Testo e soluzione

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
Prova scritta di FISICA – 30 gennaio 2012
1) Un corpo di massa m = 1 kg e velocità iniziale v = 5 m/s si muove su un piano orizzontale scabro, con
coefficiente di attrito dinamico µ = 0.1. Dopo avere percorso una distanza d = 10 m il corpo urta in modo
completamente anelastico contro un corpo di massa M = 2 kg, fermo e posto sul bordo di un gradino di
altezza h = 2 m, come mostrato in figura.
Calcolare:
a) la velocità del corpo m immediatamente
prima dell’urto;
b) la velocità del corpo (m+M) al momento
dell’impatto con il suolo.
2) Un cubo di lato L = 20 cm, di materiale con densità
ρ C = 0.5 × 103 kg/m3, è mantenuto completamente immerso
in acqua, a profondità H = 2 m, mediante una fune (vedi figura).
Determinare:
a) La tensione T della fune;
b) La velocità con cui il corpo arriva in superficie,
dopo che la fune è stata tagliata.
3) Due lamine piane infinite e parallele , sono elettricamente cariche con densità di carica positiva, di valore
assoluto pari a σ = 2 10-6 C/m2. La prima lamina ( L1) è posta lungo l’asse y di un sistema d’assi (x,y) , la
seconda (L2) passa per il punto A di coordinate ( 1m, 0) .
a) Determinare modulo direzione e verso del campo elettrico nelle regioni interne ed esterne alle lamine e la
forza esercitata su una carica puntiforme positiva q = 10-8 C, posta nel punto B di coordinate (2 m, 0 )
b) Determinare il lavoro svolto dalla forza elettrostatica per spostare la carica q dal punto B al punto C, di
coordinate (3m, 1m).
[Nota:
ε 0 = 8.85 10-12 C2/Nm2 ]
4) Una quantita` pari a n=1 mole di gas perfetto monoatomico, che occupa un volume VA= 2 litri alla
pressione pA= 4.052 105 N/m2 , compie un ciclo termodinamico reversibile composto dalle seguenti
trasformazioni: AB espansione isobara fino ad un volume VB = 2 VA, BC trasformazione in cui la pressione
decresce linearmente all’aumentare del volume del gas con pC = 1/2 pA e VC = 3 VA , CD compressione
isobara e DA compressione isoterma che riporta il gas alle condizioni iniziali.
a) Si disegni il ciclo sul piano V- p e si calcolino le coordinate termodinamiche dei punti A, B, C, D ed il
lavoro compiuto dal gas nelle singole trasformazioni e nell’intero ciclo;
b) Si calcoli la variazione di energia interna del gas quando passa dallo stato A allo stato C e quella
relativa all’intero ciclo .
[Nota: R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole ]
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI. SOSTITUIRE I
VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti
alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), qinf.fisica.unimi.it (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
a) Il moto del corpo m sul piano orizzontale è uniformemente decelerato, data la presenza della
forza di attrito Fd diretta in verso opposto al moto e di modulo costante pari a:
La decelerazione a di cui risente il corpo è quindi data da:
La velocità vf dopo un tratto d è quindi data da:
b) Dopo l’urto completamente anelastico i corpi m ed M si muovono orizzontalmente ed uniti,
con una velocità V data dalla legge della conservazione della quantità di moto:
Applicando ora il principio di conservazione dell’energia meccanica, è possibile ricavare la
velocità Vf del corpo (m+M) nell’istante in cui tocca il suolo:
SOLUZIONE ESERCIZIO 2
a) Il cubo è soggetto alla Spinta di Archimede, alla forza Peso e alla Tensione della fune ed è
in condizione di equilibrio. Pertanto , tenendo conto del verso delle forze agenti , si ha :
SA – P– T = 0
dove SA , P, e T sono i moduli rispettivamente della Spinta di Archimede, della forza Peso e
della Tensione della fune .
Si ricava T:
T = SA – P = V g (ρH2O – ρC )
dove V è il volume del cubo, ρH2O e ρC sono rispettivamente la densità dell’acqua e del
cubo.
Sostituendo i valori numerici (V = 8 10 -3 m 3, ρH2O = 103 kg / m3 ) si ottiene T = 39.2 N
b) Quando la fune viene tagliata il cubo è soggetto ad una forza risultante F di modulo uguale a
quello della Tensione, diretta lungo la verticale, verso l’alto .
Quando il cubo raggiunge la superficie dell’acqua , senza emergere, ha percorso nell’acqua
un tratto D = 1.9 m. Per il teorema Lavoro - Variazione Energia Cinetica , il Lavoro
compiuto dalla Forza risultante uguaglia la variazione dell’energia cinetica in questo tratto e
pertanto :
L = F D = ½ m v2 dove v è la velocità finale ( quella iniziale è nulla ) .
Si ricava v :
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) Il campo elettrico prodotto da una distribuzione piana infinita, uniformemente carica, è
costante, perpendicolare alla superficie della lamina, con verso uscente se la lamina è carica
positivamente. Il modulo del campo vale: E = σ/2ε0.
Da ciò segue che per due lamine parallele, infinitamente estese ed uniformemente cariche con
segno positivo e densità uguali:
E=0
nella regione interna alle lamine;
E = σ/ε0 (con verso uscente dalle lamine), nelle regioni esterne.
Nel caso in esame:
E = σ/ε0 ( i ) = 0.23 106 N/C ( i ) nei punti alla destra di L2 , E = 0.23 106 N/C (- i ) in
quelli alla sinistra di L1. ( i è il versore dell’asse x)
La forza esercitata sulla carica q che si trova nel punto B è diretta perpendicolarmente alle
lamine, con verso uscente dalla lamina L2 e ha modulo F = qE. E’ pertanto:
F = qE( i ) = 0.23 10-2 N ( i )
b) Il lavoro fatto dalla forza elettrostatica (costante ) per spostare la carica q da B a C è
F BH , dove H è la proiezione di C sull’asse x e vale quindi 0.23 10-2 J.
SOLUZIONE ESERCIZIO 4
a)
p
B
A
D
C
Stato A : secondo la legge dei gas perfetti si ha TA = pA VA / n R = 97.56 K, pA = 4.052 105 N/m2 e VA
= 2 10 -3 m 3 .
Stato B: pB = pA = 4.052 105 N/m2 ; VB = 2 VA = 4 10 -3 m 3;
Stato C: pC = ½ pA = 2.026 105 N/m2 ; VC = 3 VA = 6 10 -3 m 3;
146.28 K.
TB = pB VB / n R = 2 TA = 195.04 K
TC = ½ pA (3 VA) / nR = 3/2 TA =
Stato D : TD = TA = 97.56 K, pD = pC = 1/2 pA = 2.026 105 N/m2 ; poiché pD VD = pA VA , si ha VD =
2 VA = 4 10 -3 m 3
Inoltre
LAB = pA (VB - VA) = pA (2VA - VA )= pA VA = nR TA = 810.2 J
LBC = ½( pB + pC ) (VC - VB) = 607.6 J
LCD = pC (VD - VC) = - 405.1 J
LDA= nR TA ln (VA / VD ) = - 561.6 J e dunque LCICLO = 451.7 J
b)
ΔEAC = ncv (TC - TA) = 607.6 J ; ΔECICLO = 0 J