneria Elettronica dell’Università di Bologna tenute dal
professor A. Gnudi (raccolte da Francesco Conti)
CIRCUITI LINEARI
Circuiti a parametri concentrati tempo-invarianti
~
dD
'0
d~t
~
dB
'0
d~t
σ'0
fuori dai componenti
σ → +∞
nei conduttori
Equazione di Kirchhoff delle correnti
X
Ii = 0
i
Equazione di Kirchhoff delle tensioni
X
Vi = 0
i
Uscita di un circuito in stato zero
Su (s) = Si (s)H(s)
Ammettenza di un condensatore
Y(s) = sC
Impedenza di un induttore
Z(s) = sL
Equazione caratteristica di un bipolo autonomo a circuito aperto
Y(s) = 0
1
Equazione caratteristica di un bipolo autonomo cortocircuitato
Z(s) = 0
Partitore di tensione
Vu = Vi
Z2
Z1 + Z2
Uscita in regime sinusoidale
Su = Si H(jω)
2
DUE-PORTE
Matrice delle impedenze
z
Z̄¯ = i
zf
zr
zo
y
Ȳ¯ = i
yf
yr
yo
1
Prima forma canonica del 2-porte
V̄ = Z̄¯ Ī
Matrice delle ammettenze
Seconda forma canonica del 2-porte
Ī = Ȳ¯ V̄
Matrici di ammettenze e impedenze
Ȳ¯ = Z̄¯ −1 =
yi
¯
y
det Z̄ f
Due-porte a Pi greco
Y + YB
Ȳ¯ = A
−YB
−YB
YB + YC
Definizione di guadagno di tensione
AV (s) ,
3
Vu
Vi
yr
yo
Guadagno di tensione
AV = −
yf
yo + YC
Guadagno di tensione a carico aperto
AVca = −
yf
yo
Definizione di guadagno di corrente
AI (s) ,
Iu
Ii
Guadagno di corrente
AI = −
zf
zo + Z C
Guadagno di corrente di cortocircuito
AIcc = −
zf
zo
Definizione di impedenza d’ingresso
Zi (s) ,
Vi
Ii
Impedenza d’ingresso
Z i = zi −
z r zf
zo + Z C
Impedenza d’ingresso a carico aperto
Zica = zi
4
Definizione di ammettenza d’ingresso
Yi (s) ,
Ii
Vi
Ammettenza d’ingresso
Yi = yi −
yr yf
yo + YC
Ammettenza d’ingresso in corto circuito
Yicc = yi
Definizione d’impedenza d’uscita
Zu ,
Vu Iu VG =0
Impedenza d’uscita
Z u = zo −
zr zf
zi + Z G
Definizione d’ammettenza d’uscita
Yu ,
Iu Vu VG =0
Impedenza d’uscita
Yu = yo −
yr yf
yi + YG
Guadagno di tensione di due doppi bipoli in cascata
AV = AV1 · AV2
5
Potenze in un amplificatore
Pu >1
Pi Amplificatore di tensione
H(s) =
Vu
VG
Amplificatore reale di tensione
H(s) = AVca ·
Zica
ZC
·
Zica + ZG ZC + Zu
Amplificatore ideale di tensione
H(s) = AVca
|Zu | → 0
|Zica | → +∞
Amplificatore di corrente
H(s) =
Iu
IG
Amplificatore reale di corrente
H(s) = AIcc ·
Yicc
YC
·
Yicc + YG YC + Yu
Amplificatore ideale di corrente
H(s) = AIcc
|Yu | → 0
|Yicc | → +∞
6
Amplificatore a transimpedenza
H(s) =
Vu
IG
Amplificatore ideale a transimpedenza
|Zu | → 0
|Yi | → +∞
Amplificatore a transammettenza
H(s) =
Iu
VG
Amplificatore ideale a transammettenza
|Yu | → 0
|Zi | → +∞
7
DIODI A GIUNZIONE
Equazione caratteristica di un diodo ideale
V
I = IS e VT − 1
Tensione termica di un diodo ideale
VT =
kB T
qel
Modello a soglia del diodo
I = 0,
V = Vγ ,
se V < Vγ
se I > 0
Raddrizzatore a semionda
Limitatore di tensione
Rivelatore di minimo (porta “and”)
8
Rivelatore di massimo (porta “or”)
Rivelatore di inviluppo
9
TRANSISTORI BIPOLARI
Transistore bipolare npn secondo il modello di Ebers-Moll
V
V
BC
BE
IS
VT
VT
−1 +
−1
e
e
βR
V
V
VBC
BC
BE
IS
VT
VT
VT
IC = −
e
− 1 + IS e
−e
βR
V
V
VBC
BE
BE
IS
IE =
e VT − 1 + IS e VT − e VT
βF
IS
IB =
βF
IE = IC + IB
Regione diretta del transistore npn
VCE > 0
Caratteristiche d’ingresso e di uscita del BJT npn in regione diretta
10
Transistore bipolare npn secondo il modello di Ebers-Moll in regione normale
VBE
IC = IS e VT
IB =
IE =
IC
βF
βF + 1
IC
βF
Transistore bipolare npn secondo il modello a soglia
OFF → IB = IC = 0
se VBE < Vγ
ON → VBE = Vγ
RN → IC = βF IB
ON
SAT → VCE = VCEsat
se IB > 0
se VCE > VCEsat
se IC < βF IB
Transistore bipolare pnp secondo il modello di Ebers-Moll
V
V
CB
EB
IS
e VT − 1 +
e VT − 1
βR
V
V
VCB
CB
EB
IS
VT
VT
VT
IC = −
e
− 1 + IS e
−e
βR
V
V
VCB
EB
EB
IS
VT
VT
VT
− 1 + IS e
−e
IE =
e
βF
IB =
IS
βF
IE = IC + IB
Regione diretta del transistore pnp
VEC > 0
11
Transistore bipolare pnp secondo il modello di Ebers-Moll in regione normale
VEB
IC = IS e VT
IB =
IE =
IC
βF
βF + 1
IC
βF
Transistore bipolare pnp secondo il modello a soglia
OFF → IB = IC = 0
se VEB < Vγ
ON → VEB = Vγ
RN → IC = βF IB
ON
SAT → VEC = VECsat
se IB > 0
se VEC > VECsat
se IC < βF IB
Effetto Early in regione normale
VCE
IC = βF IB 1 +
VA
Transistore bipolare npn con effetti reattivi
QBE = τB IC VBE
s
VBC
QBC = Q0 1 −
ψB
Coefficiente hFE
hFE =
12
IC
IB
Specchio di corrente di tipo pozzo
I1 = I2
1+
1+
2
βF
VCE3
VA
I1 ≈ I2 se l’effetto Early è trascurabile
13
REGIME DI PICCOLI SEGNALI
Punto di riposo e piccoli segnali
Vi (t) = Vi0 + vi (t)
Vu (t) = Vu0 + vu (t)
Resistore lineare (equivalente a piccoli segnali)
=⇒
i = Gv
Condensatore lineare (equivalente a piccoli segnali)
i=C
dv
dt
=⇒
Induttore lineare (equivalente a piccoli segnali)
v=L
dI
dt
=⇒
Generatore di tensione costante (equivalente a piccoli segnali)
v=0
=⇒
Generatore di corrente costante (equivalente a piccoli segnali)
i=0
=⇒
14
Diodo ideale (equivalente a piccoli segnali)
i = gv
g=
=⇒
0, in inversa
I0
VT , in diretta
Diodo reale (equivalente a piccoli segnali)
i = gv
g=
CD =
0, in inversa
I0
VT , in diretta
C0
V
1− Ψ 0
B
τ I 0 ,
VT
=⇒
, in inversa
in diretta
Transistore bipolare (equivalente a piccoli segnali)
IC0
VT
VT βF 1 +
gm =
rBE =
VCE0
VA
=⇒
IC0
rCE =
VA + VCE0
IC0
Transistore bipolare senza effetti reattivi (equivalente a piccoli segnali)
VCE0
β0 = βF 1 +
VA
rBE =
rCE =
β0 VT
IC0
=⇒
VA + VCE0
IC0
15
Transistore bipolare con effetti reattivi (equivalente a piccoli segnali)
IC0
VT
VT βF 1 +
gm =
rBE =
rCE =
VCE0
VA
IC0
=⇒
VA + VCE0
IC0
CBE = τB gm
CBC = q
CBC0
1−
VBC0
ΨBC
16
STADI AMPLIFICATORI ELEMENTARI
Stadio a emettitore comune (con l’effetto Early)
Ri = rBE
Av =
−β0 (rCE k ZC )
rBE
=⇒
YC
Ai = β0
YC + gCE
Ru = rCE
Stadio a emettitore comune (senza l’effetto Early)
Ri = rBE
Av =
−β0 ZC
rBE
=⇒
Ai = β0
Ru = ∞
Stadio a collettore comune (con l’effetto Early)
Ri = rBE
Av =
−β0 (rCE k ZC )
rBE
=⇒
YC
Ai = β0
YC + gCE
Ru = rCE
17
Stadio a collettore comune (con l’effetto Early)
Zi = rBE + (β0 + 1) (rCE k ZC )
(β0 + 1) (rCE k ZC )
rBE + (β0 + 1) (rCE k ZC )
rCE
Ai = −(β0 + 1)
rCE + ZC
Av =
Yu = gCE +
=⇒
β0 + 1
rBE + ZG
Stadio a collettore comune (senza l’effetto Early)
Zi = rBE + (β0 + 1)ZC
Av =
(β0 + 1)ZC
rBE + (β0 + 1)ZC
=⇒
Ai = −(β0 + 1)
Yu =
β0 + 1
rBE + ZG
Stadio a base comune (con l’effetto Early solo per la rCE )
Ri =
rBE
β0 + 1
Av =
β 0 ZC
rBE
β0
Ai = −
β0 + 1
Zu = ZG k rBE +rCE 1 + β0
=⇒
gBE
gBE + YG
18
Stadio a emettitore comune generalizzato (senza l’effetto Early)
Zi = rBE + (β0 + 1)ZE
Av =
−β0 ZC
rBE + (β0 + 1)ZE
=⇒
Ai = β0
Ru = ∞
Stadio a collettore comune generalizzato (senza l’effetto Early)
Zi = rBE + (β0 + 1)ZC
Av =
(β0 + 1)ZC
rBE + (β0 + 1)ZC
=⇒
Ai = −(β0 + 1)
Yu =
β0 + 1
rBE + ZG
Stadio a base comune generalizzato (con l’effetto Early solo per la rCE )
Zi =
rBE + ZB
β0 + 1
Av =
β 0 ZC
rBE + ZB
Ai = −
β0
β0 + 1
Zu = ZG k (rBE +ZB )+rCE 1 + β0
gs =
=⇒
gs
gs + YG
1
rBE + ZB
19
AMPLIFICATORI DIFFERENZIALI
Tensione d’ingresso di modo comune e tensione d’ingresso differenziale
vc =
v+ + v−
2
vd = v+ − v−
Guadagno di modo comune e guadagno differenziale
vu vc vd =0
vu ,
vd vc =0
Ac = A+ + A− ,
Ad =
A+ − A−
2
Amplificatore differenziale ideale
Ac → 0
Ad , 0
Common mode rejection ratio (CMRR)
Ad CMRR = Ac Coppia differenziale
IC1 = I0
βF
1
βF + 1 1 + e− VVdT
IC2 = I0
1
βF
βF + 1 1 + e VVTd
Ad =
Ac =
=⇒
β0 RC
2rBE
β0 RC
rBE + 2(β0 + 1)RE
CMRR =
1
RE
+ (β0 + 1)
2
rBE
20
AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
Amplificatore operazionale ideale
I+ = I− = 0
Vu = f(Vd )
Se Ad0 = 0,
se |Vu | < VuM (alto guadagno)
Vd = 0,
Vu = +VuM , se Vd > 0 (saturazione positiva)
Vu = −VuM , se Vd < 0 (saturazione negativa)
Amplificatore non invertente
Av (s) = 1 +
Z2
Z1
21
Amplificatore a retroazione unitaria o separatore ideale
Av = 1
Ri = ∞
Ru = 0
Amplificatore invertente
Av (s) = −
Z2
Z1
Derivatore
Av (s) = −sRC
Integratore
Av (s) = −
1
sRC
Sommatore
Vu = −
R
R
V1 − V2
R1
R2
22
Cella universale
2
Av1 (s) =
Av2 (s) =
−s RRK C
2
s2 R2 C2 + s RRQ C + 1
R
RK C
2
s2 R2 C2 + s RRQ C
Amplificatore differenziale a 3 opamp per strumentazione
Ad =
R2
R1
R3
1+
R4
23
+1
