appello24-06-08

CORSO di LAUREA in SCIENZE BIOLOGICHE
Appello del 24 Giugno 2008
1) DINAMICA
Una particella di massa M = 2kg , legata ad una fune di lunghezza L= 2m fissata in un punto O di un piano
orizzontale, si muove di moto circolare uniforme attorno ad O con velocità v=2 m/s. Si calcoli:
a) La tensione della fune e la reazione normale esercitata dal piano orizzontale sulla particella .
b) Il numero di giri /minuto che la particella può compiere senza che la fune si spezzi, sapendo che la fune si
rompe quando la tensione raggiunge il valore di 100 N. Supponendo infine che la tensione valga 100 N e
la fune si spezzi , si determini la lunghezza del tratto percorso dalla particella sul piano orizzontale in un
intervallo di tempo di 2 secondi , specificando in quale direzione avverrà il moto.
2) FLUIDI
Un corpo di forma irregolare ha volume V = 0.1 m3 e contiene al proprio interno una cavità vuota di volume
VC = V/2. Il corpo galleggia in acqua con 2/3 del proprio volume immerso.
a) Calcolare la spinta di Archimede e la densità del corpo;
b) Determinare modulo, direzione e verso della forza Fapp che si deve applicare per mantenere il corpo
completamente immerso in acqua.
3) TERMODINAMICA
Una mole di gas perfetto monoatomico compie il seguente ciclo termodinamico:
trasformazione AB: variazione lineare della pressione con il volume
dallo stato A (con pressione pA = 2 atm e volume VA = 1 litro)
allo stato B (con pressione pB = pA/2 e VB = 4 VA);
trasformazione BC: compressione isobara allo stato C con volume VC = 2VA;
trasformazione CA: compressione isoterma allo stato A.
a) Disegnare il grafico del ciclo nel piano (p,V) e calcolare le coordinate termodinamiche (p,V,T) negli stati
A, B e C;
b) Determinare il lavoro W svolto dal gas, il calore Q scambiato e la variazione di energia interna E, per
ciascuna trasformazione e per l’intero ciclo.
[N.B. R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol]
4) ELETTROSTATICA
Due lamine piane infinite e parallele , sono elettricamente cariche con densità di carica opposta, di valore
assoluto pari a = 2 10-6 C/m2. La lamina positiva è posta lungo l’asse y di un sistema d’assi (x,y) e quella
negativa passa per il punto A di coordinate ( 1m, 0) .
a) Determinare modulo direzione e verso del campo elettrico nelle regioni interne ed esterne alle lamine e la
forza esercitata su una carica puntiforme positiva q = 10-9 C, posta nel punto B di coordinate (1/3 m, 0 )
b) Determinare il lavoro svolto dalla forza elettrostatica per spostare la carica q dal punto B al punto C, lungo
un percorso rettilineo di lunghezza s = 0.3m, inclinato di +30° rispetto all’asse x.
[N.B. 0 = 8.85 10-12 C2/Nm2 ]
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE PROCEDIMENTI SOSTITUIRE
I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE SENZA DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA.
Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD) qinf.fisica.unimi.it/~paris
(EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)
1) SOLUZIONE
DINAMICA
a) La forza centripeta che determina il moto circolare di raggio L è la Tensione T della fune, pertanto :
.
T = Mv 2 / L (*) sostituendo i valori numerici si ottiene T= 4 N
La reazione normale esercitata dal piano orizzontale N è uguale alla forza Peso
N= Mg = 19.6 N
b) La velocità in corrispondenza alla quale si rompe la fune si ottiene dalla (*)
v = ( T L/ M ) ½ = 10 m/s
La lunghezza della circonferenza percorsa è 2 π L = 12.57 m . Poiché la velocità è 10m/s , il numero
di giri compiuti in 1 secondo sarebbe 0.7955 e quelli compiuti in 1 minuto sarebbero 47.7 . Il numero
di giri affinché la fune non si spezzi deve essere minore di 47.7.
Quando la tensione vale 100 N e la fune si rompe, la particella si muove sul piano orizzontale con
velocità di 10 m/s in direzione tangente alla circonferenza . Poiché il piano è perfettamente liscio il
moto è rettilineo uniforme e la particella percorrerà un tratto di 20 m.
2) SOLUZIONE FLUIDI
a) La spinta di Archimede agisce sul volume di fluido spostato, ossia sul volume di corpo
immerso, mentre la forza peso agisce sulla massa del corpo (che in questo cosa occupa solo
metà del volume totale)
FA  m f g   f
2
Vg
3
kg 2
  0.1m 3  9.8m / s 2
3
m 3
 653.3 N
 10 3
La densità del corpo si ricava dalla condizione di galleggiamento:
FA  Fg  mg
2
V
Vg   C g
3
2
4
4
kg
kg
 C   f   10 3 3  1.33  10 3 3
3
3
m
m
f
b) La forza Fapp deve essere tale da garantire la condizione di equilibrio, con il corspo
completamente immerso in acqua:



Fapp  FA  Fg  0
 Fapp  FA  Fg  0
Fapp  FA  Fg
Fapp   f Vg   C
 ( f 
V
g
2
1
 C )Vg
2
2
 (1  )Vg f
3
1
kg
  0.1m 3  9.8m / s 2  10 3 3
3
m
2
 3.27  10 N
La forza Fapp è diretta verticalmente verso il
basso con intensità 327 N.
3) SOLUZIONE TERMODINAMICA
a) Le coordinate termodinamiche nel piano (p,V) sono:
stato A:
p A  2atm  2  10 N / m
5
p
2
V A  1l  10 3 m 3
pA
TA  p AV A / nR
 (2  105
N
1mole
 10 3 m 3 ) /(
)
2
m
8.31J / moleK
 24.07 K
pB pC 
stato B:
A
pA
2
C
B
p B  p A / 2  1atm  1  105 N / m 2
VB  4V A  4l  4  10 3 m 3
TB  p BVB / nR
(
VA
pA
4V A ) / nR  2 p AV A / nR  2TA  48.13 K
2
stato C:
pC  p A / 2  1atm  1  105 N / m 2
VC  2V A  2l  2  10 3 m 3
TC  TA  24.07 K
b) Calcolo di Eint, Q e W per le tre trasformazioni:
trasformazione AB:
3
3
3
R(TB  TA )  RT A   8.31J / moleK  24.07 K  300 J
2
2
2
( p A  p B )  (VB  V A ) ( p A  p A / 2)  (4V A  V A ) 9
W

 p AV A  450 J
2
2
4
3
9
3
9
15
Q  Eint  W  RT A  p AV A  p AV A  p AV A 
p AV A  750 J
2
4
2
4
4
Eint  ncV T 
trasformazione BC:
pA
 ( 2V A  4V A )   p AV A  200 J
2
5
5
5
Q  nc P T  R(TC  TB )   RT A    8.31J / moleK  24.07 K  500 J
2
2
2
5
5
3
Eint  Q  W   RT A  p AV A   p AV A  p AV A   p AV A  300 J
2
2
2
W  p B  (VC  VB ) 
trasformazione CA:
Eint  0
A
A
nRT A
V
V
dV  nRT A ln A  nRT A ln A  nRT A ln 2 
V
VC
2V A
C
Q  W   pdV  
C
 8.31J / moleK  24.07 K ln 2  138.6 J
VC  2VA
VB
V
Per l’ intero ciclo:

Eint  0
( p  p B )  (VB  V A )
Q W  A
 ( p B  pC )  (VB  VC )   pdV 
2
A
C

V
9
5
p AV A  p AV A  nRT A ln C  p AV A  RT A ln 2  250 J  138.6 J  111.4 J
4
VA 4
4) SOLUZIONE ELETTROSTATICA
a) Il campo elettrico prodotto da una distribuzione piana infinita, uniformemente carica, è costante,
perpendicolare alla superficie della lamina, con verso uscente (entrante) se la lamina è carica
positivamente (negativamente).
Il modulo del campo vale: E = /20.
Da ciò segue che per due lamine parallele, infinitamente estese ed uniformemente cariche con
densità opposte di segno (ma uguali in valore assoluto):
E=0
nelle regioni esterne alle lamine;
E = /0 (con verso dalla lamina positiva a quella negativa), nella regione interna.
Nel caso in esame:
E =  (2 10-6 C/m2)/ (8.85 10-12 C2/Nm2) = 0.23 x 106 N/C
La forza esercitata sulla carica q è diretta perpendicolarmente alle lamine, con verso uscente dalla
lamina positiva e vale:
F = qE = 10-9C  0.23 x 106 N/C = 0.23 10-3 N 
b) Il lavoro fatto dalla forza elettrostatica (costante) lungo il percorso s vale:
 
L  F  s  Fs cos 60
 0.23  10 -3 N  0.3m 
 0.0345  10 -3 Nm
 345  10 -7 J
1
2