Campo di una sfera, di raggio a e carica totale Q ,
distribuita uniformemente nel volume della sfera
da
dq
ρ=
dV
dq = ρ dV
4
3
=
ρ
π
a
Q = ∫ ρ dV = ρ ∫ dV
3
ρ=
Q
4
3
π a3
per motivi di simmetria, il campo potra’ soltanto essere radiale
e avra’ modulo uguale in tutti i punti ad una distanza r
generica dal centro della sfera
assumiamo come superficie gaussiana quella di una sfera
di raggio r concentrica alla distribuzione sferica di carica
Φ( E ) =
∫
S
2
=
E
dS
E ⋅ dS
∫ S = E 4π r
1
dobbiamo distinguere due casi: r > a
e
r<a
r
r>a
r<a
a) r > a campo all’esterno della distribuzione di carica
dalla definizione di flusso Φ ( E ) =
E 4π r 2
qint
dal teorema di Gauss Φ ( E ) =
in questo caso
qint ≡ Q
uguagliando :
Q
E=
4πε 0 r 2
ε0
1
all’ esterno della distribuzione sferica di carica tutto va
come se l’intera carica Q fosse concentrata nel centro
della sfera quindi all’ esterno il campo e’ coulombiano,
2
b) r < a
campo
all’interno della distribuzione di carica
dalla definizione di flusso
2
E 4π r
Φ( E ) =
dal teorema di Gauss
qint
Φ( E ) =
ε0
1 Q 4 3 Qr
qint ρV ( r )
=
πr =
=
3
4
ε0 a
ε0 π a3 3
ε0
ε0
3
3
3
dunque
Qr
E 4π r =
3
ε0 a
2
Q r
E=
3
4πε 0 a
3
in sintesi :
l’andamento del modulo del campo prodotto da
una sfera uniformemente carica in funzione della
distanza radiale e’ lineare crescente all’ interno
della sfera e coulombiano all’ esterno della sfera
E
Q r
E=
3
4πε 0 a
1 Q
E=
4πε 0 r 2
Campo del guscio sferico cavo di raggio a caricato con
carica totale Q uniformemente distribuita sulla
superficie
dobbiamo distinguere due casi :
r>a e r<a
all’esterno della distribuzione di
cariche, ossia per r > a
il calcolo procede esattamente
come nel caso della sfera carica
e il risultato e’
1 Q
E=
4πε 0 r 2
campo coulombiano come se tutta la carica Q fosse
concentrata nel centro della sfera
5
all’ interno della distribuzione di cariche r < a
dalla definizione di flusso
dal teorema di Gauss
uguagliando i due riesce
2
Φ( E ) =
E 4π r
qint
Φ( E ) =
=0
ε0
E=0
6
E
E
E=
a
1 Q
4πε 0 r 2
r
E=
a
1 Q
4πε 0 r 2
r
E = 0
il campo elettrostatico all’ esterno di una distribuzione
di carica - sferica - uniforme e’ lo stesso sia che la carica
sia stata distribuita uniformemente sulla superficie della sfera
sia che la carica sia stata distribuita uniformemente
all’interno del volume della sfera
mentre il campo all’ interno della sfera e’ molto diverso
nei due casi
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Potenziale del guscio sferico
all’esterno del guscio il potenziale avra’ l’andamento del
potenziale Coulombiano di una carica Q puntiforme
1 Q
V (r )
=
+ cost
4πε 0 r
Nota Bene: il campo subisce una discontinuita in r
=a,
ma il potenziale deve essere continuo ovunque
dato che il campo elettrico all’interno del guscio e’ nullo
il potenziale del guscio sferico sara’ costante all’interno e
sulla superficie del guscio e per motivi di continuita’ pari al
valore che il potenziale assume sulla superficie del guscio
stesso, a meno di una costante
1 Q
)
+ cost
V (=
r a=
4πε 0 a
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la carica e’ distribuita in una zona finita di spazio quindi
possiamo assumere che cost = 0 e asserire che il
potenziale all’interno e sulla superficie del guscio sferico e’:
1 Q
V (r ) =
4πε 0 a
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