Lavoro di una forza

Lavoro di una forza
Š Il lavoro di una forza è definito come il prodotto
scalare della forza F per lo spostamento ∆r.
Š Il lavoro è una grandezza scalare
Š Se lo spostamento è perpendicolare alla forza il
lavoro è nullo…
Š Se il lavoro è negativo, si dice che il lavoro è fatto
contro la forza
G
G
L = F ⋅ ∆r = F ∆r cosθ
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2
.
Š L’unità di misura del lavoro è il Joule
[L]=[F][∆r]=N⋅m=Kg⋅ m2/s2
Š Se lo spostamento non è rettilineo e/o la
forza non è costante lungo il moto, si può
lavorare in termini di infinitesimi (in questo
caso lo spostamento può essere considerato
rettilineo e la forza costante) e calcolare il
lavoro tramite un integrale:
G
L = ∫ F ⋅ dr
B
A
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Forze conservative e forze non conservative
1
B
L = F × ds
A
B
3
A
se L1 ≠ L2 ≠ L3 forza non conservativa
2
se L1 = L2 = L3 forza conservativa
se le forze sono conservative il lavoro lungo un
percorso chiuso è nullo
LAA = L1 + (-L2) = 0
Energia Potenziale
U ( x, y , z )
LAB = U ( x A , y A , z A ) − U ( xB , y B , z B ) = U A − U B
∆U = U B − U A = − L AB
[U] =
U(x,y,z) è definita a meno di
una costante additiva
L AB = U A − U B
se UB = 0
J (S.I)
erg (C.G.S)
[ML2T-2]
C
A
LAB = UA
Se prendiamo C come posizione di riferimento
LAB = LAC + LCB = UA –UC + UC – UB = UA – UB
B
B posizione di riferimento
LAC = UA – UC
LCB = UC – UB
L’energia potenziale in un punto è il lavoro svolto dalle forze del campo
per spostare il corpo da quel punto alla posizione di riferimento.
esempio: il campo gravitazionale è conservativo
L AB = P × h = mgh
A
O
d
c
h
L AB = L AC + LCB
P = mg
L AC = P × d = mg ⋅ senα ⋅ d = mgh
LCB = 0
L AB = mgh
b
a
y
B
∆U = − mgh
energia potenziale
gravitazionale
B
∆U = − L = − mgdy = − mg∆y
A
α
C
esempio: il campo dovuto all’azione di una
forza elastica è conservativo
(
1
L = k xi2 − x 2f
2
)
se xi = xf (ciclo) L = 0
F = − kx
Fel è conservativa
1
∆U = − L = k ( x 2f − xi2 )
2
se xi = 0
1 2
U ( x ) = kx
2
energia potenziale elastica
l’energia è la capacità di compiere un lavoro
L’Energia Cinetica
Š Supponiamo di avere un corpo di massa m che si muove con
velocità v1; applichiamo a questo corpo una forza
v2 G
v2
v2
v2
G
G
G
G
G G
dp
dr
L = ∫ F ⋅ dr = ∫ ⋅ dr = ∫ dp ⋅ = ∫ dp ⋅ v = m ∫ dv ⋅ v
dt
dt v1
v1
v1
v1
v1
v2
v2
v2
1 2
1 2 1 2
= m ∫ vdv = mv
= mv2 − mv1 = K 2 − K1
2
2
2
v1
v1
Š Si definisce Energia Cinetica K=½mv2 del Corpo quella
quantità, che dipende solo dalla massa del corpo e dalla sua
velocità, associata allo stato di moto del corpo.
Š Se la velocità aumenta, aumenta anche la sua energia
cinetica. Per un corpo fermo l’energia cinetica è nulla
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Principio di conservazione dell’energia meccanica
ipotesi: campo conservativo, sistema isolato
L = U i − U f = − ∆U
U i − U f = K f − Ki
Ki + U i = K f + U f
1 2 1 2
L = mv f − mvi = ∆K
2
2
E = energia meccanica totale
K +U = E
in un sistema isolato in cui agiscano solo forze
conservative l’energia meccanica totale si conserva
esempio: moto di un grave
se U(yi) = 0 e vf = 0
1 2
1 2
mvi + mgyi = mv f + mgy f
2
2
1 2
mvi = mgy f
2
vi2
yf =
2g
esempio: sistema massa molla
1 2 1 2 1 2 1 2
mvi + kxi = mv f + kx f
2
2
2
2
se U(xi) = 0 e vf = 0
1 2 1 2
mvi = kx f
2
2
2
mv
x 2f = i
k
Il lavoro della forza elastica
Consideriamo una forza elastica agente in una
dimensione.
F=-kx
Allora
L = xi∫xf – k x dx
Si ottiene:
L =– ½k xf2 + ½k xi2
Il lavoro dipende solo dalle posizioni iniziali e
finali del punto materiale. E’ positivo se la
posizione iniziale è maggiore di quella finale e
negativo se la posizione finale è maggiore di quella
iniziale.
Il lavoro della forza di attrito
Consideriamo il caso dell’azione della forza di attrito
dinamica su un corpo in moto. La forza è sempre
opposta allo spostamento. Il lavoro è dato da:
L = si∫sf – μd N ds
Se la componente normale della reazione vincolare è
costante si ottiene:
L = – μd N si∫sf ds = – μd N Δs
Il lavoro è sempre lavoro resistente e dipende dalla
traiettoria effettiva del punto materiale. A parità
di μd ed N il lavoro dipende dal percorso e non è
esprimibile come differenza dei valori di una
funzione nei due punti di partenza ed arrivo.
Cambiamenti di riferimento
Se il moto è osservato da due sistemi di riferimento inerziale
diversi, lo spostamento e dunque il lavoro è diverso.
Il lavoro dipende dal riferimento in cui è misurato.
Se abbiamo che:
s = oo’ + s’ e v = v’ + v0
Allora nei due riferimenti:
L = ∫ F• ds ≠ L’ = ∫ F• ds’
Ma osserviamo che per nei due riferimenti vale il teorema
dell’energia cinetica :
L = ∫ F• ds = ½m v2f - ½m v2i
e
L’ = ∫ F• ds’ = ½m v ’2f - ½m v ’2i
E’ la legge fisica ad essere invariante per cambiamenti di
sistemi di riferimenti inerziali , non i valori delle singole
grandezze.
Lavoro ed energia
1. Forze conservative
2. Energia potenziale
3. Conservazione dell’energia meccanica
4. Conservazione dell’energia nel moto del pendolo
5. Esempio: energia potenziale gravitazionale
6. Esempio: energia potenziale elastica
8. Lavoro delle forze non conservative
9. Potenza
Forze Conservative
Le forze per le quali il lavoro
eseguito
non
dipende
dal
percorso sono chiamate forze
conservative.
Per il calcolo del lavoro eseguito
possiamo utilizzare qualsiasi
percorso colleghi il punto iniziale
a con quello finale b.
L = a∫b (F•ds)1 = a∫b (F•ds)2 = a∫b F•ds
Il lavoro è esprimibile come differenza dei valori di una funzione
nei punti finale ed iniziale della traiettoria.
Nel caso in cui si invertano il punto iniziale e finale, ovvero si
inverte la direzione di percorrenza della traiettoria, cambia solo
il segno del lavoro eseguito.
Un qualunque percorso chiuso può essere pensato come la somma
di un percorso di andata tra due punti qualunque della traiettoria
ed un percorso di ritorno tra gli stessi punti.
Forze Conservative
Il lavoro compiuto su una
traiettoria chiusa da una
forza conservativa è dato da:
L = a∫b (F•ds)1 + b∫a (F•ds)2 =
= a∫b (F•ds)1 - a∫b (F•ds)2 = 0
Il lavoro eseguito da una forza conservativa lungo un
qualunque percorso chiuso è nullo.
Questa proprietà può essere considerata una
definizione equivalente di forza conservativa a quella
già introdotta.
La funzione delle coordinate tramite cui è possibile
esprimere il lavoro di una forza conservativa si
definisce
Energia potenziale
2. (a) The change in kinetic energy for the meteorite would be
(
)(
1
1
∆K = K f − K i = − K i = − mi vi2 = − 4 × 106 kg 15 × 103 m/s
2
2
)
2
= −5 × 1014 J ,
or | ∆K |= 5 × 1014 J . The negative sign indicates that kinetic energy is lost.
(b) The energy loss in units of megatons of TNT would be
§ 1 megaton TNT ·
−∆K = ( 5 × 1014 J ) ¨
¸ = 0.1megaton TNT.
15
© 4.2 × 10 J ¹
(c) The number of bombs N that the meteorite impact would correspond to is found by
noting that megaton = 1000 kilotons and setting up the ratio:
N=
0.1 × 1000 kiloton TNT
= 8.
13kiloton TNT
Il raggio del meteorite è stimato in circa 12 metri.
L'asteroide dello Yucatan di 65 milioni di anni fa ( diametro dell'ordine dei 10 Km) produsse una
quantità di energia pari a 100 milioni di megatons ossia 100.000 miliardi di tonnellate di tritolo!!!
Ancora sull’Energia Cinetica
Š Supponiamo di avere un corpo di massa 10 Kg che
si muove di moto rettilineo uniforme. Sia la sua
velocità 10m/s. Secondo quanto detto prima posso
calcolare l’energia cinetica di tale corpo con la
formula K=½mv2=500J
Š Il sistema di riferimento scelto è ovviamente
inerziale… decido di cambiare sistema di
riferimento e scelgo un sistema solidale con il corpo
(anche questo è inerziale!). Calcolo di nuovo
l’energia cinetica K=½mv2=0J (Il corpo è fermo in
questo sistema!)
Š Qual è il valore esatto e quale quello errato???
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7
Il concetto di energia…
Š … è un concetto estremamente articolato…
Š in genere è possibile quantificare un valore
assoluto di energia…
Š ma nella gran parte dei casi posso misurare
solo le differenze di energia…
Š L’energia cinetica è uno di questi casi…
Š Ci sono varie forme di energia, ma non
sempre è stato banale riconoscere una
particolare grandezza come una particolare
forma di energia (il calore ad esempio)
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Lavoro di una forza costante
Consideriamo una forza costante F che agisca su un punto
materiale e supponiamo per semplicità che il moto avvenga
nella direzione della forza. Sia s lo spostamento.
Definiamo Lavoro della forza il prodotto:
L=Fs
Più in generale se il moto avviene in una direzione diversa
rispetto alla forza:
L = F• s = F s cos θ
Dove θ è l’angolo tra la direzione della forza e quella dello
spostamento.
Se θ<π/2 la forza ha una componente positiva nella
direzione del moto allora L>0 ed il lavoro e’ detto lavoro
motore
Se π/2<θ<π la forza ha una componente negativa nella
direzione del moto allora L<0 ed e’ detto lavoro resistente.
Lavoro di una forza variabile
Se la forza agente non è costante ma la traiettoria è lineare
allora possiamo scomporre la traiettoria stessa in segmenti
piccoli durante i quali si può considerare la forza quasi
costante.
Il lavoro effettuato dalla forza è dato dalla somma dei
lavori eseguiti nei singoli segmenti di traiettoria:
L = F1 ds1 + F2 ds2 + F3 ds3 + F4 ds4 + F5 ds5 + F6 ds6 + ….
Oppure :
L = ∑n=1N Fidsi
Se le dimensioni degli intervalli tendono a zero il numero
degli intervalli cresce fino ad infinito e la somma tende
all’integrale:
L = s1∫s2 F ds
Lavoro in tre dimensioni
Se la forza agente non è costante e la
traiettoria non è rettilinea allora il lavoro è
dato dalla relazione più generale:
L = ∫ F• ds
Osserviamo che in ogni caso il lavoro è una
grandezza scalare e le sue dimensioni fisiche
sono: [M][L]2[T]2
L’unita’ di misura del lavoro è il Joule:
1 J = 1 Nm = 1 kg m2/s2
Il lavoro della forza peso
Consideriamo un corpo sottoposto alla forza peso:
F = - mg k
Allora qualunque sia la traiettoria nello spazio:
F• ds = -mg dz
dove z è la quota verticale del punto materiale.
Si ottiene che :
L = zi∫zf -mg dz = -mg zi∫zf dz = – mgzf + mgzi
Il lavoro dipende solo dalle quote iniziali e finali del
punto materiale. E’ positivo se la quota iniziale è
maggiore di quella finale e negativo se la quota
finale è maggiore di quella iniziale.
LAVORO E ENERGIA
ENERGIA POTENZIALE di GRAVITA'
in generale :
ENERGIA POTENZIALE
della FORZA PESO
U=mgh
dipende solo dall'altezza h rispetto al suolo
(coordinata z), non dalle coordinate orizzontali x,y
LAVORO E ENERGIA13
La Potenza
Š E’ la misura della capacità di compiere un
lavoro nell’unità di tempo.
Š Anche questa è una grandezza scalare e viene
misurata in Watt (W)
Š Un Watt è la potenza erogata se si compie il
lavoro di un Joule in un secondo
[W]=[Lt-1]=Js-1=kg m2 s-3
Potenza Media Potenza Istantanea
L
dL
P=
P=
∆t
dt
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Forze Conservative
Una forza è conservativa quando il lavoro compiuto per spostare
un punto materiale (corpo) da un punto A a un punto B non
dipende dalla traiettoria seguita ma solo dalla posizione di A e B
Š Calcoliamo il lavoro per andare da A a B
direttamente o passando per C
Š La forza di gravità è costante ovunque
Š Il Lavoro per il percorso A→C →B è mgh
„
„
Il Lavoro da A a C è mgh (dove h è l’altezza
del punto A rispetto al piano di riferimento),
infatti la forza e lo spostamento hanno la
stessa direzione
Il Lavoro da C a B è nullo infatti la forza e lo
spostamento sono perpendicolari
Š Il lavoro per il percorso A→B è ancora mgh
„
GA
P
infatti il prodotto scalare dello spostamento
obliquo per la forza peso è sempre mgh (se
non ci credete potete controllare da soli)
C
G
P
B
G
P
L’attrazione gravitazionale
(la forza peso) è una forza
conservativa
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La Forza Elastica
Š Supponiamo di avere una molla di costante K e un corpo di massa m e di operare
in assenza di attrito.
Š Scegliamo il sistema di riferimento unidimensionale con origine come nella
figura.
Š Calcoliamo quindi il lavoro necessario per muovere il corpo da x1 a x2
x2
G G x2
L = ∫ F ⋅ ds = ∫ F cos π dx = − ∫ kxdx
x2
x1
1 2
=− kx
2
x1
x2
x1
x1
1 2 1 2
= − kx2 + kx1
2
2
Š Si vede quindi che il risultato
ottenuto non dipende dalla traiettoria
ma solo dalla posizione iniziale e
finale (x1 e x2)
Š Anche la Forza Elastica è una forza
conservativa
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Una Forza non Conservativa: L’Attrito
Š Abbiamo visto che la forza elastica e gravitazionale sono forze
conservative…
Š L’attrito invece non è una forza conservativa, vediamo perché:
G
Fa
G
Fa
G
F
A
G
F
C G
G
Fa
F
B
Š Supponiamo di avere un oggetto fermo in un
piano nel punto A e che vogliamo muoverlo
fino a B; calcoliamo quindi il lavoro della
forza di attrito dinamica per andare
direttamente da A a B o passando per C
Š Il Lavoro per il percorso A→C →B è dato
da L=-Fa AC-Fa CB = -Fa(AC+CB)
Š Il Lavoro per il percorso A→B è dato da
L=-FaAB
Š Il Lavoro in questo caso dipende dal
percorso…
Š L’Attrito non è una forza conservativa
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Esempio Pratico
Š Un ascensore sale dal Piano Terra all’ultimo Piano: per fare
questo devo applicare una forza esterna, il lavoro che la forza
esterna fa è positivo ma…
„
„
„
„
„
il sistema è l’ascensore; la forza conservativa è la forza di gravità
l’ascensore sale. L’energia potenziale dell’ascensore aumenta; ∆W è
positivo e il lavoro fatto dalla forza gravitazionale è negativo
l’ascensore scende. L’energia potenziale diminuisce; ∆W è negativo, non
ho bisogno di nessuna forza esterna. Il lavoro viene fatto dalla forza di
gravità ed è positivo.
Queste 2 quantità (in assenza di attrito) sono uguali e di segno opposto: la
somma è nulla
Il lavoro che l’ascensore fornisce quando scende è esattamente uguale al
lavoro svolto dalla forza esterna durante la fase di salita.
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Review: Forza Costante
Il lavoro, W, di una forza costante F
Che agisce attraverso uno
spostamento r è:
W = F r = F r cos() = Fr r
F

Fr
r
Teorema del lavoro e dell’energia cinetica:
{Lavoro netto fatto da una forza su un oggetto}
=
{variazione dell’energia cinetica dell’oggetto}
WF = K = 1/2mv22 - 1/2mv12
v1
v2
F
m
x
WF = Fx
E se le forze che agiscono sono più di una?
Supponiamo FNET = F1 + F2 e lo
spostamento sia r.
Il lavoro fatto da ciascuna forza è:
W1 = F1 r
W2 = F2  r
F1
FNET
WTOT = W1 + W2
= F1 r + F2 r
= (F1 + F2 ) r
WTOT = FTOT r
E’ la forza totale che agisce!!
r
F2
Una semplice applicazione:
Il lavoro fatto dalla gravità su di un oggetto che
cade
Qual’è la velocità di un oggetto dopo che è caduto da
un’altezza H, assumendo che esso sia partito da fermo?
Wg = F r = mg r cos(0) = mgH
v0 = 0
r
Wg = mgH
mg
j
H
Teorema lavoro/energia cinetica:
Wg = mgH = 1/2mv2
v  2 gH
v
Lavoro fatto dalla gravità:
Wg = F r = mg r cos 
= -mg y
m
mg
Wg = -mg y
r 
j
-y
Dipende solo da y !
m
Lavoro fatto dalla gravità...
W NET = W1 + W2 + . . .+ Wn
= F r 1+ F r2 + . . . + F rn
= F (r1 + r 2+ . . .+ rn)
= F r
= F y
m
r1
y
r3
Wg = -mg y
Dipende solo da y,
non dal cammino seguito!
rn
r
mg
r2
j
Tre ogetti di massa m partono da un altezza h con velocità 0.
Uno cade giù direttamente, l’altro scivola giù su un piano
inclinato privo d’attrito, l’ultimo oscilla all’estremo di un
pendolo. Qual’è la ralazione fra le loro velocità quando
arrivano a quota zero?
v=0
v=0
v=0
H
vf
Caduta libera
(a) Vf > Vi > Vp
vi
Piano inclinato
senza attrito
(b) Vf > Vp > Vi
vp
Pendolo
(c) Vf = Vp = Vi
v=0
v=0
v=0
H
vf
vp
vi
Caduta libera
Piano inclinato
senza attrito
Pendolo
Soltanto la gravità compirà lavoro: Wg = mgH = 1/2 mv22 - 1/2 mv12 = 1/2 mv22
v f  v i  v p  2 gH
Non dipende dal percorso !!
Alzate un libro con la vostra mano:
Qual’è il lavoro fatto sul libro??
Prima calcoliamo il lavoro fatto dalla gravità:
Wg = mg r = -mg r
Calcoliamo ora il lavoro fatto
dalla mano:
WHAND = FHAND r = FHAND r
r
FHAND
v = const
a=0
mg
Esempio: Alzate un libro...
Wg
= -mg r
WHAND = FHAND r
r
WNET
FHAND
v = const
a=0
= WHAND + Wg
= FHAND r - mg r
= (FHAND - mg) r
mg
= 0 poichè ΔK = 0 (v = const)
Così WTOT = 0!!
Esempio: Alzate un libro...
Il teorema del lavoro e dell’energia cinetica dice che: W = K
{Lavoro netto fatto da una forza su un oggetto}
=
{variazione dell’energia cinetica dell’oggetto}
In questo caso, v è costante così K = 0
e quindi W deve essere 0,
come abbiamo trovato.
FHAND
r
v = const
a=0
mg
Lavoro fatto da una forza variabile : (1D)
Quando la forza era costante
scrivevamo W = F x
Che è l’area sotto F :
F
Wg
x
x
Per una forza variabile, calcoliamo l’area integrando
dW = F(x) dx.
F(x)
x2
W   F ( x )dx
x1
x1
dx
x2
Teorema lavoro/energia cinetica per una forza
variabile
x2
W   F dx
x1
x2
m
x1
v2
dv dx
dt
mv
v1
F  ma  m dv
dt
dv dx dv
dv
=
= v dx
dt
dt dx
dv
dx
dx
v2
 m  v dv
v1
1
1
1
 m (v22 -v12 )  m v22 - mv12  ΔKE
2
2
2