Lezione 4
Teorema di Gauss
Definizione di Flusso
Campo Uniforme e Ortogonale a S
Φ (E ) = S E
E
n
S
Definizione Flusso 2
S’
E
θ
S
n
Φ (E ) = S ' E = S E cos(θ ) = S E ⋅ n
Campo uniforme ma non ortogonale a S
Definizione Flusso 3
E
n
ds
Φ(E ) = ds E ⋅ n superficie aperta
S
Φ(E ) = ds E ⋅ n superficie chiusa
S
Il flusso del campo generato da una carica Q,
attraverso la superficie di una sfera di raggio
R vale:
Q
Φ ( E) =
s.sfera
4πε 0 R
essendo ds = R sin θ dθ
=
π
0
sin θdθ
2π
0
dφ
2
i r ⋅ i r ds =
Rdφ
Q
4πε 0
=
Q
ε0
Teorema di Gauss: forma integrale
E
n
Φ (E ) =
ds E ⋅ n =
∂V
Q
ε0
∂V è la s. che delimita il vol. V
Q è la carica netta nel volume V, sia libera che indotta
Vettore induzione elettrica o
densità di flusso D
Nel vuoto:
D = ε 0E
Th. di Gauss per il vettore D:
forma integrale
E
Φ (D) =
Pertanto:
ds D ⋅ n =Q lib
∂V
[D] = C/m
2
n
La legge di Coulomb permette di ottenere
il campo E una volta nota la carica Q,
mentre
con il teorema di Gauss, noto il campo D,
si ottiene la carica libera presente in una
certa regione dello spazio.
Mentre la legge di Coulomb cessa di
valere per cariche in moto, il teorema di
Gauss si può applicare sia a cariche in
quiete sia a cariche in moto.
Il teorema di Gauss è quindi più
generale della legge di Coulomb.
Perché si usa il vettore D ?
+Q
3
2
−Q'
+Q '
1
L’induzione elettrica modifica la
distribuzione di carica nel dielettrico
Usando il th. di Gauss per il campo
elettrico, nella regione interna avremmo:
1
+Q
−Q'
+Q '
Φ (E ) = ds E ⋅ n =
1
Q
ε0
r ∈ R1
Er =
Q
4πε 0 r
2
Usando il th. di Gauss per il campo
elettrico, nel dielettrico avremmo:
+Q
−Q'
+Q '
r ∈ R2
2
Φ (E ) = ds E ⋅ n =
2
Q - Q'
ε0
Er =
Q − Q'
4πε 0 r
2
Usando il th. di Gauss per il campo
elettrico, nella regione esterna avremmo:
+Q
−Q'
+Q '
r ∈ R3
3
Φ (E ) = ds E ⋅ n =
3
Q - Q'+ Q'
ε0
Er =
Q
4πε 0 r
2
Utilizzando il th. di Gauss per D
Φ (D) = ds D ⋅ n = Q
Dr =
Q
4πr
2
Nella regione 2 (nel dielettrico)
ε 0 Er =
Q − Q'
4πr
2
= Dr +
−Q'
4πr
2
∀r
Dr = ε 0 E r +
Se il mezzo è lineare,
Q'
4πr
Q'
4πr
2
2
= χ eε 0 E r
χ e è detta SUSCETTIVITA’ ELETTRICA
Dr = ε 0 (1 + χ e )Er
Ma allora a che serve D ?
• D/ε0 è il campo elettrico che ci sarebbe in assenza
di dielettrico ovvero delle cariche indotte
• D è legato alle sole cariche libere
• Il calcolo di E richiede comunque la conoscenza
di D e dei fenomeni di polarizzazione.
• D’altra parte, quando il mezzo è lineare, isotropo e
omogeneo:
ε r = (1 + χ e )
D = ε 0ε r E
