Ottavio Serra

ESERCITAZIONI DI CALCOLO 2
Ottavio Serra
Funzioni primitive e tecniche di calcolo.
Data una funzione f(x), suna sua primitiva è una funzione F(x) tale che F'(x) = f(x).
Notare che in tal caso anche F(x)+c è una primitiva di f(x), per ogni costante c.
La generica primitiva di f(x) si chiama integrale di f(x) e si indica con
 f ( x)dx
Che ricorda una somma; serve infatti a calcolare l'area racchiusa tra l'asse x, e il grafico di f in un
intervallo [a,b]dell'asse x come limite di una somma di rettangoli.
Il simbolo dx si chiama differenziale di x e ricorda qual è la variabile.
In generale, il differenziale di una funzione f(x) è il prodotto tra la derivata di f e l'incremento di x:
df=f'(x)*x . in particolare, se f(x)=x, dx=x.
Esempi
1 2
1 3
x n 1
2
n
 xdx  2 x  c;  x dx  3 x  c,...,  x dx  n  1  c, se n  1,
1
 xdx  Ln x  c.
 sen( x)dx   cos( x)  c,  cos( x)dx  sen( x)  c,  e dx  e
x
 cos
1
2
( x)
dx  tan g ( x)  c,
1
1 x
2
 sen
1
2
( x)
dx   cot ang ( x)  c, 
1
1  x2
x
c
dx  arcsen ( x )  c
dx  arc tan g ( x)  c
Tutte le primitive precedenti sono immediate.
Siccome la derivata è un operatore lineare, anche l'operatore inverso, cioè la primitiva o integrale
indefinito è lineare:
 [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx;  kf ( x)dx  k  f ( x)dx.
Notare anche la seguente proprietà: se l'integrale di f(x) è g(x) , allora l'integrale di f(ax) è g(ax)/a,
come si verifica immediatamente per derivazione. Esempi:
 cos(3x)
sen(
3
x
)
dx

 c,

3
e
4 x
e 4 x
dx 
 c.
4
Questa regola è un caso particolare del teorema di integrazione per sostituzione (cambiamento di
variabile), che vedremo tra poco.
Esercizi Integrare le seguenti funzioni:
1
,
1  4x2
1
1  9x2
,
1
1  3x 2
,
1
, cos 2 (7 x)  sen 2 (7 x)
cos (2 x)
2
1
Con un po’ di trigonometria si integrano facilmente anche
sen( x) cos( x) e cos2 ( x)  sen 2 ( x).
Integrazione per sostituzione
A volte non si sa integrare f(x) rispetto ad x; se però si riesce a trovare una funzione invertibile
x=g(t), allora dx=g'(t)dt e per sostituzione si ha:
 f ( x)dx   f [ g (t )]g (t )dt
Se il secondo integrale si sa calcolare, e sia h(t) una sua espressione, si ottiene il primo integrale con
la sostituzione inversa
t  g 1 ( x)
Esempi.
1
 sen( x) cos( x)dx  ( posto sen( x)  t )  t.dt  2t
 sen ( x)dx   sen
3
2
2
c 
1
sen 2 ( x)  c
2
1
( x)d ( cos x)   (cos 2 ( x)  1)d (cos x)  cos3 ( x)  cos( x)  c
3
La sostituzione è stata t=cos(x).
J   x x 2  3dx, t  x 2  3, dt  2 xdx, J  
3
1
1 2
1
t dt  . t 2 
( x 2  3)3  c.
2
2 3
3
Esercizi. Integrare le seguenti funzioni:
3
cos ( x),
e
x
1
x
1
Ln 3 ( x)
1
,
,
,
, (1  tan 2 x)e tan
xLn( x)
x
xLn( x)( Ln( Ln( x)))
x
(N.B. tan è la funzione "tangente).
Integrare ancora:
x 1
1
, x
,
x
e e
x
3
4 x  3, xe x ,
2
arc tan x
.
2
1 x
E' data la funzione integranda
f ( x)  g ( x).3 4 x 2  x  7
Come va scelta la funzione g(x) perché f(x) si possa integrare facilmente per sostituzione?
2
Calcolare ancora:
 sen xdx,  cos xdx,  ( x
3
(suggerimento: cosx=t, senx=t,
Ancora:


e
x
3
2
 1) 4 x3  3x  1dx
x3  3x  1  t .
1
1
1
dx, ( x  t 2 ), 
dx, 
dx ,
xLn
(
x
)
xLn
(
x
)(
LnLn
(
x
))
x
2
tan x
(1

tan
x
)
e
dx.

2
x 1
1
cos z
dx,  x  x dx,  xe x dx, 
dz.
e e
sen3 z
x
Integrazione per parti.
Formula:
 f ( x).g '( x)dx  f ( x).g ( x)   f '( x).g ( x)dx
Per dimostrarla basta derivare ambo i membri.
Che g'(x) sia una derivata di g(x) non ce l'ha scritto in fronte, occorre arguirlo.
Esempi:
x
x
x
x
x
xe
dx

xe

e
dx

xe

e
c


(Ho preso x come fattore finito f(x) ed
e x come fattore differenziale g'(x)).
 xsen( x)dx   x cos( x)    cos( x)dx   x cos( x)  sen( x)  c
 x cos( x)dx  x.sen( x)   sen( x)dx  x.sen( x)  cos( x)  c
(In questi ultimi due esempi ho preso x come fattore finito f(x) perché…).
Esercizi.
 Ln( x)dx (prendere g'(x)=1, f(x)=Ln(x).
 arcsenx.dx,  arctan x.dx,  xLn( x)dx,  arcsen(3x)dx,
 x.arctan( x)dx, x .arctan( x)dx,  x
2
 sen( x )dx,  arctan( x )dx, 
3
arctan( x)dx
arctan( x )
dx
x
(Porre prima x  t e poi integrare per parti). x  t
A volte si ritorna all'integrale di partenza, che si calcola come l'incognita di un'equazione.
Esempio:
J   e x cos( x)dx  e x sen( x)   e x sen( x)dx  e x sen( x)  e x cos( x)   e x cos( x)dx
1
 2 J  e x ( sen( x)  cos( x))  c  J  e x ( senx  cos x)  c.
2
3
Esercizi
 sen ( x)dx,  cos ( x)dx , già calcolati con altro procedimento. Porre nel primo f=senx, g'=senx,
2
2
nel secondo f=cosx, g'=cosx .
Analogamente
4
 sen ( x)dx, ponendo f= sen x, g '  senx ;
Altri esercizi.
 sen x cos
3
3
3
x.dx, osservando che cos(x)dx=d(senx);
 cos xsen x.dx,  cos xsen x.dx,  cos
2
3
4
cos
 xdx .
3
2
 x2
2
xsen 4 x.dx,  cos 4 xsen 4 x.dx .
5 x
x
e
dx
,
sen
xdx
,
x


 e dx,  x4 Ln( x)dx.  sen( 3 x )dx .
3
2
Integrazione di alcuni altri tipi di funzioni :
(a)

(b)
 tan( x)dx,  cot an( x)dx,
a 2  x 2 dx, porre : x  a.sen(t )
1
1
 senxdx,  cos xdx .
In (b) i primi due integrali sono facili, per il terzo osservare che sen x=2sen(x/2)cos(x/2) e che il
x
x
cos 2  sen 2 ;
numeratore si può scrivere
2
2
nel quarto esprimere il coseno come seno del complementare di x.
x
2dt
.
In entrambi i casi si può usare la sostituzione tan  t , da cui segue dx 
2
1 t2
Verificare che risulta
1
x
 senxdx  log tan 2  log
1  cos x
1
1  senx
dx  log
.
, 
senx
cos x
cos x
Integrazione delle funzioni razionali.
A( x)
R( x)
 Q( x) 
R(x) è un polinomio di grado minore di quello di
B( x)
B( x)
R( x)
B(x). Siccome Q(x) si integra facilmente, tutto sta ad integrare la frazione propria
.
B( x)
Data la frazione algebrica
1° caso : B(x) ha solo zeri reali; allora
R( x) a
b
c
d


 ... 

 ...
2
2
B( x) x  x1 ( x  x1 )
x  x2 ( x  x2 )
e le costanti a, b, c, d,…si calcolano riducendo a forma intera e imponendo l'identità dei due
polinomi.
4
Esempio:
x3
a
b
c

 x  3  a( x  4)2  b( x  4)( x  2)  c( x  2)



2
2
( x  2)( x  4)
x  2 x  4 ( x  4)
Ponendo x=2, si ha a=5/36, ponendo x=-4, si ha c=1/6; a questo punto
5
1
b( x  4)( x  2)  x  3  ( x  4) 2  ( x  2). Dividendo ambo i membri per (x+4)(x-2) si ricava:
36
6
b=-5/36.
Infine:
x2
5
1
x3
5
5
1
 ( x  2)( x  4)2 dx   ( 36( x  2)  36( x  4)  6( x  4)2 )dx = 36 Ln x  4  6( x  4)  c .
Altro esempio:
J=
x 1
 x( x  2)( x  3)2 dx ;
x 1
a
b
c
d




x( x  2)( x  3) 2 x x  2 x  3 ( x  3) 2
, per cui
x  1  a( x  2)( x  3)2  bx( x  3)2  cx( x  2)( x  3)  dx( x  2) .
Per x=3, 4=d.3
d=4/3;
per x=0, 1=a(-18)
a=-1/18;
per x=2, 3=b.2
b=3/2.
Isolando il termine con c, si ricava:
c
x 1
1
3
4
26 x3  130 x 2  156 x
13
=…=





2
2
2
x  3 x( x  2)( x  3) 18 x 2( x  2) 3( x  3)
18 x( x  2)( x  3)
9( x  3)
per cui c=-13/9.
1
3
13
4
Infine J   (



)dx =
18 x 2( x  2) 9( x  3) 3( x  3) 2
1
3
13
4 1
 Ln x  Ln x  2  Ln x  3 
c.
18
2
9
3 x 3
Caso in cui il denominatore ha zeri non tutti reali.
In questo caso compaiono frazioni semplici del tipo
ax  b
( x  px  q)n
2
con   p 2  4q
0,
(N.B. il coefficiente di x 2 si può sempre ridurre uguale ad 1).
ax  b
a
2b  ap
2x  p
Esercizio. Verificare che  2
dx  Ln( x 2  px  q) 
arctan(
)
x  px  q
2


Eseguendo il cambiamento di variabile x+p/2 = t, ci si può sempre ridurre a frazioni del tipo:
ap
2
 n , (dt=dx).
(t 2 
)
4
at  b 
5
Con l'ulteriore cambiamento di variabile
z
t

4
(e aggiustato il differenziale ), ci si riduce a integrare frazioni del tipo
ax  b
a
dx  Ln( x 2  1)  b.arctan( x) . Per n>1
2
1
2
perciò resta da integrare il secondo addendo.
Per n=1,
x
 (x
ax  b
.
( x 2  1) n
ax
a
;
dx  
n
 1)
2(n  1)( x 2  1) n1
2
1 x  x
x.x
1
J

dx

J

dx .
dx
,
Posto J n   2
n
n 1
( x 2  1)n
( x 2  1)n
( x  1) n
Questa è una formula ricorsiva che riduce il calcolo a quello con esponente n-1:
(N.B. Il secondo integrale della formula ricorsiva si calcola per parti, assumendo x come fattore
finito e il resto come fattore differenziale).Alla fine si ottiene:

(*)
J n ( x) 
2
2

2n  3
x
J n1 
.
2n  2
(2n  2)(1  x 2 ) n1
In definitiva, si ha la seguente formula:
ax  b
a
2b  ap
dx


J n (t ),
1
 ( x2  px  q)n (2n  2)( x2  px  q)n1
n


2( ) 2
4
dove
J n (t ) è la formula ricorsiva (*) , t  2x  p ,   p 2  4q.

Esempi.
1
1
x.x
1
x
1
 ( x2  1)2 dx   x2  1dx   ( x2  1)2 dx  arctan( x)  2 [ ( x2  1)   x2  1dx] =
x
1
 arctan( x)  c.
2
2( x  1) 2
1
dx.
( x  1) ( x 2  1) 2
1
a
b
cx  d
h( x )




( x  1)2 ( x 2  1) 2 ( x  1) 2 x  1 ( x 2  1) 2 x 2  1
Si voglia calcolare
Poniamo
J 
2
Eliminando i denominatori, si ricava:
1  a( x 2  1)2  b( x  1)( x 2  1)2  (cx  d )( x  1)2  h( x)( x 2  1)( x  1)2 .
ponendo x=-1, si ottiene a=1/4.
6
Portando il termine con a=1/4 a sinistra, ciò che rimane a destra è divisibile per x+1, perciò lo è
anche il primo membro. Dopo aver diviso ambo i membri per x+1, si ottiene b ponendo x=-1.
Risulta b=1/2.
Dopo aver portato anche il termine con b (=1/2) a sinistra, ambo i membri sono ancora divisibili per
x+1. Eseguita tale divisione, si ottiene:
1
 (2 x3  x 2  4 x  1)  cx  d  h( x).( x 2  1).
4
Siccome il secondo membro è divisibile per x 2  1 , lo è anche il primo. Dividendo il primo membro
per x 2  1 e imponendo che il resto sia zero si ottiene:
Quoziente=h(x)=-1/2x+1/4 e uguagliando a zero il resto deriva: c=-1/2 e d=0.
Infine
J
1
1
1
1
1
 Ln x  1 
 Ln( x 2  1)  arctan( x)  c.
2
4( x  1) 2
4( x  1) 4
4
Verificare che
 x( x
1
1
1
dx  L n x  Ln( x 2  1) 
c
2
2
 1)
2
2( x  1)
2
Trovare le primitive di:
f 
1
1
1
,m  4 ,n 
2
x 1
x 1
x( x  1)2
1
1
fdx    Ln x  Ln( x 2  1)  arc tan( x)  c;
x
2
l
Risposte

x 1
x 1
1
,
g

,
h

x 2 ( x 2  1)
x( x 2  1) 2
x3  x 2  x
3
x 1
1
 arctan( x)  c
2
2( x  1) 2
1
1
2x 1
2
 hdx  Ln x  2 Ln( x  x  1)  3 arctan( 3 )  c
1
 gdx  Ln x  2 Ln( x
2
 1) 
1
2x 1
arctan(
)c
3
3
x 1 1
x
1
1
 mdx  4Ln x  1  2 arctan( x)  c ,  ndx  Ln x2  1  2( x2  1)  c .
Verificare che:
x
1
1
1
x
1
dx 
 Ln x  1  Ln( x 2  1) 
 arctan x  c ;
1) 
2
2
2
2
( x  1) ( x  1)
4( x  1) 4
8
4( x  1) 4
1
1
 ldx  3Ln x  1  6 Ln( x
2)
 (x
2
2
 x  1) 
x 1
1
x  2 x  2) 3
3
dx  Ln
 arctan( x  1)  arctan( x  1)  c ;
8
4
 4) x
x2 x 2 4
Porre dapprima x  t e ricordare che t  4  (t  2t  2)(t
1
1
1
2x 1
3)  3
dx  Ln( x)  Ln( x 2  x  1) 
arctan
 c,
2
x x x
2
3
3
4
2
2
 2t  2).
7
1
1
x 1 1
dx  Ln
 arctan( x)  c,
x 1
4
x 1 2
1
1
1
1
2x 1
5)  3 dx  Ln x  1  Ln( x 2  x  1) 
arctan
c,
x 1
3
6
3
3
1
3
1
3
4
6) 
dx   Ln x  3 

Ln( x 2  1)  arctan( x)  c ,
2
2
( x  3) ( x  1)
50
10( x  3) 100
50
1
1
1
x
7)  2
dx  arctan( x)  arctan  c,
2
( x  1)( x  4)
3
6
2
1
ax  b h( x)
(Porre 2
, eliminare i denominatori e, isolato il termine con h(x),
 2

2
( x  1)( x  4) x  1 x 2  4
osservare che ambo i membri sono divisibili per x 2  1. Imponendo che il resto sia zero, si trovano a
e b; il quoziente è h(x). Prevedere che b=0 e che h(x) è una costante: perché?).
dx
1
x2  x  1 1
2x 1
1
x
8)  2

Ln

arctan

arctan
c,
2
2
( x  2)( x  x  1) 6
x 2
3
3
3 2
2
dx
1
x
x
9) 
 (arctan  arctan x) 
c,
2
2
2
2
( x  4)( x  1) 18
2
6( x  1)
4) 
4
10) 
x3  x  2
4
1
3
2x 1
dx 
 Ln( x 2  x  1) 
arctan
c,
2
2
( x  1) ( x  x  1)
3( x  1) 2
9
3
11) 
x3  1
1
1
dx 
 Ln 2 x  1  c ,
2
2
(2 x  1) ( x  x  1)
4(2 x  1) 4
x 4 dx
x
5x
3arctan( x)



c ,
12)  2
8
( x  1)3 4( x 2  1)2 8( x 2  1)
x3  1
1 x
arctan( x)
1
dx 

 Ln x  Ln( x 2  1)  c ,
2
2
2
x( x  1)
2( x  1)
2
2
3
x 1
1 x
4 x
arctan( x)
Ln( x 2  1)
14 
dx 


 Ln x 
 c,
x( x 2  1)3
4( x 2  1)2 8( x 2  1)
8
2
x2  2
1 x
3
3
15) 
dx 
 arctan( x)  Ln x  1  Ln( x 2  1)  c ,
2
2
2
( x  1)( x  1)
4( x  1)
4
8
2
x 4
5( x  1)
3
3
16) 
dx 
 2arctan( x)  Ln x  1  Ln( x 2  1)  c .
2
2
2
( x  1)( x  1)
4( x  1)
4
8
13) 
8