trigonometria - ITIS "E. Fermi"

TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
TRIGONOMETRIA
DA RICORDARE:
Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è pari a 180°
Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è pari a 90°
Due angoli si dicono opposti quando la loro somma è pari a 0°
Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è pari a 360°
Un angolo si misura in gradi. Un grado è la novantesima parte di un angolo retto.
Un altro modo per misurare gli angoli sono i radianti che corrisponde alla lunghezza della
parte di circonferenza di raggio r sottesa dall’angolo che si vuole misurare diviso r ovvero
B
αr=AB/r
.
α
A
r
Un angolo giro misura 360° e la circonferenza misura 2πr quindi
αr=360°=2πr/r=2π
Possiamo quindi affermare che
un angolo giro misura 2π
Un angolo piatto misura π
un angolo retto misura π/2
un angolo di 45° misura π/4
E’ detta circonferenza goniometrica una circonferenza orientata a cui è associato un
sistema di riferimento ortogonale cartesiano avente l’origine nel suo centro e unità di misura =
al raggio
Il punto A è detto origine degli archi ed è l’intersezione della circonferenza con il semiasse
positivo delle ascisse (asse x).
A cura di P. Paciulli
1
TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
DEFINIZIONE
Si dice SENO dell’angolo a il rapporto tra il segmento HP ed il raggio della circonferenza
goniometrica ovvero L’ORDINATA del punto P. Cioè SEN a = HP/OP ma essendo OP=1 allora
SEN α = HP
quindi: sen0=0; sen90°=1; sen180°=0; sen270=-1; sen360°=0
DEFINIZIONE
Si dice COSENO dell’angolo a il rapporto tra il segmento OH ed il raggio della circonferenza
goniometrica ovvero L’ASCISSA del punto P. Cioè cosa=OH/OP ma essendo OP=1 allora
cosα = OH.
quindi: cos0°=1; cos90°=0; cos180°=-1; cos270°=0; sen360°=1
DEFINIZIONE
Si dice TANGENTE dell’angolo α il rapporto tra il segmento HP ed il segmento OH ovvero
DEFINIZIONE
Si dice COTANGENTE dell’angolo α il rapporto tra il segmento OH ed il segmento HP ovvero
A cura di P. Paciulli
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TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA
sen2α+cos2α=1
Per il teorema di Pitagora abbiamo che il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma
dei cateti costruiti sui cateti quindi:
2
2
OH + AH = OA
2
Dividendo tutto per OA
2
OH
2
OA
2
+
OA
2
2
OA
2
OH
AH
=
OA
OA
2
A
otteniamo
2
α
O
2
H
2
+
AH
OA
2
=1
Da cui ricordando la definizione di seno e coseno si ottiene
sen2α+cos2α=1
Da questa relazione è possibile ricavare le formule inverse che sono le seguenti:
sen2α=1-cos2α
cos2α=1-sen2α
senα = ± 1 − cos 2 α
cos α = ± 1 − sen2 α
ARCHI PARTICOLARI
Come si ottengono i valori delle funzioni per gli angoli di:
1. 30°=Π
Π/6:
Si considera sulla circonferenza trigonometrica un angolo di 30°, il triangolo che si forma OHA
è un triangolo rettangolo in H, quindi l'angolo in A è di 60°. Si costruisce in modo simmetrico
A cura di P. Paciulli
3
TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
rispetto all'asse x un triangolo identico OHB, quindi il triangolo OAB che ne risulta è un
triangolo equilatero di lato unitario (il raggio OA misura 1)
Di conseguenza il lato AH corrispondente al seno dell'angolo di 30° misurerà la metà di 1
ovvero 1/2.
Di qui applicando il teorema di Pitagora in cui OA2=AH2+OH2 si ottiene OH=
3
2
2. DI 60°=π/3
Si consideri sulla circonferenza trigonometrica un angolo di 60°. Il triangolo che viene a
formarsi OAH è rettangolo in H e l'angolo in A è di 30°. Si riporti quindi sulla stessa
circonferenza il triangolo OA'H' dell'esempio precedente. I due triangoli OHA e OH'A' sono
uguali avendo l'ipotenusa =1 e gli angoli uguali. Quindi per similitudine avremo cos60°=1/2 e
3
sen60°=
2
di 45°=π/4:
Sulla circonferenza goniometrica venga preso in considerazione un angolo di 45°. Il triangolo
OHA che si viene a formare è rettangolo in H, quindi l'angolo in A misura 45°. Il triangolo OHA
è quindi rettangolo isoscele quindi i lati OH e HA sono uguali e la loro misura è ottenuta
mediante il teorema di Pitagora secondo il quale:
A cura di P. Paciulli
4
TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
OA2=AH2+OH2
da cui:
12=AH2+OH2=AH2+AH2=2AH2
quindi AH2=1/2 che equivale a dire, dopo l'estrazione della radice e della relativa
razionalizzazione
AH=OH=sen45°=cos45°=
2
2
VARIAZIONI DI SENO COSENO TANGENTE E COTANGENTE SULLA CIRCONFERENZA
ARCHI ASSOCIATI a 180°
Due archi si dicono associati quando hanno funzioni trigonometriche uguali o opposte.
A cura di P. Paciulli
sen(180° - α ) = senα
tg (180° - α ) = -tgα
cos(180° - α ) = -cosα
cot g (180° - α ) = -cotgα
sen(180° + α ) = −senα
tg (180° + α ) = tgα
cos(180° + α ) = -cosα
cot g (180° + α ) = cotgα
sen(360° − α ) = −senα
tg (360° − α ) = − tgα
cot g (360° − α ) = −cotgα
cos(360° − α ) = + cosα
5
TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
ARCHI ASSOCIATI a 90°
sen(90 ° - α ) = cos α
tg (90 ° - α ) = cotg α
cos(90 ° - α ) = sen α
cot g (90 ° - α ) = tg α
sen(90° + α) = + cos α
cos(90 ° + α ) = -sen α
tg(90 ° + α ) = − tg α
cot g(90 ° + α) = −cotg α
sen(270° − α ) = − cosα
tg (270° − α ) = +cotgα
cot g(270° − α) = +tgα
sen(270° + α ) = − cos α
tg (270° + α ) = −cotgα
cos(270° + α ) = +senα
cot g (270° + α ) = − tgα
cos(270° − α ) = −senα
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE DI SOMME E DIFFERENZE DI ARCHI
Consideriamo l’arco AB che sottende un angolo
l’arco AC che sottende l’angolo
D
L’arco BC è uguale all’angolo
B
βe
α.
α-β
Prendiamo poi l’arco AD = BC
A
I punti A,B,C, e D avranno come coordinate:
C
B(cosβ;senβ)
A(1;0)
C(cosα;senα)
D(cos(α−β);sen(α−β))
Poiché ad archi uguali corrispondono corde uguali avremo
AD=CB e quindi AD2=CB2
Misuriamo la loro lunghezza con la formula per il calcolo della distanza tra due punti e
otteniamo:
AD2=[ cos(α−β)-1]2+[ sen(α−β)-0]2
CB2=[ cosα- cosβ]2+[ senα- senβ]2
Da cui applicando alluguaglianza AD2=CB2 otterremo, dopo aver svolto i calcoli ed eseguite le
opportune semplificazioni
cos(α − β ) = cosα cos β + senβ senα
Se a
β sostituiamo −β otterremo invece:
A cura di P. Paciulli
6
TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
cos(α + β ) = cos α cos β − senβ senα
Applicando le regole degli archi associati sostituendo
α con π/2-α
otterremo
sen(α − β ) = senα cos β − senβ cosα
e
sen(α + β ) = senα cos β + senβ cos α
dal rapporto di queste formule appena calcolate si ottengono poi
tg (α + β ) =
tgα + tgβ
1 − tgαtgβ
tg ( α − β ) =
tg α − tg β
1 + tg α tg β
cot g (α + β ) =
cot gα cot gβ − 1
cot gα + cot gβ
cot g(α − β) =
cot gα cot gβ + 1
cot gα − cot gβ
FORMULE DI DUPLICAZIONE
Queste formule servono, noti i valori di senα, cosα e tgα a calcolare i valori dell’angolo
doppio.
Derivano dalle formule di addizione e sottrazione quando a
β si sostituisce α si ottiene quindi
sen(α + α ) = senα cos α + senα cos α = 2 senα cos α
cos(α + α ) = cosα cosα − senα senα = cos2 α − sen2α
quindi riepilogando:
cos 2α = cos 2 α − sen 2α
sen2α = 2 senα cos α
tg 2α =
⇒ cos 2α = 2 cos 2 α − 1
⇒ cos 2α = 1 − 2 sen 2α
2tgα
1 − tg 2α
cot g 2α =
cot g 2α − 1
2 cot gα
FORMULE DI BISEZIONE
Queste formule servono, noti i valori di senα, cosα e tgα a calcolare i valori dell’angolo
metà.
Derivano dalle formule di duplicazione del coseno.
cos α = 1 − 2 sen 2
α
A cura di P. Paciulli
2
da cui
sen
α
± 1 − cos α
=
2
2
7
TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
cos α = 2 cos 2
α
2
− 1 da cui
cos
α
2
=
± cos α + 1
2
dividendo membro a membro si ottengono i valori di tg e cotg
tg
α
2
=±
1 − cos α
1 + cos α
cot g
α
2
=±
1 + cos α
1 − cos α
FORMULE DI PROSTAFERESI
Queste formule servono per la trasformazione di una somma o differenza di seni o coseni in
prodotti.
Le formule inverse o di Werner, trasformano un prodotto in somma o differenza.
PROSTAFERESI
p+q
p−q
cos
2
2
p+q
p−q
cos p + cos q = 2 cos
cos
2
2
senp + senq = 2 sen
p+q
p−q
sen
2
2
p+q
p−q
cos p − cos q = −2sen
sen
2
2
senp − senq = 2 cos
WERNER
1
[sen(α + β ) + sen(α − β )]
2
1
cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
senαsenβ = − [cos(α + β ) − cos(α − β )]
2
senα cos β =
APPLICAZIONE AD UN TRIANGOLO RETTANGOLO
Dalla definizione di seno su una circonferenza goniometrica si ottiene per analogia che il seno
dell’angolo α è dato dal rapporto tra il segmento BC ed il segmento AB ovvero:
senα=BC/AB=a/c
da cui segue come formula inversa che
a=c senα
ovvero:
La misura di un cateto in un triangolo rettangolo è data dal prodotto tra la misura
dell’ipotenusa ed il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
Analogamente si può affermare che:
cosα=AC/AB=b/c
A cura di P. Paciulli
8
TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
da cui segue come formula inversa che
b=c cosα
ovvero
La misura di un cateto in un triangolo rettangolo è data dal prodotto tra la misura
dell’ipotenusa ed il coseno dell’angolo adiacente al cateto stesso.
L’applicazione del teorema di Pitagora diventa quindi:
c2=a2+b2=c2sen2α+c2cos2α
da cui dividendo per c2 si ottiene
sen2α+cos2α=1
che è la PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA
ESERCIZI:
ARCHI NOTI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2
sen90° + 3sen180° − 4sen270° =
3
5 cos 90° + 3 cos 0° + 2 cos 180° − cos 270° =
3
2sen0° − cos 270° + cos180° − cos 0° =
2
2 cot g 90° + 3 cos 90° − 2tg 0° + sen270° − sen360° =
3
3
3
3
2 cos π − sen2π + 2 sen π − tg 0 =
2
4
2
2
3
3
2 senπ − 3 cos π + 2tgπ + sen π =
4
2
π
2 − tgπ
3sen − 4(2 cos π − 5senπ ) +
=
3
2
2 sen π
2
2 cot g
π
2 + 3 sen 3 π =
cos π
5
2
9. asen270° − b cos 180° + ( a + b) sec 0° =
2
2 3
10. ( a + b) sen
π − 4ab cos 2 π + atg 2 2π =
2
8.
4tgπ − 3senπ +
ARCHI ASSOCIATI
sen(−α ) + sen(90° + α ) + cos(270° + α )
=
cos(270 − α )
2
2
2. sen (π − α ) + cos (2π − α ) + cot g ( −α )tg (π − α ) =
2
3. tg (π + α ) + sen(π + α ) sen( −α ) + sen(90° + α ) cos(−α ) =
1.
A cura di P. Paciulli
9
TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
sen 2 (π − α ) + cos 2 (2π − α )
+ sec(π − α ) =
π

sen − α 
2

5. sen(π − α )tg (π + α ) + sen(π + α )tg (π − α ) =
4.
6.
sen(
7.
cos(
π
+ α )tg (π − α ) − sen(
2
π
− α )tg (π + α ) − sen(
2
π
2
π
2
+ α ) cot g (
+ α ) sen(
π
2
π
2
+α) =
− α ) − tg (
π
2
− α ) cos(
π
2
+α) =
IDENTITA’
tg 2α sen 2α = tg 2α − sen 2α
2 senα − sen2α
α
2.
= tg 2
2 senα + sen2α
2
3.
(1 + senα − cos α ) 2 = 2(1 + senα )(1 − cos α )
4. sen2α = ( senα + cos α + 1)( senα − 1 + cos α )
1.
5.
2tgα sen 2
6.
tgα +
8.
9.
10.
2
= tgα − senα
1
= (sec α ) cos ecα
tgα
π
7.
α
π
2 cos( + α ) cos( − α )
4
4
= cos 2 α − sen 2α
cos 2 α + sen 2α
1
cos 4α = 1 − sen 2 2α
2
sen(α + 2 β ) + senα
= cos β
2 sen(α + β )
senα + tgα
sen 2α
=
ctgα + cos ecα cos α
EQUAZIONI
Per la soluzione di equazioni trigonometriche
Formulario di trigonometria
Si riportano di seguito le formule relative alla trigonometria utili per la risoluzione di
uguaglianze, equazioni e disequazioni trigonometriche
A cura di P. Paciulli
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TRIGONOMETRIA – ELEMENTI BASE
sen 2α + cos 2 α = 1
PRIMA REGOLA FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA:
FORMULE INVERSE :
tgα =
senα
cos α
cot gα =
cos α
senα
ARCHI ASSOCIATI 180°:
sen(180° - α ) = senα
cos(180° - α ) = -cosα
tg (180° - α ) = -tgα
0°=360°=2 π
seno
coseno
tangente
Cotangente
0
1
0
∞
3
2
3
3
3
45°=
π
4
2
2
2
2
1
1
60°=
π
3
3
2
1
2
3
3
3
90°=
π
2
1
0
∞
0
0
-1
0
∞
-1
0
∞
0
270°=
3π
2
sen(270° − α ) = − cosα
cos(270° − α ) = −senα
tg (270° − α ) = +cotgα
tg (90 ° + α ) = − tg α
cot g(90 ° + α) = −cotg α
sen(α + β ) = senα cos β + senβ cos α
cos α = ± 1 − sen 2α
1
2
180°= π
FORMULE DI ADDIZIONE E
SOTTRAZIONE
cos 2 α = 1 − sen 2α
π
6
ARCHI ASSOCIATI 90°
sen(90° + α) = + cos α
sen(90° - α ) = cos α
cos(90 ° + α ) = -sen α
cos(90° - α ) = senα
tg (90° - α ) = cotgα
cot g (90° - α ) = tgα
senα = ± 1− cos 2 α
30°=
cot g (180° - α ) = -cotgα
sen(180° + α ) = −senα
cos(180° + α ) = -cosα
tg (180° + α ) = tgα
cot g (180° + α ) = cotgα
sen(360° − α ) = −senα
cos(360° − α ) = +cosα
tg (360° − α ) = − tgα
cot g (360° − α ) = −cotgα
sen 2α = 1− cos 2 α
cot g(270° − α) = +tgα
FORMULE DI DUPLICAZIONE
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos 2 α − sen 2α
cos(α + β ) = cos α cos β − senβ senα
tgα + tgβ
1 − tgαtgβ
cot gα cot gβ − 1
cot g (α + β ) =
cot gα + cot gβ
tg (α + β ) =
⇒ cos 2α = 2 cos 2 α − 1
⇒ cos 2α = 1 − 2 sen 2 α
tg 2α =
2tg α
1 − tg 2α
cot g 2α =
cot g 2 α − 1
2 cot gα
FORMULE DI BISEZIONE
sen(α − β ) = senα cos β − senβ cosα
cos(α − β ) = cosα cosβ + senβ senα
sen
tg α − tg β
1 + tg α tg β
cot gα cot gβ + 1
cot g(α − β) =
cot gα − cot gβ
tg
tg ( α − β ) =
sen(270° + α ) = − cos α
cos(270° + α ) = +senα
tg (270° + α ) = −cotgα
cot g (270° + α ) = − tgα
α ± 1 − cos α
=
2
2
α
2
=±
1 − cos α
1 + cos α
± cos α + 1
2
2
1 + cos α
α
cot g = ±
2
1 − cos α
cos
α
=
FORMULE DI PROSTAFERESI
p+q
p−q
cos
2
2
p+q
p−q
cos p + cos q = 2 cos
cos
2
2
senp + senq = 2 sen
A cura di P. Paciulli
p+q
p−q
sen
2
2
p+q
p−q
cos p − cos q = −2sen
sen
2
2
senp − senq = 2 cos
11