UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA Corso di Laurea in Matematica Corso di PS2-Probabilità 2 P.Baldi 1◦ appello, 23 giugno 2009 Esercizio 1 Per 0 ≤ α ≤ matrice di transizione 1 2 consideriamo la catena di Markov su {1, 2, 3} associata alla 3! 1 0 4 4 α 1 − 2α α 1 3 0 4 4 a) Mostrare che, se 0 < α ≤ 21 , la catena è irriducibile e regolare. b) Supponiamo α = 41 . Calcolare la distribuzione stazionaria della catena. La catena è reversibile ? c) Supponiamo α = 0. Determinare gli stati ricorrenti e quelli transitori. d) Cosa si può dire di limn→∞ P1 (Xn = 1) nei casi b) e c) rispettivamente ? (P1 è la probabilità partendo da X0 = 1). Esercizio 2 Sia (X, Y ) una coppia di v.a. aventi distribuzione congiunta: ( 1 se 0 < x < y < 1 c f (x, y) = y 0 altrimenti a) Quanto vale la costante di normalizzazione c ? b) Qual è la densità di X ? E quella di Y ? X e Y sono indipendenti ? c) Calcolare P(Y > 2X). Esercizio 3 Le v.a. X1 , X2 hanno legge congiunta gaussiana di media 0 e matrice di covarianza 7 −1 C= −1 4 a) Il vettore aleatorio X = (X1 , X2 ) ha densità congiunta ? b) Quali delle seguenti coppie di v.a. sono indipendenti ? b1) X1 + X2 e X1 − X2 . b2) X1 + X2 e X1 − 2X2 . c) Mostrare che le v.a. Y = X1 + X2 e Z = X1 − X2 hanno densità congiunta e calcolarla. d) Il vettore aleatorio W = (X1 , X2 , X1 +X2 ) ha densità congiunta ? Esistono α, β ∈ R tale che W = (αX1 , βX2 , βX1 + αX2 ) abbia densità ? Esercizio 4 In un test a risposta multipla vengono poste 30 domande, ciascuna con 4 possibili risposte, una sola delle quali è quella giusta. Per il superamento del test si richiede di rispondere correttamente ad almeno 16 domande. a) Uno studente non sa niente e risponde a caso. Calcolare, usando l’approssimazione normale, la probabilità che superi il test. b) Uno studente leggermente meglio preparato è in grado, per ogni domanda, di escludere una delle risposte proposte e decidere di rispondere a caso scegliendo una delle tre risposte rimaste (tra le quali c’è quella giusta). Sempre usando l’approssimazione normale, qual è ora la probabilità che superi il test ? c) Supponiamo che 300 studenti si presentino, tutti quanti impreparati, per cui ciascuno risponde correttamente ad ogni quesito con probabilità 41 . Calcolare, con un metodo di vostra scelta, la probabilità che almeno uno dei partecipanti prenda 0. Giustificare il metodo utilizzato. Soluzioni Esercizio 1. a) Si vede subito che gli stati 1 e 3 comunicano con gli altri due in un passo solo. Se α > 0, allora 2 comunica sia con 3 che con 1 e la catena è irriducibile. Se 0 < α < 21 allora c’è un elemento > 0 sulla diagonale e quindi la catena, essendo irriducibile, è anche regolare. Se α = 21 , allora bisogna provare a fare le potenze della matrice di transizione. Usando le stelline, ∗ 0 ∗ 0 ∗ ∗ P2 = ∗ ∗ 0 ! 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ! = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ! e dunque P è regolare. b) Se α = 41 , allora la matrice è bistocastica e la distribuzione stazionaria è l’uniforme π = ( 13 , 13 , 13 ). La reversibilità è immediata, dato che P è simmetrica. c) Se α = 0, allora lo stato 2 è assorbente e dunque ricorrente. Gli stati 1 e 3 comunicano con 2 che non comunica con loro. Sono quindi transitori. d) Se α > 0, allora, poiché la catena è regolare, la legge al tempo n converge alla distribuzione stazionaria. In particolare, se α = 41 , limn→∞ P1 (Xn = 1) = π1 = 13 . Se invece α = 0, sappiamo che, partendo da 1 la catena in un tempo finito giunge nello stato assorbente 2 per poi restarci. Dunque limn→∞ P1 (Xn = 1) = 0. Esercizio 2. a) deve essere 1= Z +∞ −∞ dy Z +∞ f (x, y) dxdy −∞ ma, ricordando che f è non nulla tranne che se 0 < x < y < 1, Z +∞ −∞ dy Z +∞ −∞ f (x, y) dxdy = c Z 1 0 1 dy y Z y 0 dx = c dunque c = 1. b) Si ha, per 0 < x < 1, fX (x) = Z +∞ −∞ f (x, y) dy = Z 1 x 1 dy = − log x y Mentre, sempre per 0 < y < 1, fY (y) = Z +∞ −∞ f (x, y) dx = Z y 0 1 dx = 1 y e quindi Y è uniforme su [0, 1]. Chiaramente X e Y non sono indipendenti, dato che l’insieme 0 < y < x < 1 (la porzione di quadrato che sta sotto la diagonale) ha probabilità 0 per la densità congiunta mentre il prodotto delle densità marginali ivi è strettamente positivo. b) La probabilità P(Y > 2X) è uguale all’integrale della densità congiunta nel triangolo indicato con l’ombreggiatura più intensa nella Figura 1. Dunque P(Y > 2X) = Z 1 1 dy y 0 Z y 2 0 dx = 1 2 Si sarebbe naturalmente anche potuto integrare prima in dy e poi in dx: P(Y > 2X) = Z 1 2 0 Z 1 Z 1 2 2 1 1 dy = dx − log 2x dx = − log 2 − log x dx = 2 2x y 0 0 1/2 1 1 = − log 2 − x log x − x = 0 2 2 Z 1 ma il calcolo risulta più complicato. 1 ................................................................................................................................................................................ ........................................................................ . . . . . . . . . . . . . ... .................................................... . . . . . . ... ................................................. . . . . . . ... ............................................... . . . . . . ... .............................................. . . . . . . . . . . . ... ........................................... . . . . . ......................................... . . . . . ..... ..................................... . . . . . .................................... . . . . .... .................................. . . . . . . . . ... ....................................... . . . . ... ...................... . . . ... ................................... . . . ........................ . . . . . . ..... ..................... . . .................... . . .... ................. . . ... ............... . . . ... ............. . ........... . ... ........ . .. .... . .............................................................................................. 0 1 2 1 Figura 1 . Esercizio 3. a) Si richiede solo di dire se il vettore X ha densità congiunta. Dato che esso ha legge congiunta gaussiana, sappiamo che questo accade se e solo se esso ha matrice di covarianza invertibile. Poiché det C = 28 + 1 = 29 6= 0 , X ha densità congiunta. b) Le coppie di v.a. considerate hanno tutte una legge congiunta gaussiana, essendo funzioni lineari di un vettore gaussiano. Per mostrare l’indipendenza basterà dunque verificare che sono a due a due non correlate. Abbiamo Cov(X1 + X2 , X1 − X2 ) = = Cov(X1 , X1 ) − Cov(X1 , X2 ) + Cov(X2 , X1 ) − Cov(X2 , X2 ) = =7+1−1−4=3 e dunque le due v.a. non sono indipendenti. Invece Cov(X1 + X2 , X1 − 2X2 ) = = Cov(X1 , X1 ) − 2 Cov(X1 , X2 ) + Cov(X2 , X1 ) − 2 Cov(X2 , X2 ) = =7+2−1−8=0 Le due v.a. sono dunque indipendenti. c) Y1 e Y2 sono congiuntamente gaussiane, come funzioni lineari di un vettore gaussiano. Per calcolarne la densità congiunta (se esiste) occorre prima calcolarne la matrice di covarianza. Due possibilità: si possono calcolare ‘‘a mano’’ gli elementi della matrice di covarianza: Var(Y ) = Var(X1 + X2 ) = Var(X1 ) + Var(X2 ) + 2 Cov(X1 , X2 ) = 7 + 4 − 2 = 9 Var(Z) = Var(X1 − X2 ) = Var(X1 ) + Var(X2 ) − 2 Cov(X1 , X2 ) = 7 + 4 + 2 = 13 Cov(Y, Z) = Cov(X1 + X2 , X1 − X2 ) = 3 (già calcolata in b)) Oppure si osserva che il vettore Y Z è della forma AX, dove A= 1 1 1 −1 Dunque la matrice di covarianza di Y e Z è ∗ ACX A = 1 1 1 −1 7 −1 −1 4 1 1 1 −1 = 9 3 3 13 Questa matrice è invertibile e quindi Y e Z hanno densità congiunta. L’inversa è 1 108 13 −3 −3 9 Per cui la densità è 1 g(y, z) = exp − 13y 2 + 9z2 − 6yz 216 d) La matrice di covarianza di W si calcola facilmente con uno dei metodi richiamati in c) e vale ! 7 −1 6 CW = −1 4 3 6 3 9 con un po’ di pazienza si vede che questa matrice ha determinante 0 e quindi non ci può essere una densità. Ma in realtà questo si poteva vedere da subito rispondendo contemporaneamente alla domanda successiva, dato che si può scrivere W = BX dove B è la matrice B= α 0 β 0 β α ! che può essere al massimo di rango 2. Dunque la matrice CW , che si ottiene anche come prodotto ! α 0 7 −1 α 0 β CW = 0 β −1 4 0 β α β α può essere al massimo di rango 2 e non può essere invertibile. Esercizio 4. a) Se indichiamo con Xi l’esito della risposta alla i-esima domanda (Xi = 1 se la risposta è giusta, Xi = 0 se è sbagliata), il punteggio ottenuto è S = X1 + . . . + X30 . Inoltre le v.a. Xi sono di Bernoulli B(1, 41 ) e indipendenti. Dunque 30E(Xi ) = 30 41 = 7.5 e Var(Xi ) = 41 43 . Usando l’approssimazione normale, la probabilità di superare il test è 15.5 − 7.5 = 1 − 8(3.37) . P(S ≥ 16) = P(S ≥ 15.5) ≃ 1 − 8 q 1 3 4 4 · 30 Le tavole non danno il valore di 8 per x = 3.37. Però sicuramente si tratta di un valore più grande di 8(2.99) = .99861. Dunque la probabilità richiesta è più piccola di 0.0014. Con delle tavole più complete o un software apposito si avrebbe trovato 1 − 8(3.37) = 0.00037. b) Si possono ripetere gli argomenti del punto a), solo che ora le v.a. Xi sono B(1, 13 ). Dunque 30E(Xi ) = 30 13 = 10 e Var(Xi ) = 13 23 . Ora la probabilità di superare il test è 15.5 − 10 = 1 − 8(2.13) = 0.016 . P(S ≥ 16) = P(S ≥ 15.5) ≃ 1 − 8 q 1 2 3 3 · 30 c) Detta p = 41 la probabilità di rispondere correttamente ad un singolo quesito, la probabilità di sbagliare tutte le domande è p1 = (1 − p)30 = ( 43 )30 = 1.78 10−4 , per un singolo studente. Il numero di studenti che prendono 0 è dunque una v.a., chiamiamola Y , binomiale B(300, p1 ). La probabilità che una tale v.a. prenda un valore ≥ 1 è P(Y ≥ 1) = 1 − P(Y = 0) = 1 − (1 − p1 )300 = 1 − 0.948 = 0.0521693 Questo calcolo è esatto, a parte gli errori di arrotondamento della calcolatrice. Dato che il numero p1 è piccolo mentre 300 è un numero abbastanza elevato avremmo anche potuto usare l’approssimazione di Poisson che avrebbe dato P(Y ≥ 1) ∼ 1 − e−300p1 = 1 − e−0.053 = 0.0521648 L’approssimazione poissoniana è quindi molto buona. Qui l’approssimazione normale non è indicata, dato che 300p1 = 0.053 e quindi la regoletta np > 5 non è soddisfatta. Comunque avrebbe dato Y − 300p 0.5 − 300p1 1 ≤√ P(Y ≥ 1) = 1 − P(Y ≤ 0.5) = 1 − P √ ≃ 300p1 (1 − p1 ) 300p1 (1 − p1 ) 0.5 − 300p 1 = 1 − 8(1.93) = 0.027 ≃1−8 √ 300p1 (1 − p1 ) che è un’approssimazione un po’ lontana dalla realtà.