Scheda 1: funzioni circolari, equazioni e disequazioni goniometriche

Scheda 1: funzioni circolari, equazioni e disequazioni goniometriche
2
1. Risolvi la seguente equazione: sin x + 4 sinx cosx + 5 = 0.
Suggerimento dell’insegnante: ricorda che 5 = 5 ⋅ cos 2 x + sin 2 x
(
)
2
2. Risolvi la seguente disequazione: 1 − cos x − sin x cos x < 0 .
Suggerimento dell’insegnante: passaggio intermedio sin x ⋅ (sin x − cos x) < 0 , studiare il segno dei due
fattori, il segno del secondo fattore si studia osservando in quale intervallo sin x < cos x .
cos 2 x
≤0.
tan x + 1
4. Determina le coordinate dei punti di intersezione A e B del grafico della funzione y = 3 cosx e del
grafico della funzione y = 3 sin x nell’intervallo [0, 2π].
3. Risolvi la seguente disequazione:
5. Quali tra i seguenti insiemi è il dominio della funzione y = ln (1 − sin x ) ?
⎧ ln(......)....0
Suggerimento dell’insegnante: passaggio intermedio ⎨
⎩1 − sin x....0
A) 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ
B) Insieme dei numeri reali
C) π + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ
D) L’insieme vuoto
o
o
o
o
Soluzioni
1.
Impossibile
2.
kπ < x <
3.
π
4
π
+ kπ
4
+ kπ < x <
π
2
+ kπ
4.
⎛ π 3 ⎞ ⎛ 4 π 3 ⎞
A ⎜ ; ⎟ B ⎜ ; − ⎟
2 ⎠
⎝ 3 2 ⎠ ; ⎝ 3
5.
C
1
Scheda 2: funzioni circolari, equazioni e disequazioni goniometriche
1. Quali tra i seguenti insiemi è il dominio della funzione: y =
x
?
4sin x − 3
Suggerimento dell’insegnante:dominio o campo di esistenza rappresenta i valori di x per cui la
funzione esiste, la funzione esiste se tutti i denominatori sono diversi da 0, se tutti i radicandi sono
maggiori o uguali a 0, se tutti gli argomenti del logaritmo sono maggiori di 0, spesso si tratta di
impostare un sistema di condizioni.
3
A) x ≠ arcsin 4 + 2kπ
B) x ≠ ±
2
o
π
+ kπ
3
C) L’insieme vuoto
D) L’insieme dei numeri reali
o
o
o
2. Quali tra i seguenti insiemi è il dominio della funzione y = sin x + cos x ?
A) L’insieme vuoto
o
B) −
π
2
+ 2 kπ < x < 2 kπ
C) 2kπ ≤ x ≤
π
2
o
+ 2 kπ
o
D) R
E) –1 < x < 1
o
o
3. Risolvi la seguente disequazione: 2sin 2
x
≥ sin 2 x .
2
Soluzioni
1.
B
2.
C
3.
3
+ 2 kπ ≤ x ≤ π + 2 kπ
2
2
π
∨
x = 2 kπ
2
Scheda 3: funzioni circolari, equazioni e disequazioni goniometriche
1. Quali tra queste affermazioni sono VERE?
A) L’equazione sin2 x – cos x – 1 = 0 è omogenea
1
B) L’equazione sinx =
ha due soluzioni nell’intervallo [0, 2π]
3
C) L’equazione sinx = –4 non ha soluzioni reali
1
π
D) La sola soluzione dell’equazione cosx = − nell’intervallo [0, 2π] è −
2
3
2
E) L’equazione sinx cosx + cos x = 0 equivale a tanx + 1 = 0
o
o
o
o
o
2. Risolvi la seguente equazione: 2sin 3 x = 2 .
3. Risolvi la seguente equazione: 3 + cosx – 3sinx = 0.
4. Quali delle seguenti sono soluzioni dell’equazione: 4cotx – 4 = 0?
1
k
π
Suggerimento dell’insegnante: cot x =
se x ≠ 0 + π cot x = 0 se x = + kπ
tan x
2
2
π
A) − 4 + kπ
5π
+ kπ
B)
4
π
C) 4 + kπ
5π
+ kπ
D) −
4
o
o
o
o
5. Determina per quale valore di k l’equazione ksinx cosx = 2sin2 x + 2cos2x ha come soluzione x =
π
4
1
1
6. Determina il dominio della seguente funzione reale di variabile reale: y = sin x + cos x .
7. Risolvi la seguente equazione: 8cosx + 4 = 0.
8. Risolvi la seguente equazione: sin(π – x) + sinx = –1.
2
⎛ π ⎞
tan x = sin ⎜ − ⎟ + cos π
3 .
⎝ 6 ⎠
9. Risolvi la seguente equazione:
10. Risolvi la seguente equazione:
3 sin x − cos x = 0
11. Quale tra le seguenti è la soluzione dell’equazione 5sinx = 6 nell’intervallo [0, 2π]?
A) arcsin 1
o
6
C) arcsin
o
5
5
B) arcsin
o
D) Nessuna
o
6
Soluzioni
1. B-C
7.
2.
x=
2
x = − π + 2 kπ
3
π
12
2
+ kπ
3
∨
∨
x=
π
4
2
+ kπ
3
2
x = π + 2 kπ
3
8.
3. x = π + 2kπ
∨
2
7
x = π + 2 kπ
6
∨
x = 2 arctan 2 + 2kπ
x=
11
π + 2 kπ
6
9.
4. B-C 5. k = 4
x=−
π
4
+ kπ
10.
x=
π
6
6.
+ kπ
x≠
kπ
2
11.D
3
Scheda 4: funzioni circolari, equazioni e disequazioni goniometriche
1. Quante soluzioni ammette l’equazione tanx = 2 nell’intervallo [0, π]?
Una
Nessuna
Infinite
Due
π ⎞
⎛
3 tan ⎜ 3 x − ⎟ = 3
6 ⎠
⎝
.
2. Risolvi la seguente equazione:
3. Risolvi la seguente equazione: sin2x – 3cos2 x = 0.
4. Determina le coordinate dei punti A e B di intersezione del grafico della funzione y = –2sinx con la
retta di equazione y = 3 nell’intervallo [0, 2π].
5. Sia α∈[0, π] una delle soluzioni di un’equazione della forma cosx = m, con –1 < m < 1; quale dei
seguenti insiemi rappresenta tutte le soluzioni dell’equazione?
[±α + 2kπ]
[α + kπ]
[α + 2kπ]
[α + 2kπ, π − α + 2kπ]
6. Risolvi la seguente disequazione:
7. Risolvi la seguente disequazione:
π ⎞
3
⎛
tan ⎜ 2 x − ⎟ ≥ −
3 ⎠
3 .
⎝
1
3
cos x + < 0 .
2
4
3 tan 2 x − 4 tan x + 3 = 0 .
9. Risolvi la seguente equazione: 2sin2 x + sin(π + x) – 1 = 0.
8. Risolvi la seguente equazione:
2
10. Risolvi la seguente disequazione: 2 − 2 cos x > 3cos x .
11. Quali delle seguenti sono affermazioni VERE?
A) L’equazione tanx = 3 non ha soluzioni reali
B) L’equazione sinx = 3 non ha soluzioni reali
C) L’insieme delle soluzioni dell’equazione tan x = 3 è S =
D) L’insieme delle soluzioni dell’equazione sinx = 1 è S =
E) L’equazione 4sinx = 2 non ha soluzioni reali
⎡ π
⎤
⎢⎣ 3 + 2kπ ⎥⎦
⎡ π
⎤
⎢⎣ 2 + 2kπ ⎥⎦
Soluzioni
π
+k
1
3. x = − π + kπ
3
π
1.A
2.
5. A
π
π
5
π
6. 12 + k 2 ≤ x < 12 π + k 2
9.
5
x = − π + 2 kπ
6
∨
9
3
1
x = − π + 2kπ
6
∨
1
x = π + 2kπ
2
∨
1
x = π + kπ
3
7. Impossibile
10.
⎛ 4
⎞
5
A ⎜ π ; 3 ⎟ B ⎛⎜ π ; 3 ⎞⎟
⎠ , ⎝ 3
⎠
4. ⎝ 3
8. x = 1 π + kπ
6
5
+ 2 kπ < x < π + 2 kπ
3
3
π
∨
1
x = π + kπ
3
11.B-D
4
Scheda 5: equazioni e disequazioni esponenziali
1. Completa ponendo il simbolo corretto scelto tra <, = , >:
a) 4
–9
–10
.... 4
b)
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
5− 3
⎛ 1 ⎞
.... ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
3
1
c)
1
⎛ 7 ⎞ 2 ⎛ 7 ⎞ 3
⎜ ⎟ .... ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
3
− 3
2
y = ( x 2 − 1)
2. Determina il dominio delle seguenti funzioni: y = ( x − 1)
Suggerimento dell’insegnante: si ricorda che la base deve essere maggiore di zero.
x
3. Determina la funzione il cui grafico è simmetrico di y = 2 rispetto alla retta di equazione y = –2.
Suggerimento dell’insegnante:scrivi l’equazione della trasformazione.
2 x −1
4. Risolvi la seguente equazione:
3
1
x
⎛ 1 ⎞
⋅ 9 = ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
−x
x
⎛ 2a ⎞
y = ⎜
⎟
⎝ a − 2 ⎠ definisce una funzione esponenziale
5. Determina per quali valori di a l’equazione
strettamente crescente.
6. Risolvi la seguente equazione: 2 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 .
7. Determina a, b e c, con b > 0, in modo che il
x
grafico della funzione di equazione y = ab + c
sia quello rappresentato in figura.
Suggerimento dell’insegnante: considera la
x
traslazione della funzione y = ab e quindi
individua prima il valore di c e poi, sapendo che
passa per due punti noti, ricava li valori di a e il
valore di b.
2x
x+2
x
8. Risolvi la seguente disequazione: 2 − 2 ≥ 2 − 4 .
9. Quali delle seguenti affermazioni sono VERE?
A) La funzione definita da y = ax , con a ∈ R+, a ≠ 1, ha come asintoto l’asse x
⎛ 1 ⎞
y = ⎜ ⎟
⎝ a ⎠
x
B) Le due funzioni di equazioni
e y = a–x hanno lo stesso grafico per ogni a ∈R+
C) La funzione definita da y = ax è crescente per ogni a ∈R+, con a ≠ 1
⎛ 55 ⎞
y = ⎜ ⎟
⎝ 81 ⎠
D) Le funzioni di equazioni
E) La funzione definita da y = x
2
x
e y = 105x intersecano l’asse y nello stesso punto
è esponenziale
5
10. Risolvi il seguente sistema:
⎧4 x − 4 y = −1
⎪
⎨ x
y
⎪
⎩4 + 4 = 3
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
11. Risolvi la seguente equazione:
x−2
≥
.
1
81 .
12. Ordina le seguenti frasi in modo che la sequenza corrisponda alle equazioni proposte:
•
•
•
•
•
L’equazione ha soluzione x = 2
L’equazione ha soluzione x = –2
1
L’equazione ha soluzione x = 2
1
−
L’equazione ha soluzione x = 2
x
A) 3 = 3
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
B) ⎝ 3 ⎠
C)
E)
=0
3x =
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
D) ⎝ 3 ⎠
L’equazione è impossibile.
x −3
3x =
1
9
x−2
=1
3
3
Soluzioni
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
–9
–10
1. a) 4 > 4 ; b) ⎝ 2 ⎠
x
3. y = −2 − 4
7. a = 4, b =
10.
4.x = 4
1
, c = –1
2
x = 0, y =
5− 3
1
2
1
3
⎛ 1 ⎞
> ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ; c)
1
⎛ 7 ⎞ 2 ⎛ 7 ⎞ 3
⎜ ⎟ > ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
5.–2 < a < 0
2.a) x ≤ −1 ∨ x ≥ 1 ; b) x < −1 ∨ x > 1
6. x = 0 ∨ x = 4
8. x ≤ 0 ∨ x ≥ 2
9 A-B-D
11. x ≤ 10
12.D-C-A-B-E
6
Scheda 6: funzione esponenziale, equazioni e disequazioni esponenziali
8x =
1
3
2 x +1 .
1. Risolvi la seguente equazione:
2. Stabilisci se la seguente affermazione è vera o falsa: “Ogni funzione esponenziale ha come asintoto
orizzontale l’asse x”.
x 2
(2 ⋅ 2 )
(2 )
2 x −1
2 1− 2 x
3. Semplifica la seguente espressione, applicando le proprietà delle potenze:
.
x+1
4. Determina, per la funzione y = 2
– 4, dominio, immagine ed equazione dell’asintoto orizzontale.
5. Quali di queste affermazioni sono VERE?
A) La funzione
⎛ 5 ⎞
y = ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
C) La funzione
⎛ 3 ⎞
y = ⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
x
ha come asintoto l’asse y. B) La funzione
x
ha come asintoto l’asse x.
⎛ 5 ⎞
y = ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
x
è crescente.
x
D) La funzione y = a , con 0 < a < 1, ha come
+
immagine R .
+
x
E) La funzione y = a , con 0 < a < 1, ha come dominio R 0 .
−x
6. Determina per quali valori di k reale l’equazione nell’incognita x: 16 =
ek − 1
non ha alcuna
k −1
soluzione reale.
7. Quale delle seguenti espressioni analitiche rappresenta l’equazione della funzione esponenziale il cui
grafico compare nella figura?
x
A)
B)
C)
D)
8. Determina il dominio della seguente funzione:
x
9. Risolvi la seguente disequazione: 2 − 1 ≥ 3 .
⎛ 5 ⎞
y = ⎜ ⎟ + 1
⎝ 2 ⎠
⎛ 5 ⎞
y = ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
o
⎛ 2 ⎞
y = ⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
⎛ 2 ⎞
y = ⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
⎛ x + 3 ⎞
y = ⎜⎜
⎟
x ⎟⎠
⎝
o
x
x −1
o
x
o
x +1
.
x +1
x
x +3
x+2
10. Risolvi la seguente equazione: 5 + 20 ⋅ 5 = 3 − 2 ⋅ 3 .
Suggerimento dell’insegnante: raccogli a fattor comune 5 x e 3 x
11. Quali di queste funzioni esponenziali hanno come dominio l’insieme dei numeri reali?
1
y= x
1
1
1
e
A)
B) y = x
C) y = x +1
D) y = x
e
e +1
e −1
7
Soluzioni
2
11
1.
x=−
2.
È falsa
3.
210 x − 4
4.
Dominio: R; immagine: (–4, +∞); asintoto: y = –4
5.
B-C-D
6.
0 ≤ k <1
7.
C
8.
x>0
9.
x≥2
10.
x = –2
11.
A-B-C
8
Scheda 7: Funzione esponenziale, funzione logaritmica, equazioni e disequazioni
esponenziali , equazioni e disequazioni logaritmiche
1. Risolvi la seguente equazione:
3x
2
−2 x
=
1
3
x2 +3 x
.
log 1 2 + log 3 3 9
4
2. Il valore del logaritmo
log 2 4 8 − log 1 8
1
A)
23
4
B)
−
è:
14
27
2
C) 3
2
D) 45
3. Due delle seguenti affermazioni sono FALSE. Quali?
A) L’equazione log 4 3 − x log 5 6 = x è logaritmica. B) –Log (2 – x) = –Log 2 + Log x, con 0 < x < 2
x
⎛ 1 ⎞
y = ⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠ e y = log1/5 x si intersecano in un punto che ha l’ascissa uguale all’ordinata.
C) Le funzioni
2x
x
2x
D) È sempre 5 + 2 ⋅15 + 3 > 0 .
4. Risolvi la seguente disequazione:
ln x > 2 ln x .
5. È vero che log 2 27 + log 2 12 = 2 + log 2 81 ?
6. Il dominio della funzione f ( x ) = ln ⎡⎣ x + 1 − ( x − 1)⎤⎦ è l’insieme degli x reali tali che:
(suggerimento dell’insegnante: ricorda che l’argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero e
il radicando maggiore o uguale a zero, per la soluzione rivedi della disequazione irrazionale rivedi gli
schemi di soluzione volume III capitolo 1.):
A) –1 ≤ x < 3
B) –1 < x ≤ 3
C) 0 < x ≤ 3
D) 0 ≤ x < 3
7. In un castagneto sono presenti 80 alberi. Ogni anno vengono piantati dei nuovi alberi di castagno in
ragione del 50% del numero presente. Quanti anni occorrono per avere 405 alberi? Scrivi una funzione
che permetta di ricavare gli alberi presenti nel castagneto, dopo un generico numero a di anni, della
kt
forma: N (t ) = N 0 e , in cui N rappresenta il numero degli alberi dopo un tempo t e N0 il numero degli
alberi all’istante t = 0.
Soluzioni
1
1. x = − 2 , x = 0
2. D
3.A-B
4. 1 < x < e
5.Vero
6.A
7.4 anni
9
Scheda 8: Funzione esponenziale, Funzione logaritmica, Equazioni e disequazioni
esponenziali, Equazioni e disequazioni logaritmiche
x
x
1. Risolvi la seguente equazione: 10e = e10 e dai un valore della soluzione.
2. Il numero dei donatori di organi in Italia è cresciuto negli ultimi anni molto rapidamente. Si è passati
da 5,8 donatori effettivi registrati per milione di popolazione nel 1992 a 20,8 nel 2004. Assumendo una
crescita esponenziale, quale sarà il numero di donatori per milione nel 2010? (Arrotondare ai decimi).
3x
2x – x
3. Considera la funzione f(x) = e + 2e
3e . Determina le coordinate del punto A in cui la curva
x
grafico della funzione incontra la curva rappresentativa dell’equazione y = e .
4. Determina il dominio della funzione f ( x ) = ln 2 x − 4 x − 1 .
(
)
e x − 1 + 1 − ln x
5. Determina il dominio della seguente funzione: f ( x ) =
.
ln x
6. Se ln x indica il logaritmo di x in base e, risulta ln 2 x + 2 ln x + 1 = ln x + 1 per tutti e soli gli x reali
tali che:…
Suggerimento dell’insegnante: osserva il radicando, è il quadrato di un binomio?..... ricorda poi che
x 2 = x , inoltre se A( x) = B( x) allora B( x) ≥ 0
1
D) x ≥ e
e
7. Una sola delle seguenti affermazioni è FALSA. Quale?
1/5
A) (–32)
può essere uguale sia a –2 sia a 2.
x
B) L’equazione 0 = 0 ha infinite soluzioni se x > 0.
C) Le potenze di numeri reali negativi con esponente irrazionale non si definiscono.
x
–
D) La funzione y = –2 non ha come immagine R .
A) x ≥ 0
B) x ≥ 1
C) x ≥
e2 x − 1
=0
x−2
8. Risolvi la seguente equazione: e
Suggerimento dell’insegnante: poste le condizioni di esistenza puoi semplificare il denominatore
Soluzioni
1. x ≅ 0, 64
(
2.Circa 39,4 3. A ln( 5 − 1);
5. ( 0, 1) ∪ (1, e]
6.C
7.D
)
5 −1
4. x ≥
1
1
∧x≠
4
2
8.L’equazione è impossibile
10
Scheda 9: Calcolo combinatorio
1. In quanti modi posso disporre 5 penne in un astuccio, scegliendole da un gruppo di 8 penne, tutte
diverse tra loro?
2. Le targhe delle automobili sono formate da una coppia di lettere, una terna di numeri e infine una
coppia di lettere. Le lettere variano possono essere solo 22 perché sono state tolte la I, la O, la Q e la
U. Quante targhe sono possibili?
3. In quanti modi posso mettere nella libreria 15 libri sapendo che sono di 2 autori diversi, che del primo
autore ci sono 6 libri e del secondo 9 e che si vogliono mettere vicini i libri dello stesso autore?
4. Alla fine di uno spettacolo teatrale gli attori, 5 uomini e 4 donne, devono uscire a raccogliere gli
applausi. In quanti modi si possono presentare al pubblico, supponendo che si dispongano in fila e
considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili? In quanti modi si possono disporre se
l’ultimo della fila è un uomo (sempre considerando i maschi indistinguibili e le donne
indistinguibili)?
5. In quanti modi diversi si possono scegliere 2 persone per un’interrogazione tra i 24 alunni di una
classe?
6. In un gioco da tavolo si lanciano 5 dadi contemporaneamente. In quanti modi si possono presentare le
5 facce? (Suggerimento dell’insegnante: lanciare 5 dadi (diversi) contemporaneamente è come
lanciare un dado 5 volte)
7. Usando solo le cifre 1, 2, 3, 6, 7, 8, quanti numeri di sei cifre, tutte distinte, si possono scrivere?
Come cambierebbe la risposta, ammettendo di potere ripetere le cifre? Tra questi ultimi numeri (quelli
dove si ammette anche di poter ripetere le cifre), quanti contengono almeno una volta la cifra 7?
(Suggerimento dell’insegnante: determina quanti numeri non contengono la cifra 7 e poi per
differenza….)
8. La combinazione di una cassaforte è formata da 8 cifre (ciascuna scelta tra 0 e 9). Sapendo che le
cifre possono ripetersi e che l’ultima cifra è pari, quante combinazioni sono possibili (considerando lo
0 pari)?
Soluzioni
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
6720
234256000
522547200
a) 126 b) 350
276
7776
a) 720 b) 46656 c) 31031
50000000
11
Scheda 10: Problemi di probabilità
1. Il mazzo di carte del gioco del poker, quando si gioca in quattro, è costituito da 32 carte, 8 per ogni
seme. Si distribuiscono 5 carte per ogni giocatore. Qual è la probabilità di ricevere 4 Assi?
(Suggerimento dell’insegnante: determina il numero di casi possibili nell’estrarre 5 carte contemporaneamente da un mazzo di 32 carte,
per determinare il numero di casi favorevoli (ricevere 4 assi) suddividi le carte in due insiemi: l’insieme dei 4 assi e l’insieme delle altre
28 carte, determina poi il numero di casi favorevoli nell’estrarre 4 assi dall’insieme dei 4 assi e il numero di casi favorevoli nell’estrarre
una carta dall’insieme delle altre 28 carte, moltiplica poi le possibilità…
2. Nel gioco del lotto si chiama «ambo» una puntata su due numeri. Si vince se tra i cinque numeri
estratti sono presenti i due giocati. Qual è la probabilità di vincere?
Suggerimento dell’insegnante: determina il numero di casi possibili nell’estrarre 5 numeri contemporaneamente da un’urna contenente
90 numeri, il numero di casi favorevoli è dato dalle combinazioni di 5 numeri contenenti i due numeri giocati, dal momento che i due
numeri giocati sono fissi è quindi come estrarre 3 numeri da un’urna contente gli altri 88 numeri.
3. Nel gioco del lotto si gioca un estratto semplice puntando su un numero da 1 a 90 su una determinata
ruota. Se tra i cinque estratti è presente tale numero, si vince. Qual è la probabilità che ciò accada?
4. Si lanciano 10 monete. Qual è la probabilità che escano 5 Testa?
Suggerimento: distribuzione binomiale individua la probabilità di successo in un lancio, il numero di lanci e il numero di successi
richiesto
5. Si lanciano 5 monete. Qual è la probabilità che escano esattamente 3 Testa?
6. Si ricevono cinque carte da un mazzo da poker.
a) Qual è la probabilità che siano tutte di cuori?
b) Qual è la probabilità che siano tutte di uno stesso seme?
7. Da un mazzo di carte si estraggono Asso, 2, 3, 4, 5, 6, 7 di uno stesso seme, si mescolano queste
carte e le si scoprono una alla volta. Qual è la probabilità che escano nella sequenza Asso, 2, 3, 4, 5, 6,
7?
8. Si lanciano 5 monete. Qual è la probabilità che escano almeno tre Testa?
9. Supponiamo di avere un’urna contenente 15 palline numerate da 1 a 15. Si estraggono a caso due
palline, una alla volta, e con reinserimento. Calcola la probabilità dei seguenti eventi:
A=”la prima pallina ha un numero pari e la seconda è 10”;
B=”almeno una delle due palline ha un numero dispari”.
10. Due carte vengono estratte da un mazzo di 52, senza reinserimento. Calcola la probabilità:
che la prima carta sia di cuori e la seconda rossa;
che la seconda carta sia rossa.
Soluzioni
1.
1
7192
7.
1
1
8.
9.a) 7/225 b) 176/225
5040
2
2.
2
801
3.
1
18
4.
63
256
5.
5
16
6. a)
1
1
; b)
3596
899
10. 1/32
12
Scheda 11: Variabile casuale discreta
1. Una ditta dispone di 10 linee telefoniche. La probabilità, in un istante qualsiasi, che una data linea sia
1
occupata è . Determina il numero medio di linee telefoniche libere.
5
Suggerimento dell’insegnante si ricorda che la media di una variabile casuale che si distribuisce secondo una Binomiale è dato da n ⋅ p
2. Carlo è un buon tiratore e a ogni tentativo ha una probabilità p di riuscire a colpire il bersaglio.
Stabilisci quanto vale p sapendo che, in tre tentativi, la probabilità che Carlo colpisca almeno una volta
il bersaglio è 0,992.
Suggerimento dell’insegnante: la probabilità di non colpire il bersaglio P( X = 0) = ⎛⎜ ....⎞⎟ ⋅ p .... (1 − p )... , scrivi la probabilità di colpire il
⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠
bersaglio almeno una volta e ponila uguale a …..
p = 0,92
p = 0,98
p = 0,80
p = 0,88
p = 0,84
3. La seguente tabella definisce una variabile aleatoria:
Si tratta della distribuzione di una variabile casuale discreta?
Vero
Falso
4. Trova la varianza e lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria della seguente tabella:
5. Si lanciano 4 dadi equi e sia X la variabile aleatoria che conta il numero di dadi in cui è uscito il
numero 1. Calcola
a. la probabilità che X = 0;
b. la probabilità che X = 2;
c. la media di X.
6. Supponiamo di avere 2 urne, una contenente 4 palline bianche e 2 nere e l’altra contenente 3 palline
bianche e 3 nere. Si lancia una moneta per decidere da quale urna estrarre: se esce testa si estrae dalla
prima urna, se esce croce si estrae dalla seconda. Vengono estratte 4 palline dall’urna scelta, una alla
volta e con reinserimento. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di palline bianche estratte.
Calcola la probabilità che sia X=2.
Suggerimento dell’insegnante: calcola la probabilità che l’estrazione avvenga dalla prima urna e che da essa escano uscite due palline
2
...
bianche e due nere P(U1 ∧ 2b,2n ) = 1 ⋅ ⎛⎜ 4 ⎞⎟⎛ .. ⎞ ⋅ ⎛ ... ⎞ , calcola la probabilità che l’estrazione avvenga dalla seconda urna e che da essa
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎝ .. ⎠ ⎝ .... ⎠
escano uscite due palline bianche e due nere.
Soluzioni
1. 8
2. C
3. Falso
5. a) 0,4823 b) 0,1157
4. Varianza = 3,97; scarto quadratico medio = 1,99
6. 0,3356
13
Scheda 12: Variabile casuale continua
1. Il tempo di una corsa in taxi è distribuito secondo una normale con media 20 minuti e deviazione
standard pari a 10 minuti.
Qual è la probabilità che il tempo di una corsa scelta a caso sia:
.a superiore alla media?
.b inferiore a 5 minuti?
.c superiore a 25 minuti?
Quale percentuale di corse ha una durata inferiore a 15 minuti?
Determina il valore di Z tale che P(Z ≥ z ) = 0.75
Qual è il tempo x superato dal 75% delle corse?
2.Il tempo che un impiegato di banca dedica a ciascun cliente ha una distribuzione caratterizzata da
media pari a 3.10 minuti e deviazione standard pari a 0.40 minuti.
a.
Si estrae un campione casuale di 36 clienti. Qual è la probabilità che il tempo medio sia
compreso tra 3 minuti e 4 minuti?
b.
Si estrae un campione casuale di 64 clienti. Qual è la probabilità che il tempo medio sia
compreso tra 3 minuti e 4 minuti?
Soluzioni
1.
X ≈ N (20;100)
P( X > 20) = 0.5
P( X > 25) = 0.3085
P( X < 5) = = 0.0668
P( X < 15) = P(Z < −0.5) = 31%
z = −0.675
P(Z ≥ z ) = 0.75
x − 20
z=
z = −0.675 da cui x = 20 − 0.675 * 10 = −13.25
100
2.
b.
0.16
)
36
P(3 < X < 4) ≅ 0.9772
b.
P(3 < X < 4) ≅ 0.9772
a.
X ≈ N (3.1;
P(3 < X < 4) = P(− 1.5 < Z < 13.5) ≅ 0.9332
14
Scheda 13: grafici
Costruisci i grafici delle seguenti funzioni:
y = |x2 – 3x +5|
y = log 2 ( x + 1)
y = sin x
π
y = sin( x + )
2
y = sin x + 2
y = cos x + 1
15