Interazione Spin

Interazione Spin-Orbita
Spin-Orbit
12 Luglio 2013
1 Hamiltoniana dell’atomo d’Idrogeno
La funzione Hamiltoniana dell’atomo di Idrogeno (H) formato da un protone ed un elettrone nel centro
di massa è
p2
e2
−
2m
r
H=
(1.1)
dove m è la massa ridotta del sistema e− − p+ che è circa quella dell’elettrone e r è la distanza relativa
tra i due. Si conosce la soluzione esatta dell’equazione di Schroedinger associata a questo problema.
La funzione d’onda può essere fattorizzata in un termine angolare espresso con la Armoniche Sferiche
tali che risolvono l’equazione agli autovalori
L2 Ylm (θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm (θ, ϕ)
(1.2)
ed in uno radiale proporzionale ai Polinomi di Laguerre. Gli autovalori dell’energia sono
En = −
1
ERyd
n2
(1.3)
dove ERyd = 13.6 eV.
2 Correzione relativistica
Le correzioni relativistiche alla 1.1 sono di tipo spin-orbita e spin-spin, nel caso di atomi con più elettroni.
2
Queste correzioni sono dell’ordine vc2 . Questi termini aggiuntivi sono responsabili dello splitting dei
livelli atomici dell’ordine della struttura fine, la cui costante è
α=
e2
1
≃
~c
137
(2.1)
Per ricavare la forma dell’interazione spin-orbita si può utilizzare un ragionamento quasi-classico. Si
considera il campo magnetico generato dalla rotazione dell’elettrone attorno al nucleo. Il campo B nel
sistema di riferimento dell’elettrone è
B=−
v×E
c2
(2.2)
dove v è la velocità radiale dell’elettrone e E è il campo radiale del nucleo. Sapendo che il momento
dell’elettrone è p = me v nella 2.2 si ottiene
r × p E B=
me c2 r Poiché |E| =
1 ∂U
e ∂r
(2.3)
e dalla definizione di L si ha
B=
r × p 1 ∂U
L 1 ∂U
=
me ec2 r ∂r
me ec2 r ∂r
(2.4)
A questo punto si può scrivere la forma generale dell’accoppiamento magnetico per l’elettrone
V = −µB
(2.5)
µ = g s µB S
(2.6)
dove µ è in unità di ~
con g s ≃ 2 1 fattore giromagnetico dell’elettrone e S vettore operatore di spin. La costante Magnetone di
Bohr vale µB = 5.8 · 10−11 MTeV Infine introducendo la precessione di Thomas, si ricorda che l’elettrone
in moto non è un sistema di riferimento inerziale perciò la scrittura dell’Hamiltoniana non sarebbe
corretta, si ottiene la forma della 2.5 usando il valore della 2.4:
VLS =
µB 1 ∂U
L·S
~me ec2 r ∂r
Si può fare una stima della correzione nell’atomo di Idrogeno
che in unità atomiche è
|U | =
(2.7)
2
conoscendo il potenziale Coulombiano
e2
r
(2.8)
e calcolando per r = ra ovvero il Raggio di Bohr ra = ~2 /me2 si ha nella 2.7
VLS ∼ α2
me4
~2
(2.9)
quindi lo shift energetico è dell’ordine di 10−4 .
3 Calcolo dei livelli
Per calcolare la rottura della degenerazione si può calcolare l’elemento di matrice dell’operatore VLS al
primo ordine nella Teoria Perturbativa. A parte i termini costanti si deve risolvere l’integrale
∫
2π
0
∫
0
π
∫
0
∞
ψ∗
1 ∂U
L · S ψ r2 drdΩ
r ∂r
(3.1)
All’interno di una rappresentazione irriducibile di J si può utilizzare il Teorema di Wigner-Eckart e
scrivere
J(J + 1) + L(L + 1) − S(S + 1)
J
2J(J + 1)
J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)
S=
J
2J(J + 1)
L=
(3.2)
(3.3)
a questo punto è facile valutare i termini LS e resta da integrare solo le parti radiali. Nello splitting
dei livelli ovviamente si osserva la divisione per J diversi.
Il valore di g − 2 è il numero più preciso che sia mai stato misurato in laboratorio. Infatti per g ̸= 2 in un moto
di precessione attorno ad un campo magnetico assiale, si osserva uno sfasamento tra l’orientazione dello spin e della
velocità tangenziale. Misurando il valor medio dell’operatore v · s si è osservato un andamento sinusoidale nel tempo
invece che costante.
2
Si segue quanto fatto nel magnifico manuale del Landau, Meccanica Quantistica teoria non relativistica
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