Soluzione

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE, A.A. 2007/2008
Appello straordinario del 28 maggio 2008
1) Un corpo di massa m = 40 g, fissato ad una fune di lunghezza L = 1m si
muove di moto circolare (in senso antiorario) uniforme su di un
piano
orizzontale privo di attrito e la tensione T della fune vale 6.31 N .
Calcolare:
a) il numero di giri compiuti in un secondo;
b) sapendo che la fune si spezza nel punto A = (l m , 0), calcolare la posizione
del corpo dopo un tempo t = 4 s dall’istante in cui la fune si è spezzata.
y
O
A
x
2) Un recipiente cilindrico, alto H = 2 m e del diametro d = 2 m poggia a terra
ed ha un forellino circolare ad una altezza h = 0.5 m dal suolo. Il rapporto fra
le velocità dell’acqua alla superficie libera del recipiente, V, e quella all’uscita
dal forellino, v, V/v è pari a 10– 4 .
Supponendo l’acqua un fluido ideale , in moto stazionario e irrotazionale, si determini:
a) il raggio del forellino.
b) la velocità iniziale di deflusso dell’acqua dal forellino, facendo le opportune approssimazioni.
3) Una mole di un gas ideale monoatomico compie la seguente trasformazione ciclica:
A → B: trasformazione isocora da pressione pA = 1 atm e volume VA = 1 litro a pB = 2 atm;
B → C: trasformazione con variazione lineare della pressione con il volume, fino allo stato C con
pressione pC = 1 atm e volume VC = 2 VA;
C → A: compressione isobara.
a) Si disegni nel piano (p,V) la trasformazione termodinamica, indicandone il verso di percorrenza, e si calcolino
le temperature degli stati A, B e C;
b) Si calcolino calore, lavoro e variazione di energia interna per le tre trasformazioni precedenti e per l’intero
ciclo.
(N.B. R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol)
4) Una lamina verticale di estensione infinita viene caricata positivamente con densità di carica σ = 2 10-9 C/m2.
Alla lamina viene unita una molla di costante elastica k = 1000 N/m, fissata perpendicolarmente alla lamina.
Alla molla viene quindi attaccata una carica positiva Q. Supponendo di trascurare il peso della carica,
determinare:
a) modulo, direzione e verso del campo elettrico prodotto dalla lamina;
b) il valore della carica Q tale che l’estensione della molla sia pari ad x = 1 cm.
(N.B. ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2 )
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI.
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA.
Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), fisbio.webhop.net (EN),
www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)
Soluzione Esercizio 1
a) La tensione della fune è la forza centripeta che mantiene il corpo lungo la traiettoria circolare e vale
in modulo: T = m v2 / L e pertanto v = √ T L/m. Sostituendo i valori numerici risulta v= 12.56 m/s
Poiché un giro corrisponde alla lunghezza dell’intera circonferenza , cioè 6.28 m, il numero di giri
fatti in 1 secondo è 2.
b) Quando la fune si spezza la particella non soggetta a forze si muove con velocità costante , nella
direzione della tangente alla circonferenza in A e quindi parallelamente all’asse y. All’istante t=4s
si trova quindi nel punto B= (1m, 50.24m ).
Soluzione Esercizio 2
a) La portata volumetrica dell’acqua si conserva e pertanto V • S = v • s, dove S è l’area della
superficie libera del recipiente che ha raggio R e s è l’area del forellino che ha raggio r. Pertanto
V• πR2 = v • πr2 , (r/R)2 =V/v , e quindi r/R = 10-2 , pertanto r=1 cm.
b) Applicando il teorma di Bernoulli a due punti situati rispettivamente sulla superficie libera
dell’acqua nel recipiente e nel forellino , si ha :
p atmo + ½ ρ V2 + ρ g H = p atmo + ½ ρ v2 + ρg h , dove H è l’altezza dell’acqua nel recipiente, h
quella del forellino e ρ è la densità dell’acqua
Poichè V << v si ricava : v = √2 g ( H-h) =5.4 m/s
Soluzione Esercizio 3
a) Le temperature degli stati A, B e C possono essere ricavate applicando
l’equazione di stato dei gas perfetti.
p
pV = nRT
sapendo che:
5
2
−3
3
pA= 1×10 N/m , VA= 10 m ;
pB= 2 x105 N/m2, VB= 10−3 m3;
pC= 1 x105 N/m2, VC= 2x10−3 m3.
2pA
B
pA
A
VA
C
2VA
V
TA = pAVA/nR
= (1×105 N/m2) (10−3 m3) / (1 moli ×8.31 J/K mole) = 12.03 K
TB = pBVB/nR =2 pAVA/nR = 2TA = 24.06 K
TC = pCVC/nR = 2 pAVA/nR = 2TA = 24.06 K
b) Trasformazione A → B:
Trasformazione B→ C:
Trasformazione C→ A:
W=0
Q = ncv ∆T = 3/2 R (TB-TA) = 3/2 R TA = 149.95 J
∆Eint = Q = 149.95 J
∆Eint = 0 (dato che TB = TC)
Q = W = (pB + pA) x (VB-VA)/2 = 3pA VA/2
= 3/2 105 Pa 10-3 m3 = 150 J
Q = ncp∆T = 5/2 R (TA-TC)= - 5/2 R TA = -249.92 J
W = pA (VA-VB) = -100 J
∆Eint = Q – W = -149.92 J
La variazione di energia interna per l’intero ciclo è nulla ed il calore Qciclo scambiato è pari al lavoro
Wciclo svolto dal gas (corrispondente all’area del tirangolo ABC):
Wciclo = Qciclo = (2VA-VA) x (2pA-pA)/2 = pAVA/2 = 105 Pa x 10-3 m3 /2 = 50 J
Soluzione Esercizio 4
a) La lamina piana, infinitamente estesa, produce un campo elettrico perpendicolare alla lamina, con
verso uscente e di intensità costante, pari a:
E=
2 10 -9 C/m 2
σ
=
= 0.113 × 10 3 N / C = 113 N / C
2ε 0 2 × 8.8510 -12 C 2 /Nm 2
a) La carica positiva Q attaccata alla molla tenderà ad essere allontanata dalla lamina, cosicché
all’equilibrio si avrà:
r
r
Fmolla + Fel = 0
− kx + QE = 0
Q = kx / E = (1000 N / m × 10 − 2 m) /(113N / C ) = 8.85 × 10 − 2 C