Integrale definito
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Introduzione: il problema delle aree
Il problema delle aree è uno dei tre grandi problemi1 che ci sono stati tramandati dagli
antichi, che lo definivano come il problema della quadratura del cerchio: trovare, cioè, il
lato di un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio dato.
In pratica si trattava di trovare l'area di una regione di piano compresa all'interno di una
curva; fra gli antichi il matematico che più si avvicinò alla soluzione fu Archimede di
Siracusa, con il metodo da lui inventato per il calcolo dell'area del cerchio o del segmento
di parabola, ma le sue idee geniali non trovarono seguito. Solo nel XVII secolo i
matematici trovarono altri metodi ingegnosi per calcolare l'area sottesa al grafico di
semplici funzioni , fino a quando Newton, Leibniz, Torricelli e Barrow scoprirono,
indipendentemente, il teorema fondamentale del calcolo integrale , che riconduce il calcolo
delle aree alla ricerca di una primitiva di una funzione.
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L'integrale definito
Data, dunque, una funzione di una variabile f(x), continua in un intervallo [a,b], si vuole
calcolare l'area compresa tra la funzione stessa e l'asse
delle x (il trapezoide in figura).
f(x)
L'approccio consiste nel suddividere l'insieme [a,b] in
n intervalli uguali e considerare i rettangoli aventi come
base questi intervalli e come altezza il valore della
funzione nel punto medio di ognuno di questi intervalli,
b
a
punto medio che chiameremo xi con l'indice i che va da
1 a n.
L'area totale di tutti i rettangoli sarà diversa dall'area del trapezoide, ma è facile
comprendere come, aumentando il numero di rettangoli, essa diventi un'approssimazione
sempre migliore dell'area sotto la curva. Al limite, quando il numero dei rettangoli tende
ad infinito, le due aree saranno uguali.
Cominciamo col calcolare l'area dei singoli rettangoli. Essi hanno, dunque, stessa base Δx;
l'altezza, invece, è diversa per ognuno dei rettangoli e, precisamente, è il valore che la
funzione assume nel punto di mezzo xi dell'i-esimo intervallino. Le aree dei singoli
rettangoli, dunque, si possono scrivere:
1 Gli altri due problemi erano la trisezione di un angolo, cioè il metodo per dividere un angolo in tre parti uguali, e la duplicazione del
cubo, cioè come trovare il lato di un cubo tale che il suo volume sia doppio del volume di un cubo dato.
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primo rettangolo
f(x1) ·Δx
secondo rettangolo f(x2) ·Δx
terzo rettangolo
f(x3) ·Δx
..........
........
f(x2)
n-esimo rettangolo f(xn) ·Δx
a
X2
ΔX
b
Per ottenere l'area della figura formata da tutti i rettangoli sommiamo, dunque, le aree dei
singoli rettangoli. Utilizziamo, per scrivere la somma, il simbolo Σ di sommatoria con
l'indice i-esimo che scorre da 1 a n:
Somma delle aree di tutti i rettangoli =
n
∑ f xi ⋅ x
i=1
L'area così trovata è un'approssimazione dell'area sotto la curva, approssimazione tanto
migliore quanto maggiore sarà il numero dei rettangoli considerati, cioè quanto più
grande sarà n. Se consideriamo il limite per n => ∞ , i singoli rettangoli si ridurranno a dei
“segmenti” e la somma (infinita) delle aree di tutti i rettangoli sarà uguale proprio all'area
del trapezoide sotto la curva:
n
Area del trapezoide = lim ∑ f x i ⋅ x
n ∞ i=1
Il simbolo usato per indicare il limite che tende ad infinito di una sommatoria è quello di
una S medievale: ∫ , simbolo che abbiamo già visto usato per l'integrale indefinito. Inoltre,
quando n tende ad infinito, l'intervallino Δx tende a zero, cioè diventa il differenziale dx.
La relazione sopra si scrive, dunque:
Area del trapezoide =
b
∫a
f x dx
L'area così trovata si dice integrale definito (o integrale di Riemann) della funzione f(x)
nell'intervallo [a,b]. Notiamo che gli estremi dell'intervallo nel quale abbiamo integrato la
funzione (estremi di integrazione) si scrivono sotto e sopra il segno di integrale.
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Calcolo dell'integrale definito: teorema di Torricelli-Barrow
E' il teorema fondamentale del calcolo integrale, e permette di calcolare l'integrale
indefinito di una funzione semplicemente trovando una sua primitiva.
Data la funzione y=f (x), continua nell'intervallo [a, b] di R e detta F(x) una sua primitiva,
si ha:
b
∫a
f x dx= F b −F a
b
dove la scrittura F b−F a viene, di solito, indicata con il simbolo [ F x]a e,
quindi, si può scrivere:
b
∫a
f x dx=[F x] ba
Questo significa che, per determinare l'area compresa tra una funzione f(x) e l'asse delle x,
in un intervallo [a,b], si deve prima trovare una sua primitiva F(x) mediante l'operazione
di integrazione indefinita e, poi, calcolare la differenza tra i valori che tale primitiva
assume agli estremi dell'intervallo di integrazione.
Vediamo un semplice esempio:
calcolare l'area della regione di piano limitata dalla curva
y = -x2 + 4 e dai semiassi positivi delle x e delle y .
La prima cosa da fare è costruire la rappresentazione grafica
della curva (in questo caso una parabola), per evidenziare
l'area cercata. Poiché l'area sull'asse delle x va da 0 a 2,
dovremo calcolare l'integrale:
4
3
2
1
3
2
1
O
1
2
3
1
2
∫0 −x 24 dx
La primitiva di questa funzione si trova immediatamente calcolandone l'integrale
indefinito:
1
∫ −x 24 dx=− 3 x 34 x
e, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale:
[
∫0 −x 24 dx= − 13 x 34 x
2
]
2
1
1
8
16
=− ⋅2 34⋅2−− ⋅034⋅0=− 8=
3
3
3
3
0
quindi l'area vale 16/3 di unità quadrate del piano, cioè 5 quadratini di lato 1 più un terzo
di quadratino.
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Proprietà degli integrali definiti
Vediamo ora due proprietà tipiche degli integrali definiti:
•
Cambiare di verso l'intervallo equivale a cambiare di segno l'integrale:
b
∫a
•
a
f x dx=−∫b f x dx
Se c è un punto interno all'intervallo [a,b], allora si ha:
b
∫a
c
b
f x dx=∫a f x dx∫c f x dx
Naturalmente, oltre queste, valgono tutte le proprietà di linearità degli integrali indefiniti.
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Aree positive e aree negative
Vediamo, ora, un semplice problema: calcolare l'area della
zona di piano compresa fra la curva y= sin x e l'asse delle x ,
nell'intervallo [0, 2π].
1
Si deve calcolare, dunque:
O
2
∫0
sin x dx
2
1
ricordando che l'integrale indefinito di sin x è (- cos x), ed
applicando il teorema del calcolo integrale, si ha:
2
∫0
2
sin x dx =[−cos x ]0 =−cos 2−−cos 0=−1−−1=−11=0
Abbiamo trovato che l'area cercata vale zero! L'unica spiegazione è che l'integrale definito
calcoli come positive le aree sopra l'asse delle x e come negative le aree situate sotto l'asse
delle x. Dovremo trovare il modo, dunque, di rendere sempre positivi i valori delle aree:
lo faremo considerando con segno positivo gli integrali calcolati su aree sopra l'asse x e
con segno cambiato (negativo) gli integrali calcolati su aree sotto l'asse delle x.
Allora, considerando che da 0 a π l'area sottesa dalla curva è sopra l'asse x, mentre da π a
2π è sotto, per calcolare l'area cercata dovremo “spezzare” l'integrale definito in due parti,
la seconda delle quali va presa col segno cambiato:
2
∫0
2
sin x dx=∫0 sin x dx −∫ sin x dx
e, quindi, applicando la formula delle differenze:
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2
∫0
2
sin x dx =∫0 sin x dx−∫ sin x dx=[−cos x ]0 −[−cos x ]
2
da cui, svolgendo i calcoli:
2
∫0
sin x dx =[−cos −−cos 0]−[ −cos 2 −−cos ]=−2 cos cos 0cos 2=4
Dunque, la somma delle due aree, sopra e sotto l'asse x, equivale a 4 unità quadrate del
piano. Naturalmente, viste le caratteristiche della funzione seno, si poteva, più
semplicemente, calcolare l'integrale della funzione da 0 a π e poi moltiplicarlo per 2.
Riassumendo
Per calcolare l'integrale definito di una funzione f(x) in un intervallo [a,b] è necessario:
1. Costruire il grafico della funzione y = f(x) o, almeno, la parte comprendente
l'intervallo [a,b]
2. Controllare che l'area sia tutta sopra o tutta sotto l'asse delle x ; se l'area è in parte
sopra ed in parte sotto, trovare le coordinate dei punti di intersezione della
funzione con l'asse delle x e scomporre l'integrale in tanti integrali con il segno
appropriato
3. Calcolare la funzione primitiva F(x), mediante l'operazione di integrazione
indefinita
4. Applicare la formula delle differenze (attenzione ai calcoli e ai segni!).
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Calcolo dell'area compresa tra due curve
Abbiamo visto, dunque, che data una funzione f(x), continua e non negativa in [a, b], il
valore dell'integrale
b
∫a
f x dx rappresenta l'area del trapezoide ABNM, delimitato
dalla curva di equazione y= f(x), dall'asse x e dalle parallele AM e BN all'asse y.
Mediante l'integrale definito, però, si può anche calcolare l'area di una superficie piana
chiusa S, limitata da una curva continua. Indichiamo, infatti, con y = f1(x) l'equazione
dell'arco di curva MPN e con y = f2(x) l'equazione dell'arco di curva MQN. La superficie S è
la differenza dei trapezoidi AMPNB e AMQNB, le cui aree sono date, rispettivamente da:
b
∫a
f 1 x dx e
b
∫a
f 2 x dx
P
Dunque, l'area di S è data da:
S=∫a [ f 1 x − f 2 x]dx
N
S
b
M
Q
dove, la funzione f1(x) è definita sempre, in
A
B
ogni caso, come la curva che sta “sopra” e la
a
b
f2(x) quella che sta “sotto”. Si può
dimostrare, infine, che la formula data vale
anche se l'area S da calcolare sta un po' sopra e
un
po' sotto l'asse delle x, in modo tale che una parte dell'area risulta negativa. La formula
sopra tiene conto anche di questo e si può applicare identica anche nel caso di funzioni
non sempre positive.
Esempio
Calcolare l'area della regione di piano limitata dalle due
parabole di equazioni: y=x 2 −3 x2 e y=−x 2 x2
Dopo aver disegnato le parabole, osserviamo che hanno in
comune i due punti A(2, 0) e B(0, 2), che rappresentano
anche gli estremi di integrazione. Possiamo dunque
-1
scrivere:
3
B
2
1
A
O
-1
[
]
2
2
2
2 3
8
2
2
2
2
A=∫0 −x x2− x −3 x2dx=∫0 −2 x 4 x dx= − x 2 x =
3
3
0
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1
2
3
