I decibel e le taniche
(J. Q.)
Premessa: Scopo di questa nota e’ far capire la seguente cosa:
In una tanica lineare se sommo due liquidi aventi lo stesso volume, l’altezza si raddoppia.
Nelle taniche ad imbuto, chiamiamole deci-esponenziali, sommando due liquidi con lo stesso
volume ottengo un liquido di altezza un po’ superiore a quello di partenza.
In acustica il volume del liquido rappresenta la potenza del suono e si puo’ usare l’altezza nella
tanica come indice della sua rilevanza (forza).
Usare il decibel significa usare le taniche ad imbuto. Pertanto i volumi e le altezze non sono piu’
proporzionali. Per questo 5 dB + 5 dB non fanno 10 dB, ma 8 dB.
Si consideri la fig.1.
In essa la potenza sonora e’
rappresentata dal liquido blu e
si trova in una tanica lineare.
In queste condizioni essa e’
misurata in Watt.
Se ora travasiamo il contenuto
della tanica lineare in una
tanica deci-esponenziale il
suo livello (la sua altezza) e’
misurato in decibel:
Poiche’ le taniche deci-sponenziali
si allargano sempre piu’, solo un
contenuto quasi uguale fa
aumentare sensibilmente il piu’
alto dei due livelli.
Infatti sommando due taniche
deci-esponenziali il livello (in
questo caso, comune) si alza di
sole tre tacche (3 decibel).
Quindi cio’ che conta
nella addizione e nella
sottrazione dei decibel
e’ la differenza delle
tacche (decibel).
Algebra logaritm ica spicciola
N ella som m a…
… Se la differenza e’::
0
5
10
::aggiungi al piu’ grande
3
2
1
12 dB + 12 dB = 15 dB
22 dB + 23 dB = 25,5 dB
34 dB + 39 dB = 41 dB
Algebra logaritm ica spicciola
Nella differenza…
Ovviamente queste regolette si
possono usare per calcolare gli
ordini di grandezza, ma i conti
vanno fatti con la calcolatrice o
usando i grafici predisposti.
… Se la differenza e’::
3
7
11
::aggiungi al piu’ piccolo
0
5
10
Vediamo ora di trovare una corrispondenza fra le immagini proposte e gli enti
matematici da esse rappresentate.
P = Volume di liquido blu
(=Area se profondita’ = 1);
P0 = Larghezza tanica lineare;
P
= Altezza liquido , cioe’,
P0
Numero di tacche;
Se prendiamo
P0 = 1, cosa sempre
possibile, allora nel modello lineare
P
= rappresenta allo stesso tempo il
P0
volume e l’altezza. Pertanto nel sommare le quantita’ di liquido (watt) e’
indifferente sommare i volumi (watt) o l’altezza del liquido. In altre parole
al numero che esprime l’altezza puo’ essere assegnato il compito di
rappresentare la potenza acustica (che e’ invece il volume) e, alla fine,
sommare i volumi o le altezze e’ la stessa cosa.
Invece, nel modello deci-esponenziale, si perde la
proporzionalita’ fra area e altezza: se sommo due aree
uguali non ho una altezza doppia.
In questa configurazione l’area e’ la stessa
(profondita’=1):
P
P0
e l’altezza e’ data da :
10 * Log (
P
)
P0
Questa espressione induce alle seguenti riflessioni:
1) Quando P (la potenza sonora) e’ piccola il modello ad imbuto da’ variazioni di
altezze (decibel) grandi.
2) Quando P (la potenza sonora) e’ grande il modello ad imbuto da’ variazioni di
altezze (decibel) piccole.
3) Quando voglio sommare due potenze sonore devo sommare i volumi di liquido
e non i decibel (cioe’ le altezze del liquido).
Ma se voglio sommare le potenze scrivendo di fatto le altezze allora dovro’
realizzare che:
h1
P1
= 10 10
P0
P
h1 = 10 * Log ( 1 )
P0
h
h
1
2
PT P1 P2
10
10
=
+
= 10 + 10
P0 P0 P0
e quindi
h
h
1
2
PT
hT = 10 * Log ( ) = 10 * Log (10 10 + 10 10 )
P0
Cosa dobbiamo ricordare di tutto questo ? Che le potenze sonore sono i deci-esponenziali.
E pertanto quando vogliamo sommare tante potenze sonore dobbiamo sommare i deci-esponenziali
per ottenere il deci-esponenziale totale da cui estrarre il decibel, cioe’ il livello sonoro.
Se abbiamo N potenze sonore che si sommano in un punto, dobbiamo scrivere:
h
h
h
N
1
2
PT P1 P2
PN
10
10
10
=
+ + ..... +
= 10 + 10 + ..... + 10
P0 P0 P0
P0
10
hT
10
h
j
N
N
Pj
PT
10
=
=∑
= ∑ 10 → da cui
P0 j =1 P0 j =1
hj
N
10
→ hT = 10 * Log ∑ 10
j =1
.
Nel caso si voglia fare una media temporale pesata, avremmo:
hj
hj
N
N
t
∆
1
j
10
10
→ hT = 10 * Log ∑ 10
10 ∆t j =
= 10 * Log
∑
j =1
T j =1
T
hj
N
10
→ hT = 10 * Log ∑ 10 ∆t j − 10 * Log T
j =1
In questo decreto troviamo, tra l‘altro, le seguenti formule:
Come si vede, dal punto di vista matematico sono tutte riconducibili ad una unica
formula, tenendo presente che:
1) Dobbiamo sommare i deci-esponenziali ( e tale somma si scrive come un unico
deci-esponenziale medio ->
I teorema della media della Analisi Matematica.)
b
∫ f ( x) dx = f
b
medio
a
∫
dx = (b − a ) * f ( x )
a
Nel nostro caso abbiamo:
N
∑
hj
10 10 = 10
j =1
E ricordando che:
h medio
10
N
∑1
j =1
= 10
h medio
10
* N
2) In acustica un deci-esponenziale e’ uguale al rapporto delle potenze acustiche e
cioe’ al rapporto dei quadrati delle pressioni.
h
10 10
p2
=
= 2
P0 p0
P
capiamo che la stessa formula puo’ essere scritta in molti
modi equivalenti che, a prima vista, sembrano diversi.
3) Nel passaggio dal discreto al continuo, si sostituisce alla sommatoria
l’integrale.
4) Il (-k) della penultima espressione appare se si trasforma il Log del rapporto
nella differenza dei Log.
