ESERCITAZIONI DI CALCOLO 2
Ottavio Serra
Funzioni primitive e tecniche di calcolo.
Data una funzione f(x), suna sua primitiva è una funzione F(x) tale che F'(x) = f(x).
Notare che in tal caso anche F(x)+c è una primitiva di f(x), per ogni costante c.
La generica primitiva di f(x) si chiama integrale di f(x) e si indica con
f ( x)dx
Che ricorda una somma; serve infatti a calcolare l'area racchiusa tra l'asse x, e il grafico di f in un
intervallo [a,b]dell'asse x come limite di una somma di rettangoli.
Il simbolo dx si chiama differenziale di x e ricorda qual è la variabile.
In generale, il differenziale di una funzione f(x) è il prodotto tra la derivata di f e l'incremento di x:
df=f'(x)*x . in particolare, se f(x)=x, dx=x.
Esempi
1 2
1 3
x n 1
2
n
xdx 2 x c; x dx 3 x c,..., x dx n 1 c, se n 1,
1
xdx Ln x c.
sen( x)dx cos( x) c, cos( x)dx sen( x) c, e dx e
x
cos
1
2
( x)
dx tan g ( x) c,
1
1 x
2
sen
1
2
( x)
dx cot ang ( x) c,
1
1 x2
x
c
dx arcsen ( x ) c
dx arc tan g ( x) c
Tutte le primitive precedenti sono immediate.
Siccome la derivata è un operatore lineare, anche l'operatore inverso, cioè la primitiva o integrale
indefinito è lineare:
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx; kf ( x)dx k f ( x)dx.
Notare anche la seguente proprietà: se l'integrale di f(x) è g(x) , allora l'integrale di f(ax) è g(ax)/a,
come si verifica immediatamente per derivazione. Esempi:
cos(3x)
sen(
3
x
)
dx
c,
3
e
4 x
e 4 x
dx
c.
4
Questa regola è un caso particolare del teorema di integrazione per sostituzione (cambiamento di
variabile), che vedremo tra poco.
Esercizi Integrare le seguenti funzioni:
1
,
1 4x2
1
1 9x2
,
1
1 3x 2
,
1
, cos 2 (7 x) sen 2 (7 x)
cos (2 x)
2
1
Con un po’ di trigonometria si integrano facilmente anche
sen( x) cos( x) e cos2 ( x) sen 2 ( x).
Integrazione per sostituzione
A volte non si sa integrare f(x) rispetto ad x; se però si riesce a trovare una funzione invertibile
x=g(t), allora dx=g'(t)dt e per sostituzione si ha:
f ( x)dx f [ g (t )]g (t )dt
Se il secondo integrale si sa calcolare, e sia h(t) una sua espressione, si ottiene il primo integrale con
la sostituzione inversa
t g 1 ( x)
Esempi.
1
sen( x) cos( x)dx ( posto sen( x) t ) t.dt 2t
sen ( x)dx sen
3
2
2
c
1
sen 2 ( x) c
2
1
( x)d ( cos x) (cos 2 ( x) 1)d (cos x) cos3 ( x) cos( x) c
3
La sostituzione è stata t=cos(x).
J x x 2 3dx, t x 2 3, dt 2 xdx, J
3
1
1 2
1
t dt . t 2
( x 2 3)3 c.
2
2 3
3
Esercizi. Integrare le seguenti funzioni:
3
cos ( x),
e
x
1
x
1
Ln 3 ( x)
1
,
,
,
, (1 tan 2 x)e tan
xLn( x)
x
xLn( x)( Ln( Ln( x)))
x
(N.B. tan è la funzione "tangente).
Integrare ancora:
x 1
1
, x
,
x
e e
x
3
4 x 3, xe x ,
2
arc tan x
.
2
1 x
E' data la funzione integranda
f ( x) g ( x).3 4 x 2 x 7
Come va scelta la funzione g(x) perché f(x) si possa integrare facilmente per sostituzione?
2
Calcolare ancora:
sen xdx, cos xdx, ( x
3
(suggerimento: cosx=t, senx=t,
Ancora:
e
x
3
2
1) 4 x3 3x 1dx
x3 3x 1 t .
1
1
1
dx, ( x t 2 ),
dx,
dx ,
xLn
(
x
)
xLn
(
x
)(
LnLn
(
x
))
x
2
tan x
(1
tan
x
)
e
dx.
2
x 1
1
cos z
dx, x x dx, xe x dx,
dz.
e e
sen3 z
x
Integrazione per parti.
Formula:
f ( x).g '( x)dx f ( x).g ( x) f '( x).g ( x)dx
Per dimostrarla basta derivare ambo i membri.
Che g'(x) sia una derivata di g(x) non ce l'ha scritto in fronte, occorre arguirlo.
Esempi:
x
x
x
x
x
xe
dx
xe
e
dx
xe
e
c
(Ho preso x come fattore finito f(x) ed
e x come fattore differenziale g'(x)).
xsen( x)dx x cos( x) cos( x)dx x cos( x) sen( x) c
x cos( x)dx x.sen( x) sen( x)dx x.sen( x) cos( x) c
(In questi ultimi due esempi ho preso x come fattore finito f(x) perché…).
Esercizi.
Ln( x)dx (prendere g'(x)=1, f(x)=Ln(x).
arcsenx.dx, arctan x.dx, xLn( x)dx, arcsen(3x)dx,
x.arctan( x)dx, x .arctan( x)dx, x
2
sen( x )dx, arctan( x )dx,
3
arctan( x)dx
arctan( x )
dx
x
(Porre prima x t e poi integrare per parti). x t
A volte si ritorna all'integrale di partenza, che si calcola come l'incognita di un'equazione.
Esempio:
J e x cos( x)dx e x sen( x) e x sen( x)dx e x sen( x) e x cos( x) e x cos( x)dx
1
2 J e x ( sen( x) cos( x)) c J e x ( senx cos x) c.
2
3
Esercizi
sen ( x)dx, cos ( x)dx , già calcolati con altro procedimento. Porre nel primo f=senx, g'=senx,
2
2
nel secondo f=cosx, g'=cosx .
Analogamente
4
sen ( x)dx, ponendo f= sen x, g ' senx ;
Altri esercizi.
sen x cos
3
3
3
x.dx, osservando che cos(x)dx=d(senx);
cos xsen x.dx, cos xsen x.dx, cos
2
3
4
cos
xdx .
3
2
x2
2
xsen 4 x.dx, cos 4 xsen 4 x.dx .
5 x
x
e
dx
,
sen
xdx
,
x
e dx, x4 Ln( x)dx. sen( 3 x )dx .
3
2
Integrazione di alcuni altri tipi di funzioni :
(a)
(b)
tan( x)dx, cot an( x)dx,
a 2 x 2 dx, porre : x a.sen(t )
1
1
senxdx, cos xdx .
In (b) i primi due integrali sono facili, per il terzo osservare che sen x=2sen(x/2)cos(x/2) e che il
x
x
cos 2 sen 2 ;
numeratore si può scrivere
2
2
nel quarto esprimere il coseno come seno del complementare di x.
x
2dt
.
In entrambi i casi si può usare la sostituzione tan t , da cui segue dx
2
1 t2
Verificare che risulta
1
x
senxdx log tan 2 log
1 cos x
1
1 senx
dx log
.
,
senx
cos x
cos x
Integrazione delle funzioni razionali.
A( x)
R( x)
Q( x)
R(x) è un polinomio di grado minore di quello di
B( x)
B( x)
R( x)
B(x). Siccome Q(x) si integra facilmente, tutto sta ad integrare la frazione propria
.
B( x)
Data la frazione algebrica
1° caso : B(x) ha solo zeri reali; allora
R( x) a
b
c
d
...
...
2
2
B( x) x x1 ( x x1 )
x x2 ( x x2 )
e le costanti a, b, c, d,…si calcolano riducendo a forma intera e imponendo l'identità dei due
polinomi.
4
Esempio:
x3
a
b
c
x 3 a( x 4)2 b( x 4)( x 2) c( x 2)
2
2
( x 2)( x 4)
x 2 x 4 ( x 4)
Ponendo x=2, si ha a=5/36, ponendo x=-4, si ha c=1/6; a questo punto
5
1
b( x 4)( x 2) x 3 ( x 4) 2 ( x 2). Dividendo ambo i membri per (x+4)(x-2) si ricava:
36
6
b=-5/36.
Infine:
x2
5
1
x3
5
5
1
( x 2)( x 4)2 dx ( 36( x 2) 36( x 4) 6( x 4)2 )dx = 36 Ln x 4 6( x 4) c .
Altro esempio:
J=
x 1
x( x 2)( x 3)2 dx ;
x 1
a
b
c
d
x( x 2)( x 3) 2 x x 2 x 3 ( x 3) 2
, per cui
x 1 a( x 2)( x 3)2 bx( x 3)2 cx( x 2)( x 3) dx( x 2) .
Per x=3, 4=d.3
d=4/3;
per x=0, 1=a(-18)
a=-1/18;
per x=2, 3=b.2
b=3/2.
Isolando il termine con c, si ricava:
c
x 1
1
3
4
26 x3 130 x 2 156 x
13
=…=
2
2
2
x 3 x( x 2)( x 3) 18 x 2( x 2) 3( x 3)
18 x( x 2)( x 3)
9( x 3)
per cui c=-13/9.
1
3
13
4
Infine J (
)dx =
18 x 2( x 2) 9( x 3) 3( x 3) 2
1
3
13
4 1
Ln x Ln x 2 Ln x 3
c.
18
2
9
3 x 3
Caso in cui il denominatore ha zeri non tutti reali.
In questo caso compaiono frazioni semplici del tipo
ax b
( x px q)n
2
con p 2 4q
0,
(N.B. il coefficiente di x 2 si può sempre ridurre uguale ad 1).
ax b
a
2b ap
2x p
Esercizio. Verificare che 2
dx Ln( x 2 px q)
arctan(
)
x px q
2
Eseguendo il cambiamento di variabile x+p/2 = t, ci si può sempre ridurre a frazioni del tipo:
ap
2
n , (dt=dx).
(t 2
)
4
at b
5
Con l'ulteriore cambiamento di variabile
z
t
4
(e aggiustato il differenziale ), ci si riduce a integrare frazioni del tipo
ax b
a
dx Ln( x 2 1) b.arctan( x) . Per n>1
2
1
2
perciò resta da integrare il secondo addendo.
Per n=1,
x
(x
ax b
.
( x 2 1) n
ax
a
;
dx
n
1)
2(n 1)( x 2 1) n1
2
1 x x
x.x
1
J
dx
J
dx .
dx
,
Posto J n 2
n
n 1
( x 2 1)n
( x 2 1)n
( x 1) n
Questa è una formula ricorsiva che riduce il calcolo a quello con esponente n-1:
(N.B. Il secondo integrale della formula ricorsiva si calcola per parti, assumendo x come fattore
finito e il resto come fattore differenziale).Alla fine si ottiene:
(*)
J n ( x)
2
2
2n 3
x
J n1
.
2n 2
(2n 2)(1 x 2 ) n1
In definitiva, si ha la seguente formula:
ax b
a
2b ap
dx
J n (t ),
1
( x2 px q)n (2n 2)( x2 px q)n1
n
2( ) 2
4
dove
J n (t ) è la formula ricorsiva (*) , t 2x p , p 2 4q.
Esempi.
1
1
x.x
1
x
1
( x2 1)2 dx x2 1dx ( x2 1)2 dx arctan( x) 2 [ ( x2 1) x2 1dx] =
x
1
arctan( x) c.
2
2( x 1) 2
1
dx.
( x 1) ( x 2 1) 2
1
a
b
cx d
h( x )
( x 1)2 ( x 2 1) 2 ( x 1) 2 x 1 ( x 2 1) 2 x 2 1
Si voglia calcolare
Poniamo
J
2
Eliminando i denominatori, si ricava:
1 a( x 2 1)2 b( x 1)( x 2 1)2 (cx d )( x 1)2 h( x)( x 2 1)( x 1)2 .
ponendo x=-1, si ottiene a=1/4.
6
Portando il termine con a=1/4 a sinistra, ciò che rimane a destra è divisibile per x+1, perciò lo è
anche il primo membro. Dopo aver diviso ambo i membri per x+1, si ottiene b ponendo x=-1.
Risulta b=1/2.
Dopo aver portato anche il termine con b (=1/2) a sinistra, ambo i membri sono ancora divisibili per
x+1. Eseguita tale divisione, si ottiene:
1
(2 x3 x 2 4 x 1) cx d h( x).( x 2 1).
4
Siccome il secondo membro è divisibile per x 2 1 , lo è anche il primo. Dividendo il primo membro
per x 2 1 e imponendo che il resto sia zero si ottiene:
Quoziente=h(x)=-1/2x+1/4 e uguagliando a zero il resto deriva: c=-1/2 e d=0.
Infine
J
1
1
1
1
1
Ln x 1
Ln( x 2 1) arctan( x) c.
2
4( x 1) 2
4( x 1) 4
4
Verificare che
x( x
1
1
1
dx L n x Ln( x 2 1)
c
2
2
1)
2
2( x 1)
2
Trovare le primitive di:
f
1
1
1
,m 4 ,n
2
x 1
x 1
x( x 1)2
1
1
fdx Ln x Ln( x 2 1) arc tan( x) c;
x
2
l
Risposte
x 1
x 1
1
,
g
,
h
x 2 ( x 2 1)
x( x 2 1) 2
x3 x 2 x
3
x 1
1
arctan( x) c
2
2( x 1) 2
1
1
2x 1
2
hdx Ln x 2 Ln( x x 1) 3 arctan( 3 ) c
1
gdx Ln x 2 Ln( x
2
1)
1
2x 1
arctan(
)c
3
3
x 1 1
x
1
1
mdx 4Ln x 1 2 arctan( x) c , ndx Ln x2 1 2( x2 1) c .
Verificare che:
x
1
1
1
x
1
dx
Ln x 1 Ln( x 2 1)
arctan x c ;
1)
2
2
2
2
( x 1) ( x 1)
4( x 1) 4
8
4( x 1) 4
1
1
ldx 3Ln x 1 6 Ln( x
2)
(x
2
2
x 1)
x 1
1
x 2 x 2) 3
3
dx Ln
arctan( x 1) arctan( x 1) c ;
8
4
4) x
x2 x 2 4
Porre dapprima x t e ricordare che t 4 (t 2t 2)(t
1
1
1
2x 1
3) 3
dx Ln( x) Ln( x 2 x 1)
arctan
c,
2
x x x
2
3
3
4
2
2
2t 2).
7
1
1
x 1 1
dx Ln
arctan( x) c,
x 1
4
x 1 2
1
1
1
1
2x 1
5) 3 dx Ln x 1 Ln( x 2 x 1)
arctan
c,
x 1
3
6
3
3
1
3
1
3
4
6)
dx Ln x 3
Ln( x 2 1) arctan( x) c ,
2
2
( x 3) ( x 1)
50
10( x 3) 100
50
1
1
1
x
7) 2
dx arctan( x) arctan c,
2
( x 1)( x 4)
3
6
2
1
ax b h( x)
(Porre 2
, eliminare i denominatori e, isolato il termine con h(x),
2
2
( x 1)( x 4) x 1 x 2 4
osservare che ambo i membri sono divisibili per x 2 1. Imponendo che il resto sia zero, si trovano a
e b; il quoziente è h(x). Prevedere che b=0 e che h(x) è una costante: perché?).
dx
1
x2 x 1 1
2x 1
1
x
8) 2
Ln
arctan
arctan
c,
2
2
( x 2)( x x 1) 6
x 2
3
3
3 2
2
dx
1
x
x
9)
(arctan arctan x)
c,
2
2
2
2
( x 4)( x 1) 18
2
6( x 1)
4)
4
10)
x3 x 2
4
1
3
2x 1
dx
Ln( x 2 x 1)
arctan
c,
2
2
( x 1) ( x x 1)
3( x 1) 2
9
3
11)
x3 1
1
1
dx
Ln 2 x 1 c ,
2
2
(2 x 1) ( x x 1)
4(2 x 1) 4
x 4 dx
x
5x
3arctan( x)
c ,
12) 2
8
( x 1)3 4( x 2 1)2 8( x 2 1)
x3 1
1 x
arctan( x)
1
dx
Ln x Ln( x 2 1) c ,
2
2
2
x( x 1)
2( x 1)
2
2
3
x 1
1 x
4 x
arctan( x)
Ln( x 2 1)
14
dx
Ln x
c,
x( x 2 1)3
4( x 2 1)2 8( x 2 1)
8
2
x2 2
1 x
3
3
15)
dx
arctan( x) Ln x 1 Ln( x 2 1) c ,
2
2
2
( x 1)( x 1)
4( x 1)
4
8
2
x 4
5( x 1)
3
3
16)
dx
2arctan( x) Ln x 1 Ln( x 2 1) c .
2
2
2
( x 1)( x 1)
4( x 1)
4
8
13)
8
