UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA

UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA
Corso di Laurea in Matematica
Corso di PS2-Probabilità 2
P.Baldi
1◦ appello, 23 giugno 2009
Esercizio 1 Per 0 ≤ α ≤
matrice di transizione
1
2
consideriamo la catena di Markov su {1, 2, 3} associata alla
3!
1
0
4
4
α 1 − 2α α
1
3
0
4
4
a) Mostrare che, se 0 < α ≤ 21 , la catena è irriducibile e regolare.
b) Supponiamo α = 41 . Calcolare la distribuzione stazionaria della catena. La catena
è reversibile ?
c) Supponiamo α = 0. Determinare gli stati ricorrenti e quelli transitori.
d) Cosa si può dire di limn→∞ P1 (Xn = 1) nei casi b) e c) rispettivamente ? (P1 è la
probabilità partendo da X0 = 1).
Esercizio 2 Sia (X, Y ) una coppia di v.a. aventi distribuzione congiunta:
(
1
se 0 < x < y < 1
c
f (x, y) =
y
0
altrimenti
a) Quanto vale la costante di normalizzazione c ?
b) Qual è la densità di X ? E quella di Y ? X e Y sono indipendenti ?
c) Calcolare P(Y > 2X).
Esercizio 3 Le v.a. X1 , X2 hanno legge congiunta gaussiana di media 0 e matrice di
covarianza
7 −1
C=
−1 4
a) Il vettore aleatorio X = (X1 , X2 ) ha densità congiunta ?
b) Quali delle seguenti coppie di v.a. sono indipendenti ?
b1) X1 + X2 e X1 − X2 .
b2) X1 + X2 e X1 − 2X2 .
c) Mostrare che le v.a. Y = X1 + X2 e Z = X1 − X2 hanno densità congiunta e
calcolarla.
d) Il vettore aleatorio W = (X1 , X2 , X1 +X2 ) ha densità congiunta ? Esistono α, β ∈ R
tale che W = (αX1 , βX2 , βX1 + αX2 ) abbia densità ?
Esercizio 4 In un test a risposta multipla vengono poste 30 domande, ciascuna con 4 possibili
risposte, una sola delle quali è quella giusta. Per il superamento del test si richiede di
rispondere correttamente ad almeno 16 domande.
a) Uno studente non sa niente e risponde a caso. Calcolare, usando l’approssimazione
normale, la probabilità che superi il test.
b) Uno studente leggermente meglio preparato è in grado, per ogni domanda, di escludere una delle risposte proposte e decidere di rispondere a caso scegliendo una delle tre
risposte rimaste (tra le quali c’è quella giusta). Sempre usando l’approssimazione normale,
qual è ora la probabilità che superi il test ?
c) Supponiamo che 300 studenti si presentino, tutti quanti impreparati, per cui ciascuno
risponde correttamente ad ogni quesito con probabilità 41 . Calcolare, con un metodo di vostra
scelta, la probabilità che almeno uno dei partecipanti prenda 0. Giustificare il metodo
utilizzato.
Soluzioni
Esercizio 1. a) Si vede subito che gli stati 1 e 3 comunicano con gli altri due in un passo solo.
Se α > 0, allora 2 comunica sia con 3 che con 1 e la catena è irriducibile. Se 0 < α < 21
allora c’è un elemento > 0 sulla diagonale e quindi la catena, essendo irriducibile, è anche
regolare. Se α = 21 , allora bisogna provare a fare le potenze della matrice di transizione.
Usando le stelline,
∗
0
∗
0
∗
∗
P2 =
∗
∗
0
!
0
∗
∗
∗
0
∗
∗
∗
0
!
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
!
e dunque P è regolare.
b) Se α = 41 , allora la matrice è bistocastica e la distribuzione stazionaria è l’uniforme
π = ( 13 , 13 , 13 ). La reversibilità è immediata, dato che P è simmetrica.
c) Se α = 0, allora lo stato 2 è assorbente e dunque ricorrente. Gli stati 1 e 3 comunicano
con 2 che non comunica con loro. Sono quindi transitori.
d) Se α > 0, allora, poiché la catena è regolare, la legge al tempo n converge alla
distribuzione stazionaria. In particolare, se α = 41 , limn→∞ P1 (Xn = 1) = π1 = 13 . Se
invece α = 0, sappiamo che, partendo da 1 la catena in un tempo finito giunge nello stato
assorbente 2 per poi restarci. Dunque limn→∞ P1 (Xn = 1) = 0.
Esercizio 2. a) deve essere
1=
Z
+∞
−∞
dy
Z
+∞
f (x, y) dxdy
−∞
ma, ricordando che f è non nulla tranne che se 0 < x < y < 1,
Z
+∞
−∞
dy
Z
+∞
−∞
f (x, y) dxdy = c
Z
1
0
1
dy
y
Z
y
0
dx = c
dunque c = 1.
b) Si ha, per 0 < x < 1,
fX (x) =
Z
+∞
−∞
f (x, y) dy =
Z
1
x
1
dy = − log x
y
Mentre, sempre per 0 < y < 1,
fY (y) =
Z
+∞
−∞
f (x, y) dx =
Z
y
0
1
dx = 1
y
e quindi Y è uniforme su [0, 1]. Chiaramente X e Y non sono indipendenti, dato che l’insieme
0 < y < x < 1 (la porzione di quadrato che sta sotto la diagonale) ha probabilità 0 per la
densità congiunta mentre il prodotto delle densità marginali ivi è strettamente positivo.
b) La probabilità P(Y > 2X) è uguale all’integrale della densità congiunta nel triangolo
indicato con l’ombreggiatura più intensa nella Figura 1. Dunque
P(Y > 2X) =
Z
1
1
dy
y
0
Z
y
2
0
dx =
1
2
Si sarebbe naturalmente anche potuto integrare prima in dy e poi in dx:
P(Y > 2X) =
Z
1
2
0
Z 1
Z 1
2
2
1
1
dy =
dx
− log 2x dx = − log 2 −
log x dx =
2
2x y
0
0
1/2
1
1
= − log 2 − x log x − x =
0
2
2
Z
1
ma il calcolo risulta più complicato.
1
................................................................................................................................................................................
........................................................................ . . . . . . . . . . . . . ...
.................................................... . . . . . .
...
................................................. . . . . . .
...
............................................... . . . . . .
...
.............................................. . . . . . . . . . . .
...
........................................... . . . . .
......................................... . . . . .
.....
..................................... . . . . .
.................................... . . . .
....
.................................. . . . . . . . .
...
....................................... . . . .
...
...................... . . .
...
................................... . . .
........................ . . . . . .
.....
..................... . .
.................... . .
....
................. . .
...
............... . . .
...
............. .
........... .
...
........ .
..
.... .
..............................................................................................
0
1
2
1
Figura 1 .
Esercizio 3. a) Si richiede solo di dire se il vettore X ha densità congiunta. Dato che esso
ha legge congiunta gaussiana, sappiamo che questo accade se e solo se esso ha matrice di
covarianza invertibile. Poiché
det C = 28 + 1 = 29 6= 0 ,
X ha densità congiunta.
b) Le coppie di v.a. considerate hanno tutte una legge congiunta gaussiana, essendo
funzioni lineari di un vettore gaussiano. Per mostrare l’indipendenza basterà dunque verificare che sono a due a due non correlate. Abbiamo
Cov(X1 + X2 , X1 − X2 ) =
= Cov(X1 , X1 ) − Cov(X1 , X2 ) + Cov(X2 , X1 ) − Cov(X2 , X2 ) =
=7+1−1−4=3
e dunque le due v.a. non sono indipendenti. Invece
Cov(X1 + X2 , X1 − 2X2 ) =
= Cov(X1 , X1 ) − 2 Cov(X1 , X2 ) + Cov(X2 , X1 ) − 2 Cov(X2 , X2 ) =
=7+2−1−8=0
Le due v.a. sono dunque indipendenti.
c) Y1 e Y2 sono congiuntamente gaussiane, come funzioni lineari di un vettore gaussiano. Per calcolarne la densità congiunta (se esiste) occorre prima calcolarne la matrice di
covarianza. Due possibilità: si possono calcolare ‘‘a mano’’ gli elementi della matrice di
covarianza:
Var(Y ) = Var(X1 + X2 ) = Var(X1 ) + Var(X2 ) + 2 Cov(X1 , X2 ) = 7 + 4 − 2 = 9
Var(Z) = Var(X1 − X2 ) = Var(X1 ) + Var(X2 ) − 2 Cov(X1 , X2 ) = 7 + 4 + 2 = 13
Cov(Y, Z) = Cov(X1 + X2 , X1 − X2 ) = 3 (già calcolata in b))
Oppure si osserva che il vettore
Y
Z
è della forma AX, dove
A=
1 1
1 −1
Dunque la matrice di covarianza di Y e Z è
∗
ACX A =
1 1
1 −1
7
−1
−1
4
1
1
1
−1
=
9 3
3 13
Questa matrice è invertibile e quindi Y e Z hanno densità congiunta. L’inversa è
1
108
13
−3
−3
9
Per cui la densità è
1
g(y, z) = exp −
13y 2 + 9z2 − 6yz
216
d) La matrice di covarianza di W si calcola facilmente con uno dei metodi richiamati
in c) e vale
!
7 −1 6
CW = −1 4 3
6
3 9
con un po’ di pazienza si vede che questa matrice ha determinante 0 e quindi non ci può
essere una densità. Ma in realtà questo si poteva vedere da subito rispondendo contemporaneamente alla domanda successiva, dato che si può scrivere
W = BX
dove B è la matrice
B=
α
0
β
0
β
α
!
che può essere al massimo di rango 2. Dunque la matrice CW , che si ottiene anche come
prodotto
!
α 0 7 −1
α 0 β
CW = 0 β
−1 4
0 β α
β α
può essere al massimo di rango 2 e non può essere invertibile.
Esercizio 4. a) Se indichiamo con Xi l’esito della risposta alla i-esima domanda (Xi = 1
se la risposta è giusta, Xi = 0 se è sbagliata), il punteggio ottenuto è S = X1 + . . . + X30 .
Inoltre le v.a. Xi sono di Bernoulli B(1, 41 ) e indipendenti. Dunque 30E(Xi ) = 30 41 = 7.5
e Var(Xi ) = 41 43 . Usando l’approssimazione normale, la probabilità di superare il test è
15.5 − 7.5 = 1 − 8(3.37) .
P(S ≥ 16) = P(S ≥ 15.5) ≃ 1 − 8 q
1 3
4 4 · 30
Le tavole non danno il valore di 8 per x = 3.37. Però sicuramente si tratta di un valore più
grande di 8(2.99) = .99861. Dunque la probabilità richiesta è più piccola di 0.0014. Con
delle tavole più complete o un software apposito si avrebbe trovato 1 − 8(3.37) = 0.00037.
b) Si possono ripetere gli argomenti del punto a), solo che ora le v.a. Xi sono B(1, 13 ).
Dunque 30E(Xi ) = 30 13 = 10 e Var(Xi ) = 13 23 . Ora la probabilità di superare il test è
15.5 − 10 = 1 − 8(2.13) = 0.016 .
P(S ≥ 16) = P(S ≥ 15.5) ≃ 1 − 8 q
1 2
3 3 · 30
c) Detta p = 41 la probabilità di rispondere correttamente ad un singolo quesito, la
probabilità di sbagliare tutte le domande è p1 = (1 − p)30 = ( 43 )30 = 1.78 10−4 , per un
singolo studente. Il numero di studenti che prendono 0 è dunque una v.a., chiamiamola Y ,
binomiale B(300, p1 ). La probabilità che una tale v.a. prenda un valore ≥ 1 è
P(Y ≥ 1) = 1 − P(Y = 0) = 1 − (1 − p1 )300 = 1 − 0.948 = 0.0521693
Questo calcolo è esatto, a parte gli errori di arrotondamento della calcolatrice. Dato che il
numero p1 è piccolo mentre 300 è un numero abbastanza elevato avremmo anche potuto
usare l’approssimazione di Poisson che avrebbe dato
P(Y ≥ 1) ∼ 1 − e−300p1 = 1 − e−0.053 = 0.0521648
L’approssimazione poissoniana è quindi molto buona. Qui l’approssimazione normale non è
indicata, dato che 300p1 = 0.053 e quindi la regoletta np > 5 non è soddisfatta. Comunque
avrebbe dato
Y − 300p
0.5 − 300p1 1
≤√
P(Y ≥ 1) = 1 − P(Y ≤ 0.5) = 1 − P √
≃
300p1 (1 − p1 )
300p1 (1 − p1 )
0.5 − 300p 1
= 1 − 8(1.93) = 0.027
≃1−8 √
300p1 (1 − p1 )
che è un’approssimazione un po’ lontana dalla realtà.