Meccanica quantistica 1
2 Novembre 2016
Esercizio 1
Tra tutti gli stati di un oscillatore armonico unidimensionale trovare lo stato |ψi tale che:
1) una misura dell’energia fornisca i valori ~ω/2 e 3~ω/2, entrambi con probabiità 1/2;
2) il valor medio dell’impulso sia nullo.
Dimostrare infine che su tale stato il principio di indeterminazione è soddisfatto.
[10 punti]
Esercizio 2
Un elettrone all’istante t = 0 si trova nello stato
|1 − 1i|+i ,
essendo |1 − 1i autoket simultaneo del quadrato del momento angolare orbitale e della sua componente z, con autovalori
rispettivamente 2~2 e −~, e |+i autoket della componente z dello spin con autovalore ~/2.
L’elettone sia sottoposto all’hamiltoniana
~ + S)
~ 2,
H = −α(L
~ il momento angolare orbitale e S
~ lo spin dell’elettrone. Trovare lo
essendo α una costante dimensionata e indicando L
stato dell’elettrone al tempo t.
[10 punti]
Esercizio 3
Una particella di massa m si trova in una buca di potenziale infinita unidimensionale estesa da x = 0 a x = a. Il
sistema viene perturbato da un potenziale del tipo
V = βx2 ,
con β una costante dimensionata e 1. Quali sono le dimensioni di β?
Trovare le correzioni a tutti i livelli energetici al prim’ordine in .
[10 punti]
Formule utili:
r
ψn (x) =
2
nπx
sin
,
a
a
â =
p
(mω)/(2~)(x̂ + ip̂/(mω)) ,
1
p
Jˆ± |j , mi = ~ (j ∓ m)(j ± m + 1)|j , m ± 1i
(0.1)
