Algebra delle derivate. Attività 2
1. Completa la tabella per ottenere la derivata di altre funzioni inverse
Derivata di funzione inversa di y = x2
€
Derivata di funzione inversa di y = xn
x = y2 ⇔ y = x
x = yn ⇔ y = n x
dx
dy
1
1
= ....... ⇒
=
=
dy
dx ........ ......
dx
dy
1
1
= ....... ⇒
=
=
dy
dx ........ ......
La derivata di y = x è y' = ........
€ La derivata di y = n x è y' =
1
........
€
2.€
Rispondi ai seguenti quesiti:
• Qual è il dominio di y = x ?...........................................................................................
€
€ ……………………………………………
• La funzione y = x è derivabile in O(0, 0)?
3. Completa la tabella per ottenere la derivata di due esempi di funzioni composte.
€
Esempio
Esempio
€
€
€ la funzione y = sin(x2) composta da
E’ data
y = sin(z) con z = x2
E so che
dy
dz
= cos(z)
= .........
dz
dx
E’ data la funzione y = sin2 (x) composta da
y = z2 con z = sin(x)
E so che
dy
dz
= ..........
= .........
dz
dx
Tratto i differenziali come i numeri e calcolo
dz dy
⋅
= .......⋅ cos(z) e quindi
dx dz
€
dy
= .......⋅ cos(x 2 )
dx
La funzione derivata di y = sin(x2)
y’ = 2x ⋅ cos(x2)
Tratto i differenziali come i numeri e calcolo
dy dz
⋅
= .......⋅ ......... e quindi
dz dx
dy
= .......⋅ .........
dx
La funzione derivata di y = sin2 (x)
y’ = 2sin(x) ⋅ cos(x)
Procedimento generale per derivare f€
unzioni composte: - scomporre la funzione nelle sue componenti, usando idonee variabili; - applicare la notazione di Leibniz e trattare i differenziali come numeri. 4. Completa la tabella per ottenere la derivata di altri due casi di funzioni composte
€
€
E’ data la funzione y = sin(2x + π) composta da
y = sin(z) con z = ………
E so che
dy
dz
= ..........
= .........
dz
dx
Tratto i differenziali come i numeri e calcolo
dz dy
⋅
= .......⋅ ......... e quindi
dx dz
€
dy
= .......⋅ .........
dx
E’ data la funzione y = e3x + 2 composta da
y = ez con z = ……
E so che
dy
dz
= ..........
= .........
dz
dx
Tratto i differenziali come i numeri e calcolo
dz dy
⋅
= .......⋅ ......... e quindi
dx dz
dy
= .......⋅ .........
dx
La funzione derivata di y = sin(2x + π) è
y’ = ………
€
La funzione derivata di y = e3x + 2 è
y’ = ………….
Enrico Pietropoli, Treccani Scuola
