Analisi per le applicazioni all’ingegneria
Programma d’esame
Docente del corso, prof. Andrea Laforgia
Cenni di logica matematica, uso dei quantificatori esistenziale e universale;
I numeri reali come campo ordinato e completo, senza dimostrazioni;
Il metodo di induzione e applicazioni;
Il concetto di funzione, le funzioni reali di variabile reale;
Proprietà principali dei polinomi e delle loro radici;
Limite di una funzione. Funzioni continue;
Teorema dell’unicità del limite con dimostrazione; ***OK***
Algebra dei limiti, senza dimostrazioni; ***OK****
Teorema del confronto, con dimostrazione;***la dimostrazione solo per le
successioni***
senx
lim
1
con dimostrazione;***OK***
x
0x
Continuità delle funzioni composte, senza dimostrazione; ***OK****
Limiti infiniti e all’infinito;
Asintoti, classificazione delle discontinuità;
Teorema della permanenza del segno, con dimostrazione; ***la dimostrazione è del
th. 3.16 p.122 Zanichelli***
Teorema di Bolzano Cauchy, senza dimostrazione;
Teorema dei valori intermedi, con dimostrazione; ****OK***
Teorema della limitatezza delle funzioni continue, senza dimostrazione;
Teorema di Weierstrass, con dimostrazione; ***ok****
La derivata di una funzione e algebra delle derivate;
Derivata di funzioni elementari;
Continuità delle funzioni derivabili, con dimostrazione; ***OK****
Derivata della funzione composta con dimostrazione;***senza dimostrazione***
Coefficiente angolare;
Derivata delle funzioni inverse;
Il differenziale e il simbolo “o piccolo”;
Teorema di Fermat, con dimostrazione; ***OK****
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Teorema di Rolle, senza dimostrazione;
Teorema di Lagrange, con dimostrazione;
Corollari del Teorema di Lagrange con dimostrazioni;
Proprietà geometriche delle funzioni e studio delle funzioni.
Teorema di l’Hopital, senza dimostrazione;
Definizione rigorosa dell’ integrale di Riemann;
Esempi espliciti di calcolo di somme integrali;
Esempi di funzioni non integrabili secondo Riemann;
Teorema della media con dimostrazione;
Teoremi fondamentali del calcolo integrale, con dimostrazioni;
Funzione logaritmo come funzione integrale;
Polinomi di Taylor;
Resto secondo Lagrange (dimostrazione solo per il primo ordine),
applicazioni ;
Irrazionalità di e, con dimostrazione;
Resto con l’”o piccolo” e calcolo dei limiti;
Successioni e serie numeriche;
Proprietà delle successioni senza dimostrazione;
Proprietà delle serie e criteri di convergenza, senza dimostrazione;
Criterio integrale di Cauchy, con dimostrazione;
Serie assolutamente e semplicemente convergenti;
Applicazioni;
Numeri complessi: notazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale.
Formula di de Moivre, con dimostrazione.
Radici ennesime di un numero complesso.
P.S. Gli esempi
devono essere discussi dettagliatamente.
con
